18 Определим деформации ε1 и ε2 в направлениях главных напряжений при плоском напряженном состоянии (рис. 1). Для этого используем закон Гука для одноосного напряженного состояния, а также

18 Определим деформации ε₁ и ε₂ в направлениях главных напряжений при плоском напряженном состоянии (рис. 1). Для этого используем закон Гука для одноосного напряженного состояния, а также зависимость между продольной и поперечной деформациями и принцип независимости действия сил (принцип сложения деформаций).

От действия одного напряжения σ₁ относительное удлинение по вертикали равно

и одновременно в горизонтальном направлении относительное сужение равно

От действия одного только σ₂ имели бы в горизонтальном направлении удлинение и в вертикальном на-

правлении сужение Суммируя деформации, получаем:

(1)

Эти формулы выражают обобщенный закон Гука для плоского напряженного состояния. Если известны деформации ε₁ и ε ₂, то, решая уравнения [1] относительно напряжений σ₁и σ₂, получим следующие формулы:

(2)

Аналогично для объемного (пространственного) напряженного состояния, когда все три главных напряжения σ₁, σ₂ и σ₃отличны от нуля, получим:

(3)

Уравнения (3) представляют собой обобщенный закон Гука для объемного напряженного состояния

19Статически неопределимыми называются такие конструкции, в элементах которых при помощи только одних уравнений статики определить усилия невозможно. Кроме уравнений статики для расчета таких систем (конструкций) необходимо использовать также уравнения, содержащие деформации элементов конструкций.

Все статически неопределимые конструкции имеют дополнительные, или так называемые «лишние», связи в виде закреплений, стержней либо других элементов. Лишними такие связи называют потому, что они не являются безусловно необходимыми для обеспечения равновесия конструкции и ее геометрической неизменяемости, хотя постановка их диктуется условиями эксплуатации. По условиям прочности и жесткости конструкции лишние связи могут оказаться необходимыми.

В статически неопределимых конструкциях число неизвестных, подлежащих определению, больше, чем число уравнений статики, которые могут быть для этой цели использованы. Разность между числом неизвестных и числом уравнений статики определяет число лишних неизвестных, или степень статической неопределимости конструкции. При одной лишней неизвестной конструкция называется один раз статически неопределимой, при двух — дважды статически неопределимой и т. д. Конструкции, изображенные на рис.5.11,а,б,г-е, имеющие по одной дополнительной связи, являются один раз статически неопределимыми, а конструкция, представленная на рис.5.11,в, имеющая две лишние связи,— дважды статически неопределимой.

Решение статически неопределимых задач. Статически неопределимые конструкции, элементы которых работают на растяжение и сжатие, будем рассчитывать, решая совместно уравнения, полученные в результате рассмотрения статической, геометрической и физической сторон задачи. При этом будем придерживаться следующего порядка:

1. Статическая сторона задачи. Составляем уравнения равновесия отсеченных элементов конструкции, содержащие неизвестные усилия.

2. Геометрическая сторона задачи. Рассматривая систему в деформированном состоянии, устанавливаем связи между деформациями или перемещениями отдельных элементов конструкции. Полученные уравнения называются уравнениями совместности деформаций.

3. Физическая сторона задачи. На основании закона Гука выражаем перемещения или деформации элементов конструкции через действующие в них неизвестные усилия. В случае изменения температуры к деформациям, вызванным усилиями, добавляются температурные деформации.

4. Синтез. Решая совместно статические, геометрические и физические уравнения, находим неизвестные усилия.

20Статический момент сечения. Центр тяжести сечения

При определении положения центра тяжести сечения необходимо определять значения статических моментов этого сечения.

Рис. 4.3

Статическими моментами ппощади сечения относительно осей X и У (рис.4.3) называются определенные интегралы вида:

где F - площадь сечения; X и у - координаты элемента площади dF.

Если известно положение центра тяжести сечения (рис. 4.4). то статические моменты сечения могут быть подсчитаны по простым формулам, без взятия интегралов, а именно

где X_c и Y_c - координаты центра тяжести сечения.

Из выражений (2) можно определить координаты центра тяжести сечения X_c и Y_c:

Статический момент сечения относительно оси, проходящей через центр тяжести, равен нулю.

Оси, проходящие через центр тяжести сечения -называются центральными. Центр тяжести сечения лежит на оси симметрии сечения. Если сечение имеет хотя бы две оси симметрии, то центр тяжести лежит на пересечении этих осей.

Для сложного сечения, состоящего из n простейших фигур, координаты центра тяжести сечения определяются по формулам

где X_j и Y_j - координаты центров тяжести отдельных фигур сечения.

МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ СЕЧЕНИЯ

Моменты инерции сечения входят в формулы для напряжений и деформаций.

Осевыми моментами инерции сечения относительно осей X и Y (рис. 4.3) называются определенные интегралы вида

Центробежным моментом инерции сечения относительно двух взаимно перпендикулярных осей х и y называется определенный интеграл вида (рис. 4.3)

Полярным моментом инерции сечения относительно начала координат о называется определенный интеграл вида

Ниже приведены моменты инерции наиболее распространенных простейших сечений:

№	Ixc	Iyc	Ixcyc	Ic	Iy	Iyy
а)	bh^3/2	b^3h/12		bh^3/3	b^3h/3	b^2h^2/4
б)	bh^3/36	b^3h/36	-b^2h^2//78	bh^3/12	b^3h/2	b^2h^2/24
в)	Пd^4/64	Пd^4/64		-	-	-
г)	0,11r^2	Пd/128		Пd^4/128	-	-

Рис. 4.5

Знак центробежного момента инерции сечения часто можно определить по чертежу сечения (рис.4.6).

Рис. 4.6

Согласно формуле

Отсюда, части площади, находящиеся в I и III квадрантах, имеют положительные центробежные моменты инерции, так как произведения координат х и у элементарных площадок dF, находящихся в этих квадрантах дают положительные величины. Части площади, находящиеся во II и IV квадрантах имеют отрицательные центробежные моменты инерции.

Моменты инерции относительно параллельных осей, одни из которых центральные (XC0CYC) опре-депяются из выражений (рис. 4.7):

где a и b - координаты центра тяжести сечения О_c

Рис. 4.7

Координаты a и b необходимо подставлять в эти формулы с учетом их знаков.

Моменты инерции, входящие в формулы для определения прочности и жесткости конструкции вычисляются относительно осей, которые являются не только центральными, но и главными. Чтобы определить какие оси, проходящие через центр тяжести, являются главными, надо уметь определять моменты инерции относительно осей, повернутых относительно друг друга на некоторый угол.

Зависимости между моментами инерции при повороте координатных осей (рис. 4.8) имеют вид:

Рис. 4.8

где - угол между осями XOY и UOY. Угол считается положительным, если поворот осей XOY происходит против часовой стрелки.

Главными осями инерции называются две взаимно перпендикулярные оси, относительно которых центробежный момент инерции сечения равен нулю.

Направление главных осей инерции определяется уравнением

Главными моментами инерции называются осевые моменты инерции, вычисленные относительно главных осей инерции, которые имеют экстремальные значения

Главные оси, проходящие через центр тяжести сечения, называютсяглавными центральными осями, а моменты инерции относительно этих осей -главными центральными моментами инерции.

Ось симметрии плоского сечения является | главной центральной осью инерции этого сечения.

Если плоское сечение имеет хотя бы две оси симметрии неперпендикулярные друг другу, то все оси, проходящие через центр тяжести этой фигуры, являются ее главными центральными осями инерции. Осевые моменты инерции площади сечения, вычисленные относительно этих осей, равны между собой (рис. 4.9).

Рис. 4.9

Моменты инерции сложных сечений определяются по формулам

где - осевые моменты инерции; - центробежные моменты инерции; - полярные моменты инерции отдельных фигур сечения.

Дата добавления: 2015-08-29