|
Площадь треугольника. Шесть формул!
Здравствуйте, Дорогие друзья! В очень многих задачах по геометрии связанных с вычислением площадей, в том числе заданиях на ЕГЭ, используются формулы площади треугольника. Их существует несколько, здесь мы рассмотрим основные.
Перечислять эти формулы было бы слишком просто, этого добра и так хватает в справочниках и на различных сайтах. Мне хотелось бы донести суть некоторых из них. После изучения материала статьи вы поймёте, что все формулы учить не нужно, их необходимо понимать.
Вы без труда сможете восстановить в памяти, если вдруг они «вылетят» в нужный момент. Итак, сначала давайте рассмотрим параллелограмм. Определение гласит:
Почему так? Всё просто! Чтобы показать наглядно в чём смысл формулы, выполним некоторые дополнительные построения:
Площадь треугольника (2) равна площади треугольника (1), мысленно «отрежем» второй и перенесём его наложив на первый, получим прямоугольник, площадь которого равна площади исходного параллелограмма:
Площадь прямоугольника, как известно, равна произведению его соседних сторон. Как видно по эскизу, одна сторона полученного прямоугольника равна стороне параллелограмма, а другая его высоте, проведённой к этой стороне. Поэтому и получаем формулу площади параллелограмма S = a∙ha
Продолжим, ещё одна формула его площади. Имеем:
Выразим высоту ha в прямоугольном треугольнике, где b является гипотенузой:
Подставляем ha в формулу площади, получаем:
С параллелограммом разобрались. Перейдём к треугольнику.
Площадь треугольника. Шесть формул!
Первая формула
Диагональ параллелограмма разбивает его на два равных по площади треугольника:
Следовательно площадь треугольника будет равна половине площади параллелограмма:
*То есть если нам будет известна любая сторона треугольника и высота опущенная на эту сторону, то мы всегда сможем вычислить площадь этого треугольника.
Формула вторая
Как уже сказано формула площади параллелограмма имеет вид:
Площадь треугольника равна половине его площади, значит:
*То есть если будут известны любые две стороны в треугольнике и угол между ними, мы всегда сможем вычислить площадь такого треугольника.
Формула Герона (третья)
Данную формулу выводить сложно и вам это ни к чему. Посмотрите какая она красивая, можно сказать, что сама запоминается.
*Если даны три стороны треугольника, то по данной формуле мы всегда можем вычислить его площадь.
Формула четвёртая
где r – радиус вписанной окружности
*Если известны три стороны треугольника и радиус вписанной в него окружности, то мы всегда можем найти площадь этого треугольника.
Формула пятая
где R – радиус описанной окружности.
*Если известны три стороны треугольника и радиус описанной около него окружности, то мы всегда можем найти площадь такого треугольника.
Возникает вопрос: если известны три стороны треугольника, то не проще ли его площадь найти по формуле Герона!
Да, бывает проще, но не всегда, иногда возникает сложность. Это связано с извлечением корня. Кроме того, данные формулы очень удобно применять в задачах, где дана площадь треугольника, его стороны и требуется найти радиус вписанной или описанной окружности. Такие задания имеются в составе ЕГЭ.
Давайте отдельно рассмотрим формулу:
Она является частным случаем формулы площади многоугольника, в который вписана окружность:
Рассмотрим её на примере пятиугольника:
Соединим центр окружности с вершинами данного пятиугольника и опустим из центра перпендикуляры к его сторонам. Получим пять треугольников, при чём опущенные перпендикуляры являются радиусами вписанной окружности:
Площадь пятиугольника равна:
Теперь понятно, что если речь идёт о треугольнике, то данная формула приобретает вид:
Формула шестая
Это следствие из формулы:
Пусть сторона треугольника равна a, из противоположной вершины к этой стороне проведён произвольный отрезок образующий с ней угол (фи):
Тогда
Данная формула используется очень редко на практике, возможно вы её видите впервые, ну так просто написал, чтобы знали. Её ещё можно вывести преобразовав формулу площади четырёхугольника:
Дата добавления: 2015-08-29; просмотров: 41 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая лекция | | | следующая лекция ==> |
Шаг 1. Откройте любую фотографию в Photoshop Ctrl + O. | | | Теплотехнический расчет наружной стены. |