1. Как изменится произведение АВ матриц А и В, если

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Вариант 1

1. Как изменится произведение АВ матриц А и В, если

1) Переставить i – ю и j – ю строки матрицы А;

2) К i – й строке матрицы А прибавить j – ю строку, умноженную на число С?

2. Даны матрицы А и В.

,

Вычислите: 1) АВ; 2) ВА; 3) (АВ)^-1.

3. Найдите ранг и базисный минор матрицы

4. Образуют ли линейное пространство множество всех многочленов 3-й степени с обычными операциями сложения и умножения на скаляр?

5. Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы

6. В пространстве R³ даны векторы , , . Проверьте, что они образуют базис. Постройте по этому базису ортонормированный базис . Пусть в матрице А i – я строка состоит из координат вектора Вычислите А^-1.

7. Приведите квадратичную форму к каноническому виду.

Вариант 2

1. Выясните при каких условиях диагональная матрица является ортогональной?

2. Пусть

, ,

Решите матричные уравнения А Х= В и В Х= А. Как связаны между собой их решения?

3. Найдите какой-нибудь базис линейного пространства решений однородной системы

4. Найдите матрицу оператора поворота относительно оси OZ в положительном направлении на угол .

5. Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы

6. В пространстве R³ даны векторы , , . Проверьте, что они образуют базис. Постройте по этому базису ортонормированный базис . Пусть в матрице А i – я строка состоит из координат вектора Вычислите А^-1. Как связаны матрицы А и А^-1 и почему?

7. Приведите квадратичную форму к каноническому виду.

Вариант 3

1. Докажите, что произведение двух ортогональных матриц есть ортогональная матрица.

2. Пусть

. Запишите характеристический многочлен матрицы . Вычислите f (А).

3. Пользуясь теоремой Кронекера-Капелли, выясните, совместна ли система уравнений и в случае совместности найти ее решение:

4. Являются ли подпространствами Rⁿ следующие множества:

а) ;

б) .

5. Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы

6. В пространстве R³ даны векторы , , . Проверьте, что они линейно независимы. Постройте по этому базису ортонормированный базис .

7. Приведите квадратичную форму к каноническому виду.

Вариант 4

1. Докажите теорему Пифагора для евклидова пространства:

.

2. Пусть

. Найдите: а) (А+В)² x; б) (А²+2АВ+В²) x.

3. Найдите все решения системы уравнений:

4. Найдите линейное преобразование, переводящее векторы α⁽¹⁾=(2, 0, 3),

α⁽²⁾=(4, 1, 5), α⁽³⁾=(3, 1, 2) соответственно в векторы β⁽¹⁾=(1, 4, 1),

β⁽²⁾=(2, 5, – 1), β⁽³⁾=(– 1, – 2, 1).

Указание: См. Бугров Я.С., Никольский С.М. Задачник, М.: 1982, с.41

5. Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы

6. В пространстве R³ даны векторы , , . Проверьте, что они линейно независимы. Постройте по этому базису ортонормированный базис . Пусть в матрице А i – я строка состоит из координат вектора Вычислите А^-1.

7. Приведите квадратичную форму к каноническому виду.

Вариант 5

1. Вычислите .

2. Пусть , ,

Решите матричные уравнения А Х= В и В Х= А. Как связаны между собой их решения?

3. Пользуясь теоремой Кронекера-Капелли, выясните, совместна ли система уравнений и в случае совместности найти ее решение:

4. Образует ли линейное пространство множество всех многочленов степени не выше 3-й с обычными операциями сложения и умножения на скаляр?

5. Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы

6. В пространстве R³ даны векторы , , . Проверьте, что они образуют базис. Постройте по этому базису ортонормированный базис . Пусть в матрице А i – я строка состоит из координат вектора Вычислите А ∙ А ^Т.

7. Приведите квадратичную форму к каноническому виду.

Вариант 6

1. Вычислите , где р – действительное число.

2. Пусть

, ,

Решите матричные уравнения А Х= В и В Х= А. Как связаны между собой их решения?

3. Пользуясь теоремой Кронекера-Капелли, выясните, совместна ли система уравнений и в случае совместности найти ее решение:

4. Найдите матрицу оператора , где ,

5. Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы

.

6. В пространстве R³ даны векторы , , . Проверьте, что они линейно независимы. Постройте по этому базису ортонормированный базис . Пусть в матрице А i – я строка состоит из координат вектора Вычислите А ∙ А ^Т.

7. Приведите квадратичную форму к каноническому виду.

Вариант 7

1. Вычислите , где р – действительное число.

2. Пусть . Запишите характеристический многочлен матрицы . Вычислите f (А).

3. Решите матричным способом систему уравнений:

4. Является ли линейным пространством множество всех функций непрерывных на отрезке и удовлетворяющих условию:

а) f (0)=0

б) f (0)=1

5. Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы

.

6. В пространстве R³ даны векторы , , . Проверьте, что они линейно независимы. Постройте по этому базису ортонормированный базис . Пусть в матрице А i – я строка состоит из координат вектора Вычислите А ∙ А ^Т.

7. Приведите квадратичную форму к каноническому виду.

Вариант 8

1. Вычислите .

2. Пусть . Запишите характеристический многочлен матрицы . Вычислите f (А).

3. Решите матричным способом систему уравнений:

4. Образует ли линейное пространство множество всех квадратных матриц 2-го порядка: а) невырожденных; б) вырожденных?

5. Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы

.

6. В пространстве R³ даны векторы , , . Проверьте, что они линейно независимы. Постройте по этому базису ортонормированный базис . Пусть в матрице А i – я строка состоит из координат вектора Вычислите А ∙ А ^Т.

7. Приведите квадратичную форму к каноническому виду.

Вариант 9

1. Как изменится произведение АВ матриц А и В, если

1) Переставить i – й и j – й столбцы матрицы В;

2) К i – му столбцу матрицы В прибавить j – й столбец, умноженный на число С?

2. Пусть

. Найдите: а) (А – В)² x; б) (А²–2АВ+В²) x.

3. Решить систему уравнений:

4. Найдите линейное преобразование, переводящее векторы α⁽¹⁾=(2, 4, 3),

α⁽²⁾=(0, 1, 1), α⁽³⁾=(3, 5, 2) соответственно в векторы β⁽¹⁾=(1, 2, –1),

β⁽²⁾=(4, 5, – 2), β⁽³⁾=(1, – 1, 1).

Указание: См. Бугров Я.С., Никольский С.М. Задачник, М.: 1982, с.41

5. Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы

.

6. В пространстве R³ даны векторы , , . Проверьте, что они линейно независимы. Постройте по этому базису ортонормированный базис . Пусть в матрице А i – я строка состоит из координат вектора Вычислите А ∙ А ^Т.

7. Приведите квадратичную форму к каноническому виду.

Вариант 10

1. Пусть λ – собственное значение матрицы А. Докажите, что вектор ξ, составленный из алгебраических дополнений любой строки определителя , удовлетворяет соотношению: А ξ=λξ, т.е. является либо нелевым вектором, либо собственным вектором матрицы А.

2. Пусть

, ,

Решите матричные уравнения А Х= В и В Х= А. Как связаны между собой их решения?

3. Найдите ранг и базисный минор матрицы

4. Образует ли линейное пространство множество всех симметричных матриц (А = А ^T)?

5. Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы

.

6. В пространстве R³ даны векторы , , . Проверьте, что они линейно независимы. Постройте по этому базису ортонормированный базис . Пусть в матрице А i – я строка состоит из координат вектора Вычислите А ∙ А ^Т.

7. Приведите квадратичную форму к каноническому виду.

Вариант 11

1. Квадратная матрица В называется симметрической, если В^T=В. Квадратная матрица С называется кососимметрической, если С^T=– С. Докажите, что любую квадратную матрицу А можно представить, и при этом единственным образом, в виде А=В+С, где В – симметрическая, а С – кососимметрическая матрицы.

2. Пусть

. Найдите: а) (А+В)² x; б) (А²+2АВ+В²) x.

3. Найдите ранг и базисный минор матрицы

4. Образует ли линейное пространство множество а) четных, б) нечетных функций?

5. Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы

.

6. В пространстве R³ даны векторы , , . Проверьте, что они линейно независимы. Постройте по этому базису ортонормированный базис . Пусть в матрице А i – я строка состоит из координат вектора Вычислите А ^-1.

7. Приведите квадратичную форму к каноническому виду.

Вариант 12

1. Докажите, что если невырожденная матрица А перестановочна с матрицей В (т.е. АВ=ВА), то этим же свойством обладает и матрица А^-1.

2. Пусть . Запишите характеристический многочлен матрицы . Вычислите f (А).

3. Решить систему уравнений:

4. Найдите матрицу оператора зеркального отражения относительно плоскости x =0.

5. Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы

.

6. В пространстве R³ даны векторы , , . Проверьте, что они линейно независимы. Постройте по этому базису ортонормированный базис . Пусть в матрице А i – я строка состоит из координат вектора Вычислите А ^-1.

7. Приведите квадратичную форму к каноническому виду.

Вариант 13

1. Докажите, что система уравнений

, где с₁, …,с_n положительны и detA≠0, имеет единственное решение в положительных числах.

Указание: прологарифмируйте уравнения.

2. Пусть

, ,

Решите матричное уравнение А Х В = С.

3. Найдите ранг и базисный минор матрицы

4. Найдите матрицу оператора поворота относительно оси OZ на угол (против часовой стрелки).

5. Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы

.

6. В пространстве R³ даны векторы , , . Проверьте, что они линейно независимы. Постройте по этому базису ортонормированный базис . Пусть в матрице А i – я строка состоит из координат вектора Вычислите А ^-1.

7. Приведите квадратичную форму к каноническому виду.

Вариант 14

1. Пусть . Вычислите определитель матрицы λ А.

2. Пусть

, ,

Решите матричное уравнение А Х В = С.

3. Решить систему уравнений:

.

4. Образует ли линейное пространство множество всех многочленов 2-й степени с обычными операциями сложения и умножения на скаляр.

5. Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы

.

6. В пространстве R³ даны векторы , , . Проверьте, что они линейно независимы. Постройте по этому базису ортонормированный базис . Пусть в матрице А i – я строка состоит из координат вектора Вычислите А ^-1.

7. Приведите квадратичную форму к каноническому виду.

Вариант 15

1. Докажите, что линейно зависима всякая система векторов, содержащая линейно зависимую подсистему.

2. Решите матричное уравнение

.

3. Пользуясь теоремой Кронекера-Капелли, выясните, совместна ли система уравнений и в случае совместности найти ее решение:

4. Является ли линейным пространством множество всех функций, непрерывных на отрезке и удовлетворяющих условию:

а) f (0)=1

б) f (1)=0

5. Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы

.

6. В пространстве R³ даны векторы , , . Проверьте, что они линейно независимы. Постройте по этому базису ортонормированный базис . Пусть в матрице А i – я строка состоит из координат вектора Вычислите А ∙ А ^Т.

7. Приведите квадратичную форму к каноническому виду.

Вариант 16

1. Для каких элементов евклидова пространства неравенство Коши-Буняковского превращается в равенство? Обоснуйте ответ.

2. Пусть . Запишите характеристический многочлен матрицы . Вычислите f (А).

3. Пользуясь теоремой Кронекера-Капелли, выясните, совместна ли система уравнений и в случае совместности найти ее решение:

4. Пусть , , где – фиксированный вектор. Является ли преобразование А – линейным?

5. Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы

.

6. В пространстве R³ даны векторы , , . Проверьте, что они линейно независимы. Постройте по этому базису ортонормированный базис . Пусть в матрице А i – я строка состоит из координат вектора Вычислите А ^-1.

7. Приведите квадратичную форму к каноническому виду.

Вариант 17

1. Пусть АВ=ВА и ВС=СВ. Следует ли отсюда, что АС=СА? (А, В, С – матрицы).

2. Пусть

, ,

Решите матричные уравнения А Х= В и В Х= А. Как связаны между собой их решения?

3. Решить систему уравнений:

4. Пусть , – заданный единичный вектор в R³. Выясните геометрический смысл линейного преобразования и запишите его матрицу.

5. Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы

.

6. В пространстве R³ даны векторы , , . Проверьте, что они линейно независимы. Постройте по этому базису ортонормированный базис . Пусть в матрице А i – я строка состоит из координат вектора Вычислите А ∙ А ^Т.

7. Приведите квадратичную форму к каноническому виду.

Вариант 18

1. Докажите, что определитель ортогональной матрицы равен по модулю единице.

2. Пусть . Запишите характеристический многочлен матрицы . Вычислите f (А).

3. Решить систему уравнений:

4. Пусть , скаляр λ и вектор фиксированы, . Является ли преобразование А линейным?

5. Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы

.

6. В пространстве R³ даны векторы , , . Проверьте, что они линейно независимы. Постройте по этому базису ортонормированный базис . Пусть в матрице А i – я строка состоит из координат вектора Вычислите А ^-1.

7. Приведите квадратичную форму к каноническому виду.

Вариант 19

1. Пусть . Покажите, что Т(θ₁)Т(θ₂)= Т(θ₂)Т(θ₁)= Т(θ₁+θ₂).

Какова геометрическая интерпретация этих соотношений?

2. Пусть

. Найдите: а) (А–В)(А+В) x; б) (А+В)(А–В) x;

в) (А²–В²) x.

3. Найдите ранг и базисный минор матрицы

4. Пусть , – заданный единичный вектор в R³. Выясните геометрический смысл линейного преобразования и запишите его матрицу.

5. Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы

.

6. В пространстве R³ даны векторы , , . Проверьте, что они линейно независимы. Постройте по этому базису ортонормированный базис . Пусть в матрице А i – я строка состоит из координат вектора Вычислите А ^-1.

7. Приведите квадратичную форму к каноническому виду.

Вариант 20

1. Пусть А и В – симметрические матрицы (А= А^Т, В=В^Т). Следует ли отсюда, что их произведение АВ – симметрическая матрица?

2. Пусть

, ,

Решите матричные уравнения А Х= В и В Х= А. Как связаны между собой их решения?

3. Найдите ранг и базисный минор матрицы

4. Является ли линейным пространством множество всех а) сходящихся; б) расходящихся последовательностей? (Последовательность называется сходящейся, если она имеет предел).

5. Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы

.

6. В пространстве R³ даны векторы , , . Проверьте, что они линейно независимы. Постройте по этому базису ортонормированный базис . Пусть в матрице А i – я строка состоит из координат вектора Вычислите А ∙ А ^Т.

7. Приведите квадратичную форму к каноническому виду.

Вариант 21

1. Пусть λ – собственное значение матрицы А. Докажите, что вектор ξ, составленный из алгебраических дополнений любой строки определителя , удовлетворяет соотношению: А ξ=λξ, т.е. является либо нелевым вектором, либо собственным вектором матрицы А.

2. Пусть . Запишите характеристический многочлен матрицы . Вычислите f (А).

3. Пользуясь теоремой Кронекера-Капелли, выясните, совместна ли система уравнений и в случае совместности найти ее решение:

4.Являются ли подпространствами Rⁿ следующие множества векторов вида:

а) ;

б) .

5. Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы

.

6. В пространстве R³ даны векторы , , . Проверьте, что они линейно независимы. Постройте по этому базису ортонормированный базис . Пусть в матрице А i – я строка состоит из координат вектора Вычислите А ^-1.

7. Приведите квадратичную форму к каноническому виду.

Вариант 22

1. Как изменится обратная матрица А^-1, если в матрице А переставить i – ю и j – ю строки.

2. Пусть

.Напишите матрицы линейных преобразований А и В и найдите: а) (А³–В³) x; б) (А–В)(А²+АВ+В²) x.

3. Пользуясь теоремой Кронекера-Капелли, выясните, совместна ли система уравнений и в случае совместности найти ее решение:

4. Являются ли подпространствами Rⁿ следующие множества векторов вида:

а) ;

б) .

5. Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы

.

6. В пространстве R³ даны векторы , , . Проверьте, что они линейно независимы. Постройте по этому базису ортонормированный базис . Пусть в матрице А i – я строка состоит из координат вектора Вычислите А ^-1.

7. Приведите квадратичную форму к каноническому виду.

Вариант 23

1. Как изменится обратная матрица А^-1, если в матрице А i – ю строку умножить на число x, отличное от нуля?

2. Пусть . Запишите характеристический многочлен матрицы . Вычислите f (А).

3. Пользуясь теоремой Кронекера-Капелли, выясните, совместна ли система уравнений и в случае совместности найти ее решение:

4. Найдите линейное преобразование, переводящее векторы α⁽¹⁾=(1, 1, 1),

α⁽²⁾=(2, –1, 3), α⁽³⁾=(4, 1, 9) соответственно в векторы β⁽¹⁾=(1, 2, 4),

β⁽²⁾=(1, –1, 1), β⁽³⁾=(1, 3, 9).

Указание: См. Бугров Я.С., Никольский С.М. Задачник, М.: 1982, с.41

5. Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы

.

6. В пространстве R³ даны векторы , , . Проверьте, что они линейно независимы. Постройте по этому базису ортонормированный базис . Пусть в матрице А i – я строка состоит из координат вектора Вычислите А ∙ А ^Т.

7. Приведите квадратичную форму к каноническому виду.

Вариант 24

1. Найдите все матрицы второго порядка, квадрат которых равен:

а) нулевой матрице;

б) единичной матрице.

2. Пусть . Запишите характеристический многочлен матрицы . Вычислите f (А).

3. Решить систему уравнений:

4. Пусть

. Найдите матрицы линейных операторов А и В и найдите: а) (А+В)² x; б) (А²+2АВ+В²) x.

5. Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы

.

6. В пространстве R³ даны векторы , , .

Проверьте, что они линейно независимы. Постройте по этому базису

ортонормированный базис . Пусть в матрице А i – я строка состоит из

координат вектора Вычислите А ∙ А ^Т.

8. Приведите квадратичную форму к каноническому виду.

Вариант 25

1. Дана матрица А: , f (x)= x ² –2 x +1, φ (x)=3 x +5. Найти f (А) –2 φ (А)

2. Найдите ранг и базисный минор матрицы

3. Решить систему уравнений:

4. Найдите матрицу оператора ортогонально проектирующего любой венктор пространства на плоскость YOZ.

5. Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы

.

6. В пространстве R³ даны векторы , , .

Проверьте, что они линейно независимы. Постройте по этому базису

ортонормированный базис . Пусть в матрице А i – я строка состоит

из координат вектора Вычислите А ∙ А ^Т.

7. Приведите квадратичную форму

к каноническому виду.

Дата добавления: 2015-08-29