Сделать список литературы!

Сделать список литературы!

Дописать задачу по электротехнике!

Обобщение чисел.

Введение.

В данной работе предполагается рассмотреть существующие обобщения чисел, решить ряд задач, связанных с каждым из этих обобщений. Так в первой части работы, мы рассмотрим комплексные числа, и задачи решаемые с их помощью. Во второй мы рассмотрим кватернионы и связанные с этим родом чисел задачи. В третьей части мы рассмотрим гиперкомплексные числа. Базовым и известным мы полагаем понятие действительного числа.

Часть первая. Комплексные числа.

Вывод определения и алгебраическая формулировка.

Комплексные числа исторически возникли при решении кубических уравнений с помощью формулы Кардано.

Вывод формулы Кардано:

Осуществляем замену:

Получаем уравнение вида:

Затем:

Представим кубический трехчлен таким образом

Тогда

(Допущение)

Тогда один из корней уравнения – это , подставляем:

Решим систему:

Решим уравнение относительно n и m , поскольку предыдущая система – представляет собой ничто иное, как теорему Виету для квадратного уравнения с корнями и , оставшиеся два корня находим из

= 0.

Нетрудно заметить, что при , пользуясь стандартными операциями найти нельзя, но при этом корни существуют, пример:

Но если определить , формула Кардано оказывается верна, при

Итак получаем формулу Кардано:

где

Мы привели это рассуждение здесь для того, чтобы показать «историческую» логику появления числа и комплексных чисел, как построенных при помощи этого числа.

Теперь рассмотрим определение числа , с точки зрения математической логики.

Понятно, что если определить другую мнимую единицу , то она будет выражаться через , если же через , то получится попросту действительное число.

Таким образом мы определяем . Определив комплексное число таким образом мы получаем, абелеву группу по умножению, сложению и, что наиболее примечательно, по возведению в степень.

Геометрия комплексных чисел.

Поскольку комплексное число – двухкомпанентно, то множество комплексных чисел задает плоскость. На этой плоскости каждой точке соответствует два параметра: расстояние от нуля (модуль комплексного числа) и угол между действительной осью и вектором идущим от нуля к точке, называемый аргументом числа.

Подобное определение позволяет сразу же ввести важнейшую тригонометрическую форму записи числа Из тригонометрической формы записи числа следует значение операции умножения комплексных чисел, как поворота и гомотетии относительно нуля плоскости комплексных чисел. Поворота на аргумент числа и гомотетии с коэффициентом модуль этого числа. Из геометрической же формулировки комплексного числа следует понятия сопряженного комплексного числа, как вектора отраженного относительно действительной оси. Также как противоположного, как отраженного относительно нуля.

Кратко рассмотрев основные понятия, связанные с комплексными числами, перейдем к их приложениям на практике.

Задачи решаемы при помощи комплексных чисел.

В геометрии, по сути, использование комплексных чисел обычно сводится к применению векторов и метода координат. Но мы все же рассмотрим несколько планиметрических задач, решаемых в комплексных числах.

Поскольку комплексные числа – это вектора, в них крайне простой вид имеет, например уравнение окружности:

С такой записью уравнения окружности связано, например, довольно простое решение такой задачи:

Точка О’ – симметрична центру (О) описанной около треугольника окружности, докажем такое соотношение . АОВD-ромб, значит d=a+b, CD2=(d−c)( − )=(a+b−c)( + − )=3 +

Прочие геометрические задачи также решаются подобным алгебраическим способом, который не кажется нам очень интересным для этой работы. Список подобных задач с решениями можно увидеть в учебнике Я.П. Понарина (с.л. [])

Применение комплексных чисел в электротехнике.

Поскольку в электротехнике зачастую приходится решать задачи обсчета цепей с переменным током, По аналогичным законам изменяются сила тока и э.д.с. , . Поскольку с помощью комплексного числа можно задать каждую точку (параметр), то u,I,e выражаются комплексными числами. В электротехнике принято обозначать . Через комплексное число выражается , называемый комплексом () Также и для тока: ; , , , _.

Дата добавления: 2015-08-29