Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

КАФЕДРА ОБЩЕЙ ФИЗИКИ И ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ

Численное исследование процесса филаментации мощных фемтосекундных лазерных импульсов в турбулентной атмосфере на протяжённых трассах

Дипломная работа

студента 6-го курса

"Допущен к защите" "____ " декабря 2006 г. Зав. кафедрой ОФиВП ________________________

Научный руководитель: _________________

Москва – 2007 г.

1. Введение

1.1 Явление филаментации

При распространении фемтосекундных лазерных импульсов, мощность которых превышает критическую мощность самофокусировки в среде, образуются протяженные нити или, как их принято называть, филаменты, в которых концентрируется значительная часть энергии падающего излучения. В воздухе длина филаментов, создаваемых импульсами Ti:Sapphire лазера, достигает сотен метров; их диаметр не превышает 100 мкм, интенсивность светового поля в филаменте составляет величину порядка 10¹³ Вт/см², частотный спектр может перекрывать видимый и простираться в ближний инфракрасный диапазон длин волн [1, 2]. Излучение, создаваемое филаментом, обладает узкой направленностью, высокой степенью когерентности входящих в его состав спектральных компонент. Возможность получения световых импульсов с подобными характеристиками открыла серьезные перспективы применения фемтосекундного лазерного излучения в задачах мониторинга и зондирования атмосферы [3]. В настоящее время уже созданы широкополосные фемтосекундные лидары тераваттной мощности, позволяющие накапливать информацию о состоянии атмосферы во всем диапазоне длин волн от 400 нм до 4 мкм без необходимости перестраивать несущую частоту излучения, что принципиально расширяет информативность лазерного зондирования [4]. Еще одним практическим применением может стать создание так называемого управляемого громоотвода, позволяющего нейтрализовать грозовые облака [5].

При распространении мощного фемтосекундного импульса в условиях турбулентной атмосферы случайные флуктуации показателя преломления инициируют мелкомасштабную самофокусировку [6]. Рост интенсивности в нелинейном фокусе ограничивается дефокусировкой в лазерной плазме, возникающей вследствие многофотонной или туннельной ионизации молекул кислорода и азота. В результате пиковая интенсивность в филаменте не превышает значений 10¹⁴ Вт/см² для импульсов ближнего ИК-диапазона с длиной волны 770–800 нм [7].

В прозрачных конденсированных средах под воздействием высокоинтенсивного лазерного излучения филамента может происходить необратимая локальная модификация показателя преломления, что позволяет создавать различные элементы микрооптики: волноводы [8, 9, 10], дифракционные решетки [11, 12], фотонные кристаллы [13, 14]. При высокой плотности энергии лазерного импульса, превышающей порог абляции, возможно сверление в металлах микроотверстий хорошего качества [15].

1.2 Филаментация фемтосекундных импульсов в атмосфере

Исторически филаментация лазерного излучения в газах не наблюдалась до 90–х годов. Критическая мощность самофокусировки в газообразных средах на три порядка выше, чем в конденсированных диэлектриках, и составляет единицы гигаватт. До создания мощных фемтосекундных лазеров подобную мощность могли достигать импульсы лишь милли- и микросекундной длительности. При таких временных параметрах излучения керровскую самофокусировку подавляют нелинейные эффекты с более низким энергетическим порогом – тепловая дефокусировка и оптический пробой [16]. Для импульсов же фемто- и субпикосекундного диапазона влияние этих эффектов не успевает проявиться в силу инерционности их нелинейно-оптического отклика. Поэтому явление филаментации лазерных импульсов в газах возможно только при сочетании двух условий – сверхкороткой длительности и высокой мощности излучения.

С появлением мощных фемтосекундных лазеров стало возможным наблюдение филаментов в газах. Многофиламентация регистрируется CCD-камерой по появлению в плоскости наблюдения множества «горячих точек» в распределении плотности энергии в каждом импульсе, или по генерации суперконтинуума (сверхуширенной полосы частотного спектра импульса). В [17] было зарегистрировано образование нескольких филаментов при распространении лазерного импульса энергией 160 мДж, длительностью около 100 фс и диаметром 70 мм в атмосферном воздухе. Более 10 филаментов с поперечным размером около 100 мкм были детектированы CCD-камерой при фокусировке импульса линзой с фокусным расстоянием 8 м. CCD-камера находилась на расстоянии 5 м за фокальной плоскостью линзы.

В [18] исследовалось взаимодействие двух филаментов в воздухе. Излучение на выходе из лазерной системы на Ti:Sapphire имело следующие параметры: длина волны составляла 810 нм, энергия импульса 5 – 8 мДж, длительность – 50 фс, диаметр пучка – около 0.5 cм. В поперечном распределении плотности энергии на выходе лазерной системы существовали два слабо выраженных максимума, которые приводили к образованию двух филаментов на расстоянии 190 см от линзы с фокусным расстоянием 2 м. При дальнейшем распространении филаменты сливались на расстоянии 223 см.

В [19] энергия импульса составляла 10 ÷ 40 мДж, а длительность и длина волны излучения были примерно такими же, как в [18]: 45 фс и 800 нм, соответственно. Поперечное распределение плотности энергии на выходе из лазерной системы состояло из двух крупномасштабных неоднородностей, содержащих примерно 60% и 40% от суммарной плотности энергии. Импульс с помощью системы зеркал направлялся на трассу длиной 87 м, и затем попадал на экран, отражение с которого передавалось на CCD-камеру. Для ослабления влияния атмосферной турбулентности импульс распространялся в картонной трубе. При энергии импульса 14 мДж на расстоянии 87 м наблюдалось образование двух филаментов: в одном из них плотность энергии в 90 раз превышала пиковую плотность на выходе лазерной системы, в другом – в 10 раз. При измерении слабо интенсивного фона лазерного пучка на том же расстоянии z = 87 м была обнаружена кольцевая структура из 5 - 6 колец, окружающая более энергетичный филамент. В окрестности другого филамента эта кольцевая структура существенно искажалась, и в ней наблюдались четкие максимумы и минимумы в распределении плотности энергии. Интерпретация наблюдаемой интерференционной картины дана на основе простой модели суперпозиции двух волн: волны, расходящейся вследствие дефокусировки в лазерной плазме, и невозмущенной волны на периферии поперечного сечения импульса.

1.3 Филаментация частотно-модулированных импульсов

Для применения лазерного излучения в задачах мониторинга и зондирования атмосферы необходимо получать филаменты на километровых расстояниях. Однако модуляционная неустойчивость импульса мешает получать филаменты на таких больших расстояниях, т.к. мелкомасштабная самофокусировка, являющаяся причиной зарождения филаментов, проявляется значительно раньше. Чтобы сместить область филаментации на километровые расстояния, необходимо сформировать импульс, у которого первоначально малая пиковая мощность возрастает в процессе распространения. В этом случае, при правильном подборе параметров, можно ожидать, что на начальном участке трассы для образования филаментов не хватит мощности, т.к. явление самофокусировки имеет пороговый характер, и они начнут формироваться позже по мере возрастания пиковой мощности импульса.

Увеличения пиковой мощности импульса в процессе его распространения можно добиться за счет его сжатия. При этом фемтосекундные импульсы обладают достаточно широким частотным спектром и на длинных атмосферных трассах испытывают дисперсионное расплывание. Так как атмосфера обладает нормальной дисперсией групповой скорости на длине волны Ti:Sapphire лазера, то получить компрессию импульса можно сообщив ему отрицательную линейную частотную модуляцию [32].

Меняя частотную модуляцию, можно изменять длину компрессии импульса и тем самым управлять расстоянием до старта филаментации . В натурных экспериментах [33] наглядно продемонстрированы преимущества частотно-модулированных импульсов для получения филамента километровой протяженности. Экспериментально влияние начальной частотной модуляции на филаментацию импульса исследовано на больших расстояниях в [34]. Детальные исследования распространения в воздухе частотно-модулированных импульсов с энергией 190 мДж выполнены в [35]. В зависимости от частотной модуляции начальная длительность импульса менялась от 0.2 до 9.6 пс, что соответствовало изменению пиковой мощности в диапазоне , где P_cr – критическая мощность самофокусировки. Наибольшее расстояние, на котором авторам удалось зарегистрировать плазменные каналы, было достигнуто при начальной длительности импульса пс и составило 370 м. Дальнейшее увеличение частотной модуляции приводило к исчезновению плазменных каналов, хотя «горячие точки» в распределении плотности энергии наблюдались на расстояниях вплоть до 2 км. Такую картину филаментации можно объяснить сильной дисперсией групповой скорости, которая препятствует достижению «плазменных» интенсивностей, растягивая импульс в местах пространственной локализации энергии.

Влияние начальной частотной модуляции импульса на образование филамента определяется двумя факторами [36]. Первый заключается в уменьшении пиковой мощности при растяжении изначально спектрально-ограниченного импульса и не зависит от знака фазовой модуляции. Длительность частотно-модулированного импульса увеличи

1.4 Цель работы

Целью настоящей работы является численное исследование филаментации мощных фемтосекундных лазерных импульсов в турбулентной атмосфере на протяженных, в том числе, километровых трассах. Работа включает также методическую часть, связанную с разработкой параллельного алгоритма для задачи филаментации, и анализ влияния порога ионизации на картину многофиламентации.

2. Математическая модель распространения фемтосекундного лазерного импульса в турбулентной атмосфере

2.1 Уравнения и начальные условия

Формирование филаментов в лазерном импульсе происходит в результате совместного проявления явлений дифракции и дисперсии в условиях турбулентных флуктуаций показателя преломления и сильного нелинейно-оптического взаимодействия, обусловленного кубической нелинейностью среды и нелинейностью наведенной лазерной плазмы.

Математическая модель для теоретического анализа филаментации фемтосекундных лазерных импульсов включает уравнение для комплексной амплитуды светового поля E (x,y,z,t):

, (2.1)

здесь k – волновое число, коэффициент отвечает за дисперсию групповой скорости в воздухе [32], n₀ – показатель преломления невозмущенной среды, – описывает турбулентную добавку к показателю преломления, n₂ – коэффициент керровской нелинейности, который в воздухе составляет величину n₂ = 1.75·10^-19 cм²/Вт [37]. Добавка к показателю преломления определяет вклад самонаведенной плазмы. Первое и второе слагаемое в правой части (2.1) описывают дифракцию, третье – дисперсию, слагаемые в скобках – включают в себя керровскую самофокусировку, плазменную дефокусировку и турбулентные флуктуации показателя преломления.

Для лазерных импульсов фемтосекундной длительности влияние ориентационного механизма керровской нелинейности и электрострикции пренебрежимо мало, т.к. времена установления их нелинейно-оптического отклика составляет величины порядка 1 пс и 1 нс, соответственно [38]. Вместе с тем, отклик электронов на действие электрического поля проявляется за время порядка 1 фс. Поэтому для импульсов фемтосекундной длительности данный механизм нелинейности оказывается существенным, а обусловленный им отклик можно считать безинерционным.

Рассмотрим плазменную нелинейность, которая наряду с керровской нелинейностью, является еще одним проявлением самовоздействия. При распространении в воздухе высокоинтенсивное лазерное излучение приводит к ионизации атомов и молекул среды и изменению ее показателя преломления на величину добавки , котораяописывается выражением:

, (2.2)

где – плазменная частота, – центральная частота спектра импульса, m и e – масса и заряд электрона, – концентрация свободных электронов, n₀ – показатель преломления невозмущенной среды.

Воздух представляет собой многокомпонентную среду, главными составляющими которой являются кислород и азот. Поэтому динамику концентрации свободных электронов в воздухе нужно описывать отдельно для кислорода и азота:

, (2.3)

, (2.4)

где и – концентрации свободных электронов, образованных в результате ионизации азота и кислорода, и – концентрации нейтральных молекул азота и кислорода, и – скорости ионизации азота и кислорода. При решении (2.3) предполагалось, что . Заметим, что для качественного описания процесса ионизации достаточно использование одного из компонентов воздуха, например, кислорода, что и было сделано в настоящей работе.

2.2 Численные методы решения задачи

Для длительности спектрально-ограниченного импульса 100 фс, оценка дисперсионной длины составляет ~ 600 метров. Таким образом, на трассах длиной около 100 метров дисперсионным расплыванием импульса можно пренебречь, и уравнение (2.1) можно упростить, исключив дисперсию:

. (2.9)

Для численного решения уравнения (2.9) перейдём в к безразмерным переменным: , , , , где . В этих переменных уравнение (2.9) примет вид (штрихи опушены):

, (2.10)

где . Для решения уравнения (2.10) введем сеточную функцию комплексной амплитуды поля E и воспользуемся методом расщепления по физическим факторам. В соответствии с этим методом уравнение (2.10) заменяется цепочкой уравнений, каждое из которых решается на n -ом шаге вдоль координаты z:

· дифракционное уравнение

, (2.11)

с начальным условием ;

· нелинейное уравнение, учитывающее нелинейную плазменную дефокусировку и керровскую самофокусировку

, (2.12)

с начальным условием ;

· уравнение, учитывающее турбулентные флуктуации показателя преломления в атмосфере

, (2.13)

с начальным условием . Решение последнего уравнения принимается за искомый результат в конце n -ого шага: .

При численном решении уравнения (2.10) на каждом временном слое интегрировалось уравнение (2.3) и вычислялось новое значение плазменной добавки к показателю преломления по формуле (2.2).

Линейная задача дифракции (2.11) решалась спектральным методом. Запишем обратное преобразование Фурье в виде:

, (2.14)

где – Фурье-образ функции , и – пространственные частоты. Подставляя (2.14) в (2.11), получим уравнение для пространственных гармоник:

. (2.15)

Решение (2.15) на n -ом шаге можно представить в виде

, (2.16)

где – размер шага по продольной координате.

Используя обратное преобразование Фурье (2.14), из (2.16) получаем решение задачи дифракции на n -ом шаге вдоль координаты z – . При применении преобразования Фурье использовался алгоритм быстрого преобразования с одинаковым числом узлов сетки в поперечных направлениях N_x, N_y равных целой степени числа 2.

Рассмотрим нелинейное уравнение (2.12). Решение (2.12) на n -ом шаге по z можно приближенно представить в следующем виде:

, (2.17)

где – нелинейное изменение фазы комплексного поля.

3. Особенности численного решения задачи филаментации

3.1 Проблема решения задачи на персональном компьютере

При численном решении уравнения (2.10) время выступает как параметр, что предполагает введение расчетной сетки в 3D+1 пространстве (x,y,z+t). При этом в поперечном сечении (x, y) линейный размер расчетной сетки L_x должен в несколько раз превышать радиус пучка a₀, а ее шаг быть много меньше диаметра филамента d₀. Таким образом, оценка необходимого числа узлов расчетной сетки вдоль поперечной координаты составляет величину порядка N_x = 10⁴. Следует отметить, что в задаче присутствуют также пространственные масштабы, определяемые характерными размерами турбулентных флуктуаций показателя преломления . При этом внешний масштаб турбулентности L₀, как правило, существенно превышает размер пучка a₀. Однако его влияние на распространение импульса учитывается в рамках модели фазовых экранов без введения дополнительных пространственных узлов расчетной сетки (см. параграф 2.2).

Если в качестве оценки сверху для шага расчетной сетки в направлении продольной координаты выбрать дифракционную длину для поперечного масштаба филамента, то такая оценка для излучения с длиной волны = 800 нм дает значение = 1 см. В результате число продольных шагов расчетной сетки N_z на трассе длиной L = 100 м должно составлять не менее N_z = 1000, а полное число N = N_x·N_y·N_z только пространственных узлов расчетной сетки (в предположении N_x = N_y) составит величину N = 10¹¹. При этом число временных слоев N_t также должно быть порядка N_t = 10³.

Исходя из выполненных оценок видно, что для оперативного хранения значений комплексной амплитуды поля E в пространственных узлах расчетной сетки потребуется около 800 Гбайт ОЗУ. Это превышает возможности персональных компьютеров и требует использования высокопроизводительных вычислительных комплексов, например, кластеров.

3.2 Алгоритм распараллеливания задачи

Чтобы с наибольшей эффективностью реализовать возможности вычислительных кластеров, необходимо использовать алгоритмы параллельного решения задачи. При этом слабым местом всех кластеров является межузловой обмен. Таким образом, для эффективности использования вычислительных мощностей алгоритм распараллеливания должен обеспечивать оптимальную работу всех задействованных узлов при относительно небольшом (редком) межузловом обмене данными, т.е. алгоритм должен обладать свойством «крупнозернистости» [31].

На рис. 3.1 приведена расчетная сетка в координатах z, t. Каждая точка на рисунке в действительности представляет собой множество расчетных узлов в поперечном сечении x, y. В плоскости z = 0 задаются начальные условия для поля E. Плазма в среде до прохождения импульса отсутствует N_e (-∞) = 0. Используемая при численном решении явная схема и метод пошаговой линеаризации предполагают последовательное прохождение всех точек расчетной сетки слева направо по z и сверху вниз по t. При этом возможен обход точек, как по строчкам, так и по столбцам.

Один из возможных алгоритмов распараллеливания этой задачи показан на рис. 3.1 а. Здесь каждый узел кластера схематично представлен стрелкой (всего K = 3 узла). В местах разрыва стрелок (в плоскостях обмена Z_i, i = 1, K -1) происходит обмен данными с другими узлами кластера. Каждому узлу назначается «зона ответственности» ‑ набор всех плоскостей z_i между двумя соседними плоскостями обмена Z_i и Z_i+1, в которых он осуществляет расчёт задачи. Первому узлу назначается зона от z₀ до первой плоскости обмена Z₁. Он стартует с нулевого слоя по времени t и выполняет расчет распространения этого слоя импульса вдоль координаты z, сохраняя в ОЗУ полученные значения концентрации плазмы. При достижении плоскости обмена Z₁ первый узел передаёт значения комплексного поля E второму узлу, который использует эти данные в качестве начальных условий для продолжения расчета распространения этого же слоя импульса в своей пространственной «зоне ответственности» до следующей плоскости обмена Z₂. При этом первый узел продолжает решение задачи на следующем слое по времени, используя накопленные данные о плазме с предыдущего временного слоя.

Аналогично при достижении вторым узлом кластера плоскости обмена Z₂ происходит передача значений поля E третьему узлу, при этом первые два узла продолжают расчет задачи в следующих слоях по времени, и т.д. После первой передачи данных последнему узлу в плоскости обмена Z_K-1 все узлы кластера оказываются задействованными в параллельном решении задачи, которое выполняется своеобразным клином (рис. 3.1). При этом требуемая задаче оперативная память равномерно распределяется по узлам кластера. Так как число узлов в кластере K, как правило, существенно меньше числа шагов N_z, то задача, с точки зрения распараллеливания, оказывается «крупнозернистой» и время обмена данными не должно оказывать существенного влияния на производительность вычислений.

Таким же образом происходит выполнение второго алгоритма распараллеливания, представленного на рис. 3.1 б, за исключением того, что алгоритм предполагает обратный порядок в решении задачи по пространственной (z) и временной (t) координатам.

Заметим, что данный алгоритм распараллеливания может быть легко адаптирован для неоднородных кластеров, часть узлов которых обладает меньшей производительностью. Этим узлам следует назначать пропорционально уменьшенную «зону ответственности», сохраняя тем самым одинаковым процессорное время, затрачиваемое на решение задачи каждым узлом. Таким образом, более производительные узлы не будут простаивать, ожидая данных от менее производительных узлов кластера.

3.3 Проверка эффективности работы алгоритма

Для проверки эффективности работы алгоритма были проведены серии тестовых экспериментов по решению сформулированной задачи, на вычислительных кластерах с различными типами процессоров и коммуникационных сетей. Программы, написанные для кластера, использовали коммуникационную библиотеку MPI [31]. Технические характеристики этих кластеров приведены в таблице 3.1.

На кластере “D” логический узел в терминах MPI совпадает с физическим двухпроцессорным узлом. На всех остальных кластерах коммуникационная библиотека MPI сконфигурирована таким образом, что каждый процессор является логическим узлом, которому выделена половина памяти физического узла. Наиболее высокопроизводительный кластер “A”, имеет 160 логических узлов с 2 гигабайтами оперативной памяти каждый.

Рассмотрим первый из описанных алгоритмов распараллеливания задачи (рис 3.1 a). В тестовых экспериментах использовалось до 8 узлов кластера, каждому из которых назначалась зона ответственности из 9 плоскостей z_i. При использовании расчетной сетки с поперечными размерами 8192*8192 узлов это требовало привлечения всей оперативной памяти (2 Гбайта).

Имя	Количество узлов / процессоров	Вычислительный узел	Коммуникационная сеть	Программное обеспечение	Производительность на тесте LINPACK	Компилятор C++
НИВЦ МГУ (ANT) “A”	80/160	2xOpteron 248/2.2 ГГц, RAM 4 Гбайт	InfiniBand	Suse Linux 9.1, MVAPICH 0.9.4	512 Гфлоп	INTEL 8.1
НИВЦ МГУ (AQUA) “B”	41/82	2xPentium III/1 ГГц, RAM 1 Гбайт	Fast Ethernet	RedHat Linux 7.3, MPICH 1.2.5	31 Гфлоп	INTEL 8.1
PSI RAS (Первенец-M) “C”	16/32	2xAMD AthlonMP 1800+/1.5 ГГц, RAM 1 Гбайт	SCI	Red Hat Linux 3.2.2, ScaMPI 1.13.15	57 Гфлоп	GCC 3.2.2
МЛЦ МГУ “D”	7/14	2xXeon/2.6 ГГц, RAM 1.5 Гбайт	Gigabit Ethernet	Fedora Core 2, MPICH 1.2.7	18 Гфлоп	INTEL 8.0

Таблица 3.1. Характеристики используемых кластеров.

Для выявления зернистости задачи определялось время , затрачиваемое на счет каждым узлом между двумя точками обмена, и время обмена данных между узлами. При этом время обмена включает в себя время передачи, ожидания и приема данных. Время ожидания появлялось вследствие различной фактической производительности узлов кластера. Временные интервалы измерялись с помощью функции times(), взятой из стандартной библиотеки Linux. Результаты усреднялись по всем узлам кластера и внутри узлов по временным слоям, всего M реализаций.

Для сравнения были выполнены эксперименты на расчетных сетках разной размерности по поперечным координатам x,y от N_x,N_y =1024 до N_x,N_y =8192. При этом в точке обмена происходила передача комплексного поля от одного узла кластера другому состоящая из 8 N_xN_y байт (по 8 байт на каждый узел сетки).

3.4 Влияние значения порога ионизации на многофиламентацию импульса в турбулентной атмосфере

Для приближенного анализа задачи филаментации можно в вычислительном эксперименте пойти по пути искусственного увеличения диаметра формируемого филамента. Это приведет к уменьшению количества необходимых узлов расчетной сетки, и, следовательно, к понижению требований на вычислительные ресурсы и ускорению решения задачи. Увеличить диаметр филамента можно, занизив по интенсивности порог образования плазмы, формально домножив при вычислении скорости ионизации R^N,O в (2.3) интенсивность излучения на поправочный коэффициент . В результате, дефокусировка излучения будет возникать на более раннем этапе формирования филаментов, когда они имеют больший поперечный размер.

Простые оценки показывают, что для увеличения диаметра филамента в десять раз, порог ионизации должен быть понижен на два порядка. Если при этом сохранится качественная картина образования многих филаментов в широком пучке, то она даст возможность оценить поперечные размеры филаментов и плазменных каналов, возникающих в реальном эксперименте, путем соответствующего масштабирования. Однако указанное предположение требует проверки, которая была выполнена в настоящей работе.

Рассмотрим теперь результаты численного моделирования распространения в турбулентной атмосфере лазерного импульса, комплексная амплитуда светового поля которого на входе в среду имеет вид:

, (3.1)

где типичный для экспериментальных условий [19] поперечный размер пучка a₀ = 0.92 см, длительность импульса фс. Значение других параметров среды и излучения в вычислительных экспериментах составляли: длина волны нм, пиковая плотность энергии (P₀ = 20 P_cr), внешний L₀ и внутренний l₀ масштабы турбулентности L₀ = 1 м, l₀ = 1 мм, структурная постоянная атмосферной турбулентности = 1.9·10^-15 см^-2/3. Радиус Фрида r₀ или радиус атмосферной когерентности, также отождествляемый с характерной шкалой атмосферных возмущений, определяется следующим выражением [45]:

. (3.2)

При параметре L равным длине всей трассы 80 м, радиус Фрида r₀ = 6.92 см.

На рис. 3.2 представлены плотности энергии в поперечном сечении импульса J (x,y) и плотности концентрации электронов N_e (x,y) в лазерной плазме при трех значениях понижающего порог ионизации коэффициента = 50 (а, б), 35 (в, г) и 28 (д, е). Видно, что во всех случаях на расстоянии z = 50 м образуется одна «горячая точка» в распределении плотности энергии (а, в, д), которая является началом первого филамента. Однако поперечный размер этого филамента при = 50 приблизительно в 1.4 раза больше, чем при = 35 и в 1.6 раз больше, чем при = 28. Ширина плазменного канала также уменьшается при понижении коэффициента (рис. 3.2 г, е).

На расстоянии z = 60 метров во всех случаях отчетливо видна кольцеобразная структура в распределении плотности энергии вокруг первого филамента и начало формирования в ней вторичных филаментов [18, 19]. В нижней части сечения импульса появился еще один первичный филамент. При этом на рис. 3.2 б, г, е наблюдаются области повышенной концентрации электронов, соответствующие центру кольцеобразной структуры и второму первичному филаменту. В дальнейшем (z = 70 м) вторичный филамент тоже приобретает кольцеобразную структуру, которая при z = 80 м трансформируется в несколько «горячих точек» с одновременным возникновением на периферии импульса новых первичных филаментов.

Следует отметить, что при сгущении узлов расчетной сетки в поперечном сечении вдвое (например, при переходе от сетки с размером 512 на 512 узлов к сетке 1024 на 1024), приходится уменьшать шаг по продольной координате в 4 раза и по временной координате как минимум в 2 раза. Таким образом, при сгущении расчетной сетки вдвое вычислительная сложность задачи возрастает более чем в 30 раз. Такое возрастание сложности приводило к большим трудностям при решении задачи с коэффициентом занижения порога = 28. Для решения этой задачи были задействованы 40 узлов кластера ANT (таблица 3.1). Полное решение задачи занимало 5 дней. Следует заметить, что шаг по продольной координате z подбирался как максимально допустимый (чтобы в (2.17)), при определенном числе узлов расчетной сетки N_x, N_y. Размер временного шага также подбирался таким образом, чтобы в результатах численного решения не возникало «артефактов». Например, для задачи с размером сетки 2048 на 2048 узлов значения шагов по продольной и временной координате составляли, соответственно: 0.417 см и 0.005 , при длине трассы в 80 м и области изменения временной переменной от до .

4. Филаментация на протяженных атмосферных трассах

4.1 Особенности формирования плазменных каналов при многофиламентации

Рассмотрим более подробно формирование плазменных каналов. На рис. 4.1 а показана трехмерная картина плазменных каналов, соответствующая случаю, показанному на рис 3.2 а, б. Для сравнительного анализа воспользуемся также трехмерной картиной траекторий «горячих точек» (рис. 4.1 б). Трехмерные картины представляют собой поверхности одного уровня концентрации электронов или плотности энергии, прошедшей через поперечное сечение импульса. Кольцеобразным структурам в распределении плотности энергии на рис. 3.2 а в трехмерной картине плотности энергии соответствуют трехмерные воронки.

Видно, что плазменные каналы начинают формироваться в областях высокой плотности энергии и продолжают сохраняться в центре воронок и далее на протяжении десятков метров вдоль по трассе, где траектории «горячих точек» оказываются смещены по отношению к плазменным каналам. При наложении изображений плазменных каналов на траектории «горячих точек» (рис. 4.1 б) отчетливо видно наличие несовпадающих областей высокой концентрации электронов и большой плотности энергии. Это можно объяснить тем, что фронт импульса, проходя через среду, создаёт за собой область высокой концентрации электронов, на которой происходит дефокусировка оставшейся части импульса. В результате, непосредственно через область пространства, в которой сформировался плазменный канал, проходит относительно небольшая часть энергии импульса.

Видно, что если на фронте импульса (t = -0.3 ) образуется яркое пятно в распределении интенсивности, то уже в вершине импульса (t = 0) и на его хвосте (t = 0.3 ) вследствие дефокусировки излучения в этом месте наблюдается провал или темное пятно.

4.2 Методика расчета распространения частотно-модулированного импульса в турбулентной атмосфере на километровых трассах. Режим префиламентации.

Как уже было сказано во введении, для того чтобы получить филаменты на расстояниях свыше километра, можно использовать растянутые во времени частотно модулированные импульсы. При частотной модуляции импульса его длительность увеличивается, а пиковая мощность становится меньше по сравнению с соответствующими параметрами и спектрально-ограниченного импульса с такой же энергией. При распространении таких импульсов на начальной части трассы нелинейные эффекты проявляются слабо.

Протяженный участок атмосферной трассы, на котором пиковая интенсивность частотно-модулированного импульса значительно меньше порога фотоионизации газовых компонент воздушной среды, можно назвать областью префиламентации:

, (4.1)

где – граница области префиламентации, – порог фотоионизации.

В области префиламентации энергетические изменения в импульсе определяются керровской самофокусировкой и флуктуациями показателя преломления в турбулентной атмосфере, которые приводят к пространственному перераспределению плотности потока энергии в плоскости, перпендикулярной направлению распространения, а также компрессией, которая вызывает временное перераспределение мощности в импульсе так, что от переднего и заднего фронтов она перетекает к его центру, увеличивая . Если на участке префиламентации () изменения интенсивности при керровской самофокусировке и мощности во временных слоях при компрессии относительно невелики, то трансформацию импульса в пространстве и времени можно рассматривать независимо. Такое приближение равносильно применению метода расщепления по физическим факторам к уравнению (2.1) для комплексной амплитуды поля. Поскольку на участке префиламентации отсутствует фотоионизация, то после расщепления (2.1) цепочка уравнений относительно комплексной амплитуды светового поля в импульсе принимает вид:

, (4.2)

(4.3)

Уравнение (4.2) описывает пространственную, а (4.3) временную динамику поля E. При этом (4.3) описывает распространение импульса в среде с линейной дисперсией 2-ого порядка.

Дисперсия импульса в линейном приближении

Рассмотрим распространение гауссовского импульса длительности с линейной частотной модуляцией , который на входе в среду при z = 0 имеет вид:

. (4.4)

Тогда комплексное поле в среде может быть записано в виде [32]:

, (4.5)

где . Длительность такого импульса определяется выражением:

, (4.6)

где – дисперсионная длина.

Таким образом, в среде с нормальной дисперсией групповой скорости () импульс с отрицательной частотной модуляцией () вначале подвергается компрессии, а затем расплывается. Минимальная длительность импульса определяется выражением:

. (4.7)

Расстояние, на котором длительность лазерного импульса с отрицательной начальной частотной модуляцией становится минимальной, называется длиной компрессии:

. (4.8)

Отметим, что частотная модуляция на длине компрессии обращается в ноль. Если мы хотим получить на фиксированной длине длительность спектрально ограниченного импульса , то или

. (4.9)

При этом длина компрессии будет определяться выражением

, (4.10)

где – дисперсионная длина спектрально ограниченного импульса длительностью . Выразив из (4.8), получаем для длительности растянутого импульса

. (4.11)

Из (4.9) получаем выражение для коэффициента частотной модуляции растянутого импульса:

. (4.12)

Таким образом, в режиме префиламентации частотно-модулированных импульсов на длинных трассах можно рассматривать задачу о нелинейной дифракции в керровской среде временного слоя импульса с пиковой мощностью. При этом временная эволюция может быть описана в рамках квазилинейной компрессии гауссовского импульса, параметры которого на шаге изменяются следующим образом:

, (4.23)

, (4.24)

где .

После начала формирования филамента условия применимости такого подхода нарушаются и необходимо решать полную задачу (2.1).

4.3 Статистические характеристики «горячих точек» на километровых трассах

Для получения статистических характеристик процесса филаментации на километровых трассах модифицированным спектральным методом был синтезирован ансамбль случайных, статистически независимых фазовых экранов с заданными статистическими характеристиками. Рассматривались экраны с модифицированным кармановским спектром и параметрами: внешний масштаб = 10 м, внутренний = 3 мм. Толщина слоя турбулентной среды, моделируемая одним фазовым экраном, составляла 50 м. Фазовые экраны располагались по всей длине трассы. Например, для расчета распространения импульса на трасе длиной 3000 м потребуется 60 фазовых экранов в одной реализации. Усреднение проводилось по ансамблю из 100 реализаций с различными фазовыми экранами.

Структурная постоянная атмосферной турбулентности от серии к серии численных экспериментов изменялась в пределах от 0.05·10^-15 до 0.8·10^-15 см^-2/3 , что соответствует переходу от небольшой турбулентности до умеренно сильной. Также, для каждой серии численных экспериментов решалась задача в регулярном случае ≡ 0. В таблице 4.1 показано соответствие структурных постоянных, используемых в данной работе радиусу Фрида [45]. Естественно, что с увеличением атмосферной турбулентности, т.е. увеличением структурной постоянной, радиус когерентности или радиус Фрида уменьшается.

Расчетная сетка в поперечном сечении импульса бралась размером 512 на 512 узлов. Шаг сетки в продольном направлении изменялся в зависимости от пиковой интенсивности . Его минимальное значение составляло = 10 см.

Рассматривалось распространение частотно-модулированных гауссовых импульсов с гауссовым поперечным профилем (2.8). Размер пучка составлял a₀ = 2 см, длительность спектрально-ограниченного импульса – =100 фс, длительность уширенного импульса и параметр частотной модуляции определялись по формулам (4.11) и (4.12) в зависимости от заданной длины компрессии .

Статистические характеристики первой «горячей точки»

В вычислительных экспериментах определялись координаты x_h, y_h, z_h начала формирования первой «горячей точки». Критерием появления в импульсе «горячей точки» служило двадцатикратное увеличение пиковой интенсивности по сравнению с начальной. Длина компрессии L_k, предварительно растянутого импульса, составляла 3000 м, 4500 м и 8000 м.

Рассмотрим влияние атмосферной турбулентности и начальной мощности импульса на расстояние до начала образования первой «горячей точки». На рис. 4.4 приведена зависимость этого расстояния от структурной постоянной при различных начальных мощностях P и длинах компрессии. Под начальной мощностью P подразумевается мощность исходного, спектрально ограниченного импульса. На графиках также приведены среднеквадратичное отклонение и доверительный интервал для среднего.

Наряду с более ранним в среднем формированием «горячих точек» при сильной атмосферной турбулентности, одновременно растет и их статистический разброс. Поэтому в отдельных реализациях можно наблюдать не только уменьшение координаты старта филамента, но и запаздывание по трассе появления первой «горячей точки». В некоторых реализациях «горячие точки» могут появляться позже, чем в регулярном случае.

С увеличением начальной мощности (рис. 4.4 б, г, е) этот разброс уменьшается. Так, например, при = 0.8·10^-15 см^-2/3 , начальной мощности P = 20 P_cr и длине компрессии L_k =3000 м (рис. 4.4 а), разброс составляет 310 м, а при начальной мощности P = 40 P_cr (рис. 4.4 б) разброс составляет всего 140 м. При длине компрессии L_k = 4500 м (рис. 4.4 в, г) разброс составляет 570 м и 240 м, а при L_k = 8000 м и C_n² = 0.2·10^-15 см^-2/3 (рис. 4.4 д, е) – 1580 м и 480 м, соответственно. Таким образом, при увеличении пиковой мощности и уменьшении длины компрессии с большей точностью можно прогнозировать расстояние до начала первой «горячей точки».

Влияние атмосферной турбулентности и начальной пиковой мощности на поперечное смещение первой «горячей точки» при различных длинах компрессии иллюстрирует рис. 4.5. На рисунке приведено среднеквадратичное отклонение «горячей точки» от оси импульса. Значение в отдельных реализациях определяется по формуле , где x_h и y_h – поперечные координаты первой «горячей точки».

Видно, что с увеличением интенсивности турбулентности возрастает вероятность появления филаментов на периферии импульса. Так, например, при шестнадцатикратном увеличении значения среднеквадратичное отклонение первой «горячей точки» от оси лазерного импульса возросло при мощности импульса P = 20 P_cr и длине компрессии L_k = 3000 м (рис. 4.5 а) почти в четыре раза. Таким образом, с увеличением интенсивности атмосферной турбулентности разброс «горячих точек» в поперечнике пучка становится больше. При возрастании начальной мощности «горячие точки» образуются кучней как по продольной координате z (рис. 4.4), так и по поперечной координате (рис. 4.5).

При начальной мощности импульса P_δ = 2.64 P_cr и отсутствии атмосферной турбулентности первая «горячая точка» образовалась на расстоянии в 1370 м (рис. 4.7 а), что немного дальше 1190 м, полученных при использовании частотно-модулированных импульсов (рис. 4.4 в). В отличие от спектрально-ограниченных импульсов, у частотно-модулированных импульсов пиковая мощность растет в процессе распространения. Растущая пиковая мощность «подхватывается» керровской самофокусировкой, что и приводит к более раннему образованию первой «горячей точки».

При увеличении начальной пиковой мощности спектрально-ограниченного импульса до значения P_δ = 3.04 P_cr (рис. 4.7 б) можно добиться практически точного совпадения начала образования первой «горячей точки» в отсутствии турбулентности со случаем частотно-модулированных импульсов (рис. 4.7 в).

В таблице 4.2 представлена вероятность образования первой «горячей точки» спектрально-ограниченного импульса.

В отличие от частотно-модулированного импульса, в котором «горячая точка» появляется во всех реализациях, в спектрально-ограниченном импульсе было зарегистрировано большое количество реализаций, в которых «горячие точки» не формировались вовсе. Причем, чем больше была турбулентность (выше значение ), тем реже регистрировалась в импульсе «горячая точка» (таблица 4.2).

4.4 Характеристики множества филаментов в стационарном приближении

Предложенная в 4.2 методика позволяет рассчитывать распространение импульса только до образования первой «горячей точки». В предположении о независимости пространственной и временной динамики импульса фазовая самомодуляция, рассчитанная в окрестности первой «горячей точки», «охватывает» все поперечное сечение импульса. Это обстоятельство не позволяет правильно рассчитывать фазовую самомодуляцию в окрестности других вероятных «горячих точек». Если не учитывать фазовую самомодуляцию, то можно будет рассчитывать распространение импульса и после образования первой «горячей точки». При этом, чтобы избежать коллапса поля уже полученных «горячих точек», необходимо учитывать плазменную дефокусировку, как, например, в (2.9). В отсутствии фазовой самомодуляции расстояние, на котором образовывается «горячая точка», может быть смещено вдоль по трассе, но можно надеяться, что качественно картина образования многих филаментов сохранится.

Рассмотрим типичную картину образования многих филаментов, приведенную на рис. 4.8. В приведенном численном эксперименте размер пучка составлял a₀ = 2 см, длительность спектрально-ограниченного импульса – = 100 фс, пиковая начальная мощность P = 20 P_cr. Длина компрессии L_k = 4500 м, структурная постоянная атмосферной турбулентности = 0.8·10^-15 см^-2/3.

На расстоянии 500 м видно образование первой «горячей точки», которая к 900 м становится первым филаментом (рис. 4.8 а, б). Под филаментом здесь понимается совокупность «горячей точки» и соответствующей ей области высокой концентрации электронов (в данном случае с концентрацией выше см^–3). На расстоянии 1300 м видно образование еще одной «горячей точки». На расстоянии 1700 м их становится уже три. Хотя вторая «горячая точка» образовалась уже на расстоянии 1300 м, но филамент из нее сформировался только на расстоянии 2100 м. Столь долгое образование филамента из «горячей точки» связанно с тем, что для его образования долгое время не хватало мощности, которая из-за компрессии постепенно увеличивалась за счет краев импульса. В дальнейшем вдоль по трассе плазменные каналы трех филаментов (рис. 4.8 в, г) начинают «дрейфовать» в поперечном сечении импульса из-за турбулентных флуктуаций в атмосфере (рис 4.8 в, г).

Следует отметить, что подобная картина образования многих филаментов на километровой трассе является качественной и требует проверки путем решения полной задачи (2.1).

Заключение

В дипломной работе выполнено численное исследование филаментации фемтосекундных лазерных импульсов в турбулентной атмосфере. Для решения нелинейного уравнения квазиоптики, описывающего распространение в случайно-неоднородной среде мощных фемтосекундных импульсов, был предложен и реализован алгоритм распараллеливания задачи. Эффективность предложенного алгоритма проверена на различных вычислительных кластерах. Показано увеличение производительности вычислений практически в число задействованных узлов кластера раз по сравнению с однопроцессорной ЭВМ.

Литература

1. Kosareva O.G., Kandidov V.P., Brodeur A., Chien C.Y., Chin S.L. Conical emission from laser-plasma interactions in the filamentation of powerful ultrashort laser pulses in air. // Opt. Lett. V. 22. № 17. P. 1332 (1997).

2. Голубцов И.С., Кандидов В.П., Косарева О.Г. Коническая эмиссия мощного фемтосекундного лазерного импульса в атмосфере. // Оптика атмосферы и океана. Т. 14. № 5. С. 335 (2001).

3. Rairoux P., Schillinger H., Niedermeier S., Rodriguez M., Ronneberger F., Sauerbrey R., Stein B., Waite D., Wedekind C., Wille H., Wöste L., Ziener C. Remote sensing of the atmosphere using ultrashort laser pulses. // Applied Physics B. V. 71. P. 573 (2000).

4. Wille H., Rodriguez M., Kasparian J., Mondelain D., Yu J., Mysyrowicz A., Sauerbrey R., Wolf J. P., Woste L. Teramobile: A mobile femtosecond–terawatt laser and detection system. // European Physics Journal. V. 20. P. 183 (2002).

5. Kasparian J., Rodrigues M., Mejean G., Yu J., Salmon E., Wille H., Bourayou R., Frey S., Andre Y.-B., Mysyrowicz A., Souerbrey R., Wolf J.-P., Woste L. White-Light Filaments for Atmospheric Analysis. // Science. V. 301. P. 61 (2003).

6. Кандидов В.П., Косарева О.Г., Шленов С.А., Панов Н.А., Федоров В.Ю., Дормидонов А.Е. Динамическая мелкомасштабная самофокусировка фемтосекундного лазерного импульса. // Квантовая электроника. Т. 35. №1. C. 59 (2005).

7. Kasparian J., Sauerbrey R., Chin S.L. The critical laser intensity of self-guided light filaments in air. // Appl. Phys. B. V. 71. P. 877 (2000).

Дата добавления: 2015-09-28