Метод наименьших квадратов

Метод наименьших квадратов

На практике часто сталкиваемся с задачей о сглаживании экспериментальных зависимостей.

Пусть зависимость между двумя переменными x и y выражается в виде таблицы, полученной опытным путем. Это могут быть результаты опыта или наблюдений, статистической обработки материала и т.п.

xi	x1	x2	…	xn
yi	y1	y2	…	yn

Требуется наилучшим образом сгладить экспериментальную зависимость между переменными x и y, т.е. по возможности точно отразить общую тенденцию зависимости y от x, исключив при этом случайные отклонения, связанные с неизбежными погрешностями измерений или статистических наблюдений. Такую сглаженную зависимость стремятся представить в виде формулы y=f(x) – эмпирическая формула.

Задача нахождения эмпирической формулы разбивается на два этапа:

- устанавливается вид зависимости y=f(x), т.е. решить, является ли она линейной, квадратичной, логарифмической или какой-либо другой (в нашей задаче зависимость линейная - y=ax+b);

- определение неизвестных параметров этой функции по методу наименьших квадратов, согласно которому, в качестве неизвестных параметров функции f(x) выбирают такие значения, чтобы сумма квадратов отклонений «теоретических» значений f(x_i), найденных по эмпирической формуле y=f(x), от соответствующихопытных значений была минимальной, т.е.

(в нашей задаче ).

В результате решения такой экстремальной задачи с помощью частных производных:

,

получаем систему нормальных уравнений, из которой находим параметры a и b линейной зависимости:

.

Дата добавления: 2015-08-29