2. Динаміка системи матеріальних точок. Закони збереження та їх зв'язок з фундаментальними властивостями простору і часу.

2. Динаміка системи матеріальних точок. Закони збереження та їх зв'язок з фундаментальними властивостями простору і часу.

Нехай в нас є система N матеріальних точок які взаємодіють між собою і джерелом зовнішньої сили, яка обумовлена зовнішним силовим полем або частинкою, механічний стан якої є постійно заданим.

Стан механічної системи описується системою рівнянь Ньютона.

Це система 3N диф. рівнянь другого порядку з 6N початковими умовами. Загальний розв’язок знайти неможливо. Щоб знизити порядок системи шукають інтеграли руху. Інтеграл руху - це довільна функція механічного стану вигляду:

Інтеграл руху знаходиться з умови .

Щоб довести закон збереження імпульсу потрібно кожне рівняння стану помножити на dt і просумувати

ліва частин:

права частина:

помноживши рівняння системи на dt, отримуємо - узагальнення законів Ньютона на систему мат. точок. У відсутності зовнішніх сил - закон збереження руху. Закон збереження імпульса зв'заний з однорідністю простора.

- закон збереження центру мас.

, - радіус-вектор центру мас, - початкови вектор центру мас, - швидкість центру мас.

Внаслідок ізотропності простору ф-я Лагранджа не змінюється, якщо всю систему як ціле повернути на деякий нескінчено малий кут навколо довільної вісі:

, , , , .

Оскільки простір ізотропний, то |пересталяємо множники в мішаному добутку та виносим | - з-н збереження момента імпульса.

За умов однорідності часу ф-ція Лагранджа:

з-н збереження енергії випливає з однорідності часу.

Стан механічної системи описується системою рівнянь Ньютона.

Інтеграл руху знаходиться з умови .

Закон збереження імпульса зв'заний

- закон збереження центру мас.

- з-н збереження момента імпульса.

з-н збереження енергії випливає з однорідності часу.

Дата добавления: 2015-08-29