Это – колдовские камни. Они были стары, когда мир был юн, и с их помощью решали великие вопросы еще до того, как Атлантида погрузилась в Африканский океан. Здесь семь белых камешков и один

§5. УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ

Это – колдовские камни. Они были стары, когда мир был юн, и с их помощью решали великие вопросы еще до того, как Атлантида погрузилась в Африканский океан. Здесь семь белых камешков… и один черный.

Стивен Кинг «Буря столетия»

Определение 5.1. Пусть А и В – некоторые события, причем Р(В)>0. Условной вероятностью события А при условии В (обозначается Р(А В)) называется вероятность события А, найденная при условии, что событие В произошло. Эта вероятность находится по формуле: .

Аналогично определяется условная вероятность события В при условии, что произошло событие А: .

Теорема 5.1 (правило умножения вероятностей). Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло: или .

Правило умножения вероятностей естественным образом обобщается на случай произвольного числа событий:

.

Определение 5.2. Два события называются независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятности появления другого. В этом случае условная вероятность события А при условии В равна безусловной вероятности события А: Р(А В)=Р(А). Аналогично Р(B A)=Р(B). Т.о. Р(А∙В)=Р(А)∙Р(В).

Определение 5.3. События А₁,А₂,...,А_n называются независимыми в совокупности, если вероятность каждого из них не зависит от осуществления или неосуществления любого числа остальных событий:

.

События А₁,А₂,...,А_n называются попарно-независимыми, если любые два события A_i и A_j (i j) из этого набора независимы.

Теорема 5.2. Вероятность суммы двух совместных событий есть сумма их вероятностей, из которой вычли вероятность их произведения:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)–Р(А∙В).

В случае, если А∙В = ∅, то Р(А∙В)=0, и Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Для трех событий А, В и С имеем:

P(A+B+С)=Р(А)+Р(В)+Р(С)–Р(А∙В)–Р(А∙С)–Р(В∙С)+Р(А∙В∙С).

Для трех и большего числа событий при нахождении вероятности суммы S этих событий проще найти вероятность противоположного события , а затем воспользоваться равенством P(S)=1–P().

Если события А₁,А₂,...,А_n попарно несовместны и образуют полную группу, то сумма их вероятностей равна единице: .

Пример 5.1. Из колоды в 36 карт наудачу вытаскивается одна. Зависимы ли события:

А – вытащен валет;

В – вытащена карта черной масти.

Решение. Проверим, выполняется ли равенство Р(А∙В)=Р(А)∙Р(В). В колоде четыре валета, поэтому Р(А)= = . Черных карт в колоде ровно половина, значит, Р(В)= . Т.о. Р(А)∙Р(В)= ∙ = . С другой стороны, событие А∙В – вытащен валет черной масти (таких в колоде только два) и Р(А∙В)= = . Требуемое равенство выполняется, следовательно, события независимы.

Пример 5.2. Кот Базилио и лиса Алиса подбрасывают по монете. Рассматриваются события:

А – выпадение герба на монете кота Базилио;

В – выпадение герба на монете лисы Алисы.

Найдите вероятность события A+B.

Решение. 1 способ. Поскольку выпадение герба и выпадение цифры при бросании одной монеты являются равновозможными событиями, то Р(А)= , Р(В)= . Вероятность одновременного выпадения двух гербов есть вероятность события А∙В, т.о. Р(А∙В)= . Согласно теореме сложения, Р(А+В)=Р(А)+Р(В)–Р(А∙В)= + – = .

2 способ. Событие есть выпадение цифр на обеих монетах, тогда P()= и P(A+B)=1–P()=1– = .

Пример 5.3. Электрическая цепь составлена по схеме, приведенной на рис.5.1. Надежности элементов проставлены на рисунке и определяются независимо друг от друга. Определите надежность всейцепи.

Решение. Если элементы соединены последовательно, то для работы всей цепи, необходима исправность каждого из них. Если элементы соединены параллельно, то для работы всей цепи достаточно

Рис.5.1 исправности хотя бы одного из них.

Вероятность того, что элемент выйдет из строя, при его надежности р, равна 1–р. Т.о. надежность цепи, изображенной на рисунке, равна .

Решите задачи:

1. Опыт состоит в последовательном бросании двух монет. Рассматриваются события:

C – выпадение герба на первой монете;

D – выпадение хотя бы одного герба;

Е – выпадение хотя бы одной цифры;

F – выпадение герба на второй монете.

Определите, являются ли зависимыми пары событий:

1) C и Е; 2) C и F; 3) D и Е; 4) D и F.

Найдите условные вероятности: P(E|C), P(C|F), P(D|E), P(D|F).

2. Из полной колоды карт (52 штуки) вынимается одна карта. Рассматриваются события:

А – появление туза;

В – появление карты красной масти;

С – появление бубнового туза;

D – появление десятки.

Определите, являются ли зависимыми пары событий:

1) А и В; 2) А и С; 3) В и С; 4) В и D; 5) С и D?

Найдите условные вероятности: P(A|B), P(A|C), P(B|C), P(B|D), P(C|D).

3. На курсе учатся четыре студента, занявшие призовые места в предметных олимпиадах. Первый студент – призер олимпиады по математике, второй – по физике, третий – по химии, а четвертый – по всем трем предметам.

а) Декан факультета знает этих студентов, но не помнит, кто из них в какой олимпиаде участвовал. Встречая одного из этих студентов, он поздравляет его с призовым местом на олимпиаде по математике. С какой вероятностью он окажется прав?

б) Декан угадал, что встреченный им студент – призер олимпиады по математике. Тогда он поздравляет его и с удачным участием в олимпиаде по физике. С какой вероятностью он может угадать на этот раз?

в) Являются ли события «встреченный деканом студент – призер олимпиады по физике (химии, математике – соответственно)» независимыми в совокупности?

4. Брошены три игральные кости. Рассматриваются события:

А₁₂ – на первой и на второй кости выпало одинаковое число очков;

А₂₃ – на второй и на третьей кости выпало одинаковое число очков;

А₁₃ – на первой и на третьей кости выпало одинаковое число очков.

Будут ли события А₁₂,А₂₃,А₁₃: а) попарно независимы; б) независимы в совокупности?

5. Брошены две игральные кости. Найдите вероятность того, что на первой кости выпало два очка при условии, что сумма очков на обеих костях меньше пяти.

6. Из урны, в которой 3 белых и 5 черных шаров, вынули два шара. Найдите вероятность того, что оба шара белые, если шары вынимаются:

а) одновременно; б) последовательно без возвращения.

7. Имеется две урны: в первой а белых и b черных шаров; во второй – с белых и d черных. Из каждой урны вынимается по шару. Найдите вероятность следующих событий:

K – оба шара белые;

L – оба шара одного цвета;

M – оба шара разного цвета;

N – хотя бы один из шаров белый.

8. В урне два белых и три черных шара. Два игрока поочередно вынимают из урны по шару, не вкладывая их обратно. Выигрывает тот, кто раньше получит белый шар. Найдите вероятность того, что выиграет первый игрок.

9. Один студент выучил 20 из 25 вопросов программы, второй студент – только 15. Каждому из них задают по одному вопросу. Найдите вероятность того, что правильно ответят:

а) оба студента; б) только первый студент; в) только один из них; г) хотя бы один из студентов.

10. Студент знает 30 из 40 вопросов программы. Экзаменатор задает ему вопросы до тех пор, пока не обнаруживает пробел в знаниях студента. Найдите вероятность того, что будут заданы:

а) два вопроса; б) более двух вопросов; в) менее пяти вопросов.

11. Уходя из квартиры один за другим, N гостей, имеющих одинаковые номера обуви, надевают калоши в темноте. Каждый из них может отличить правую калошу от левой, но не может отличить свою от чужой. Найдите вероятности следующих событий:

А – каждый гость наденет свои калоши;

В – каждый гость наденет калоши, относящиеся к одной паре (возможно, и не свои).

12. Из полной колоды карт (52 штуки) вынимают последовательно четыре карты (без возвращения). Рассматриваются события:

А – среди вынутых карт будет хотя бы одна бубновая;

В – среди вынутых карт будет хотя бы одна червонная.

Найдите вероятность события А+В.

13. Из полной колоды карт (52 штуки) вынимают последовательно четыре карты (без возвращения). Найдите вероятность того, что все эти четыре карты будут разных мастей. Решите эту же задачу при условии, что каждая карта после вынимания возвращается в колоду.

14. Два стрелка, независимо один от другого, делают по выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка – р₁, для второго – р₂. Найдите вероятность того, что мишень будет поражена. Решите ту же задачу при условии, что стрелки сделают по два выстрела.

15. При включении зажигания двигатель начинает работать с вероятностью р. Найдите вероятность того, что:

а) двигатель начнет работать при втором включении зажигания;

б) для ввода двигателя в работу придется включить зажигание не более двух раз.

16. Биолог рассматривает поведение амебы под микроскопом. За некоторый промежуток времени амеба может погибнуть с вероятностью , просто существовать с вероятностью либо разделиться на две с вероятностью . В следующий промежуток времени с каждой амебой происходит то же самое. С какой вероятностью к концу второго промежутка времени число наблюдаемых амеб составит: а) 4; б) 1; в) 0.

17. Электрическая цепь составлена по схеме, приведенной на рис.5.2. Элементы с номерами 1, 2, 3 могут выйти из строя независимо друг от друга с вероятностями, равными соответственно 0,10; 0,15; 0,20. Какова вероятность разрыва цепи?

Рис.5.2

18. Электрическая цепь составлена по схеме, приведенной на рис.5.3. Элемент с номером i работает независимо от других элементов с вероятностью p_i (i=1,2,3,4). Найдите вероятность бесперебойной работы цепи.

Рис.5.3

19. Завод выпускает телевизоры; каждый телевизор может иметь дефект с вероятностью р. После изготовления телевизор осматривается последовательно тремя контролерами; i-й контролер обнаруживает дефект, если он имеется, с вероятностью p_i (i=1,2,3). В случае обнаружения дефекта телевизор бракуется. Определите вероятности событий:

А – телевизор с дефектом будет забракован;

В – телевизор с дефектом будет забракован только вторым контролером;

С – телевизор с дефектом будет забракован всеми контролерами.

20. Завод изготавливает телевизоры; каждый телевизор может иметь дефект с вероятностью р. Телевизор осматривается одним контролером; он обнаруживает имеющийся дефект с вероятностью p₁, а если дефект не обнаружен, пропускает телевизор в готовую продукцию. Кроме того, контролер может по ошибке забраковать телевизор, не имеющий дефекта; вероятность этого равна . Найдите вероятности следующих событий:

А – телевизор будет забракован ошибочно;

В – телевизор будет забракован;

С – телевизор будет пропущен в готовую продукцию с дефектом.

Дата добавления: 2015-08-29