Получим вариационный ряд из исходного:

Задание №10.

Одномерная выборка

Получим вариационный ряд из исходного:

-1,23	-1,07	-1,06	-1,05	-0,92	-0,9	-0,88
-0,67	-0,67	-0,58	-0,25	0,08	0,23	0,25
0,31	0,43	0,57	0,75	0,84	1,18	1,23
1,24	1,48	1,56	1,56	1,77	1,78	2,38
2,65	3,21	3,62	3,67	3,76	3,9	3,92
3,99	4,07	4,08	4,11	4,32	4,35	4,45
4,6	4,66	5,07	5,26	5,64	5,7	5,9

Сделаем таблицу для построения графика эмпирической функции F*(x), которая определяется формулой:

При этом исключим повторяющиеся значения.

m
x	-1,23	-1,07	-1,06	-1,05	-0,92	-0,9	-0,88	-0,67
F*(x)	0,020408	0,040816	0,061224	0,081633	0,102041	0,122449	0,142857	0,163265
m
x	-0,58	-0,25	0,08	0,23	0,25	0,31	0,43	0,57
F*(x)	0,204082	0,22449	0,244898	0,265306	0,285714	0,306122	0,326531	0,346939
m
x	0,75	0,84	1,18	1,23	1,24	1,48	1,56	1,77
F*(x)	0,367347	0,387755	0,408163	0,428571	0,44898	0,469388	0,489796	0,530612
m
x	1,78	2,38	2,65	3,21	3,62	3,67	3,76	3,9
F*(x)	0,55102	0,571429	0,591837	0,612245	0,632653	0,653061	0,673469	0,693878
m
x	3,92	3,99	4,07	4,08	4,11	4,32	4,35	4,45
F*(x)	0,714286	0,734694	0,755102	0,77551	0,795918	0,816327	0,836735	0,857143
m
x	4,6	4,66	5,07	5,26	5,64	5,7	5,9
F*(x)	0,877551	0,897959	0,918367	0,938776	0,959184	0,979592

m – номер числа в вариационном ряду.

График эмпирической функции, совмещённый с графиком гипотетической функции, представлен в конце задания на миллиметровой бумаге.

Определим количество непересекающихся и примыкающих друг к другу интервалов:

Построим гистограмму равноинтервальным методом. Определим длину интервала:

i	Ai	Bi	hi	vi	Pi*	fi*
	-1,23	-0,21	1,0185714		0,22449	0,220397
	-0,21	0,81	1,0185714		0,142857	0,140252
	0,81	1,83	1,0185714		0,183673	0,180325
	1,83	2,84	1,0185714		0,040816	0,040072
	2,84	3,86	1,0185714		0,081633	0,080144
	3,86	4,88	1,0185714		0,22449	0,220397
	4,88	5,90	1,0185714		0,102041	0,10018

Построим гистограмму равновероятностным методом.

i	Ai	Bi	hi	vi	Pi*	fi*
	-1,23	-0,775	0,455		0,142857	0,313972
	-0,775	0,28	1,055		0,142857	0,13541
	0,28	1,235	0,955		0,142857	0,149589
	1,235	2,515	1,28		0,142857	0,111607
	2,515	3,955	1,44		0,142857	0,099206
	3,955	4,525	0,57		0,142857	0,250627
	4,525	5,90	1,375		0,142857	0,103896

Вычислим точечные оценки числовых характеристик.

Состоятельная оценка математического ожидания:

Несмещенная состоятельная оценка дисперсии:

5,005457

Несмещенная состоятельная оценка среднеквадратического отклонения:

2,237288

Вычислим интервальные оценки математического ожидания и дисперсии с надежностью g=0.95.

Доверительный интервал для математического ожидания.

Согласно центральной предельной теореме при достаточно большом n закон распределения можно считать нормальным, поэтому воспользуемся следующей формулой для случайной величины X с неизвестным законом распределения:

где zg=argF(g/2)=argF(0.475)=1.96 - значение аргумента функции Лапласа, тогда интервал равен:

Доверительный интервал для дисперсии:

По виду графика эмпирической функции распределения и гистограмм выдвигаем двухальтернативную гипотезу о законе распределения случайной величины X:

H0 – величина X распределена по нормальному закону:

где m и σ - параметры распределения: ; 2,237288.

H1 – величина X не распределена по нормальному закону:

Проверим гипотезу о нормальном законе по критерию Пирсона c2. Вычислим значение критерия c2на основе равноинтервального статистического ряда:

Теоретические вероятности попадания в интервалы вычислим по формуле:

Данные для расчета теоретических вероятностей представлены в таблице:

i	Ai	Bi	F0(Ai)	F0(Bi)	pj	pj*	((pj*-pj)^2)/pj
	-1,23	-0,21		0,158605	0,158605	0,22449	0,027368934
	-0,21	0,81	0,158605	0,292898	0,134293	0,142857	0,000546117
	0,81	1,83	0,292898	0,464276	0,171378	0,183673	0,000882183
	1,83	2,84	0,464276	0,642669	0,178394	0,040816	0,106099746
	2,84	3,86	0,642669	0,794141	0,151472	0,081633	0,032200569
	3,86	4,88	0,794141	0,899048	0,104907	0,22449	0,136312139
	4,88	5,90	0,899048		0,100952	0,102041	1,17376E-05
				Сумма:			0,303421425

Вычислим критерий Пирсона:

Определим число степеней свободы:

Выбираем критическое значения критерия Пирсона из таблицы для степени свободы k=7 и заданного уровня значимости a=0.05:

Так как условие не выполняется, то гипотеза H0 о нормальном законе распределения отклоняется.

Проверим гипотезу с помощью критерия Колмогорова. Выберем все значения из вариационного ряда для данного критерия и вычислим значения гипотетической функции:

Номер	Xi	F*(Xi)	F0(Xi)	Z
	-1,23	0,020408	0,072768	0,05236
	-1,07	0,040816	0,083185	0,042368
	-1,06	0,061224	0,083871	0,022647
	-1,05	0,081633	0,084562	0,002929
	-0,92	0,102041	0,093933	0,008108
	-0,90	0,122449	0,09544	0,027009
	-0,88	0,142857	0,096965	0,045892
	-0,67	0,163265	0,114068	0,049198
	-0,67	0,183673	0,114068	0,069606
	-0,58	0,204082	0,12202	0,082062
	-0,25	0,22449	0,15447	0,07002
	0,08	0,244898	0,192164	0,052734
	0,23	0,265306	0,211015	0,054291
	0,25	0,285714	0,213608	0,072106
	0,31	0,306122	0,221497	0,084625
	0,43	0,326531	0,237765	0,088765
	0,57	0,346939	0,257545	0,089394
	0,75	0,367347	0,284176	0,083171
	0,84	0,387755	0,297969	0,089787
	1,18	0,408163	0,35261	0,055553
	1,23	0,428571	0,360945	0,067626
	1,24	0,44898	0,36262	0,08636
	1,48	0,469388	0,403541	0,065846
	1,56	0,489796	0,417445	0,072351
	1,56	0,510204	0,417445	0,092759
	1,77	0,530612	0,454393	0,076219
	1,78	0,55102	0,456165	0,094856
	2,38	0,571429	0,562804	0,008625
	2,65	0,591837	0,609787	0,01795
	3,21	0,612245	0,70162	0,089375
	3,62	0,632653	0,761868	0,129215
	3,67	0,653061	0,76873	0,115669
	3,76	0,673469	0,780801	0,107331
	3,90	0,693878	0,798837	0,10496
	3,92	0,714286	0,801339	0,087054
	3,99	0,734694	0,809947	0,075254
	4,07	0,755102	0,8195	0,064398
	4,08	0,77551	0,820672	0,045162
	4,11	0,795918	0,824161	0,028243
	4,32	0,816327	0,847366	0,03104
	4,35	0,836735	0,850507	0,013773
	4,45	0,857143	0,860664	0,003521
	4,60	0,877551	0,875001	0,00255
	4,66	0,897959	0,880437	0,017523
	5,07	0,918367	0,913153	0,005214
	5,26	0,938776	0,925821	0,012955
	5,64	0,959184	0,946867	0,012317
	5,70	0,979592	0,949707	0,029885
	5,90		0,958311	0,041689
			макс:	0,129215

Максимальное отклонение между функциями F*(x) и F0(x):

Определяем значение критерия:

Из таблицы распределения Колмогорова выбираем критическое значение lg, где g=1-a=0.95

lg=1.36

Поскольку l<lg, то гипотеза H0принимается.

Построим график гипотетической функции F0(x) совместно с графиком эмпирической функции распределения F*(x), отметим максимальное отклонение в точке X₃₁ = 3,62.

Строить на миллиметровке:

Синий график должен выглядеть так:

Дата добавления: 2015-08-29