Эти понятия являются первоначальными. Ввиду большого разнообраз случайных событий нельзя дать более конкретного определения. Рассмотрим ряд примеров, поясняющих выбор множества Е.

Пример 1. Опыт состоит в бросании Монеты один раз. Возможными исходами при этом будут - выпадение герба или цифры. Тогда Е = {е,, еЛ где е₁ - выпал герб, е₂ - выпала цифра.

Пример 2. Брошена игральная кость. Здесь Е = {е_{, е₂е_й}, е₁.

Пример 3. Работа телефонной станции. Нас интересует число поступивших вызовов в течение суток. Тогда Е = {е,, е_г,..., е. - событие, состоящее в “г — 1” вызовах в течение суток.

Пример 4. Нас интересуют траектории частиц при броуновском движении. Здесь Е = (x(f), y(t), z(t)}, где x(t), y(t), z{t) - непрерывные функции времени t.

Определение 2. Случайным событием или просто событием называется любое подмножество множества Е.

Введём операции над событиями, совпадающие с операциями над множествами.

1.3. Операции над событиями

Определение 3. Если всякий раз, когда происходит событие А в данном опыте происходит и событие В, то говорят, что А влечет за собой событие В и пишут А а В.

Проиллюстрируем это понятие на схематичном рисунке.

Пример 5. При бросании игральной кости рассмотрим два события:

1. А - выпадение четырёх очков;

2. В - выпадение четного числа очков.

Тогда A cz В, т.е. событие А влечет

за собой событие В.

Ьсли же А с. В vl В а А, то А = В,

Определение 4. Суммой двух событий А и В называется событие А + В или A<JB, состоящее н появлении по крайней мере одного из событий А или В.

Определение 5. Произведением двух событий А и В называется событие АН или АпВ, состоящее в одновременном появлении событий

А и В.

Пример 6. Опыт состоит в подбрасывании двух монет:

А - выпадение герба на первой монете:

В - выпадение герба на второй монете Тогда А + В - выпадение хотя бы одного герба, А-В — выпадение двух гербов одновременно.

Определение 6. Разностью двух событий А а В называется событие А - В или А \ В, состоящее в появлении события А без события В. Пример 7. Брошена игральная кость.

Рассмотрим два события:

А - выпадение четного числа очков;

В - выпадение двух очков.

Тогда событие А - В - выпадение

четырех или шести очков.

Определение 7. Событие Е называется достоверным событием, т.е. это такое событие, которое в результате опыта непременно произойдёт.

Определение 8. Пустое множество 0 называется невозможным событием, т.е. это событие, которое в данном опыте не может произойти.

Определение 9. Событие А-Е-А называется событием, противоположным событию А, Событие А означает; '* что^; событие А не произошло.

>лТ:ч <ЖНН1

Определение 10. События А и В называются несовместными событиями, если А -В = 0. Это означает, что наступление А исключает появление В.

При этом Е = 0.

Пример 8. Брошена монета.

Рассмотрим два события:

А - появление герба;

В - появление цифры.

Очевидно, что А и В-несовместные события.

Определение 11. События А₁,А₂,...,А_Н образуют полную группу событий, если:

1. Они попарно несовместны, т.е. А, ■ А₎ — 0, / * /;

2. А, + А₂ +..^;! + у4„ = Е.

Пример 9. Брошена игральная кость. Тогда события - появление

очков (/ = 1, 2,..., 6) образуют полную группу событий.

Пример 10. А+Л = Е, А + А — А, ^•/4=0.

Пусть осуществляется п опытов, в результате которых может либо пройзойти, либо не произойти событие А. Тогда частотой события | называют число

.... к(А)

рЦА)

где к{А) - число появлений события А в п опытах.

Из'определения частоты следуют её основные свойства: -

1. О < р * (А) < 1, так как 0 < к(А) < п;

2. р*{Е) = 1;

3. р*(0) = 0.

Итак, каждому событию А мы поставили в соответствие его числовую характеристику - его частоту. Но понятие частоты не удобно по двум причинам: «...

1. Частота изменяется при изменении числа опытов.

2. Частота зависит от самой серии опытов, т.е. если серию опытов повторить, то частота может быть другой.

В тоже время длительные наблюдения показали, что если в одинаковых условиях производятся опыты и число их велико, то частота обладает свойством устойчивости. Это означает, что в опытах частота изменяется тем меньше, чем больше произведено испытаний. Подтверждением этого являются исторические примеры:

Число испытаний Число появлений герба Частота

Бюффон 4040 2048 0,5080

Пирсон 24000 12012 0,5005

Вывод. Статистический подход к понятию вероятности состоит в том, что рассматриваемому случайному событию, обладающему свойством ста; ист и чес кой устойчивости при большом числе испытаний, можно придать числовую характеристику, которая незначительно отличается от частоты. Это число называется статистической вероятностью.

В рассмотренном примере, очевидно, что в качестве статистической вероятности можно взять число 0,5.

Еще ОДИН пример, как известно, статистическая вероятность рождения мальчика равна 0,51, а девочки - 0,49. ш

Для изучения дальнейшего материала нам понадобятся некоторые понятия из комбинаторики:

[у Перестановки.

, Пусть дано множество М, состоящее из п элементов. Если переставлять эти элементы всевозможными способами, сохраняя их количество, то получим последовательности, каждую из которых называют перестановкой из п элементов.

Число перестановок из п элементов Р_п - п\= 1 -2•...• П.

Пример 1. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1,2, 3,4 и 5?

По формуле для числа перестановок находим количество всевозможных пятизначных чисел Р₅ = 5! = 1-2-3-4-5 = 120.

Более общим является случай, когда множество из п элементов разбито на к групп одинаковых элементов, причем в каждой 1-той группе содержится Щ элементов (п-п₁+п₁+...+п_к). в этом случае число различных перестановок п элементов (с повторениями элементов данных групп) вычисляется по формуле

п!

РЛп., п₂,---------------------------------------------------- -.

^П1! ^п2 V

Пример 2. Сколько различных десятизначных чисел можно сложить из множества цифр (1,1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3)?

По формуле для перестановок с повторениями находим количество раз-

11 (₄ з ЗІ ^10? -^3628800-1200

личных десятизначных чисел ¹⁰' ’ ’ ^ 4; 3131 24-6-6

[2] Сочетания.

Всякое подмножество, содержащее к элементов данного множества М, состоящего из п элементов, называется сочетанием из п элементов по к.

_к п\ л(и-1)(и-2)-...(л--Л: + 1)

Число сочетаний ^С" ⁼ *_!(и__А)! ⁼ 1-2-3-...-*

Пример 3. Сколькими способами можно выбрать трех из группы в 11 студентов?

По формуле для числа сочетаний находим количество возможных

з, 11! _ 111 _ 11109

способов выбора Чи ^ з;п і_3)| ~ 3!-8! ~ Г2-3 ⁼

1 Размещения.

Всякое упорядоченное подмножество, содержащее к элементов данное множества М из п элементов, называется размещением из п элементов по Л

Число размещений 4» “, _ ^“ ^п (^п 1) ’ (^{и —} 2) •... • (и - А +1)^

Пример 4. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4 и 5?

По формуле для размещений находим количество всевозможных трех.

з 5| 5!

значных чисел ^5 ^{= =} 27 ⁼ 5-4-3 = 60.

Замечание. Часто при решении задач число п достаточно велико, поэтому в таких случаях полезно использовать формулу Стирлинга

и!» уіілп п" е~^п.

[4^ Основные правила комбинаторики.

Правило суммы. Если некоторый объект В_х можно выбрать п разными способами, а объект В ₂ можно выбрать т разными способами, причем никакой выбор В _х не совпадает ни с каким выбором В ₂, то один из объектов В, или В ₂ можно выбрать п + т способами.

Пример 5. На двух полках находится 35 и 40 книг соответственно. Сколькими способами можно выбрать одну книгу?

По правилу суммы находим число всех возможных способов выбора п+т = 35<± 40 = 75.

Правило произведения. Если некоторый объект В, можно выбрать п разными способами и при каждом выборе объекта В_х объект В₂ можно выбрать т разными способами, то выбор пары объектов (5,, В₂) можно осуществить п • т способами.

Пример 6. В груше 20 студентов, из них 8 юношей и 12 девушек.

Сколькими способами можно выбрать одного юношу и одну девушку

для участия в конкурсе?

Каждый из П = 8 вариантов выбора юноши может комбинироваться с одним из т - 12 вариантов выбора девушки, поэтому по правилу произведения число способов выбора пары равно П'Ш- 812 = 96.

Пример 7. В іруппе 20 студентов, из них 8 юношей и 12 девушек.

Сколькими способами можно выбрать двух юношей и трех девушек для участия в конкурсе?

Каждый из С * вариантов выбора двух юношей может комбинироваться і одним из С,₂ вариантов выбора девушки, поэтому но правилу произведения

^ - - С²-С³ - —.¹²'¹¹'--" = 28 220 = 6160.

число способов выбора равно ^ 1-2-3

Это определение относится только к тем опытам, у которых ВОЗМОЖНО конечное число равновозможных исходов. Исходы яилямэтся равновошож- ными, если нет оснований считать, что ни один из них будет более во> можным, чем другие. Например, если брошена игральная кость, то исходи: выпало одно очко, - два очка, - шесть очков - являются равно-

возможными.

. т

Определение 1. Вероятностью события А называется число *\А) —,

где п - число всех исходов опыта, а т - число исходов, благоприятных появлению события А.

Из определения следуют основные свойства вероятности:

0 < Р(А) й \, так как 0 £ т £ п;

2. Р(Е) = 1, так как в этом случае т = п;

3. -Р(0) ⁼ 0, так как в этом случае т = 0.

Пример 8. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что выпадет в сумме три очка.

Пусть А - интересующее нас событие. Благоприятные исходы: (1,2) и (2, 1), т.е. т = 2. Число общих исходов определяем из того, что каждое число очков на одной кости может сочетаться с шестью вариантами числа

т _ 2 _ 1

очков На другой кости, т.е. и = 6-6 = 36. Тогда "И) - — - — - —.

П Зо I о

Пример 9. Абонент забыл последние три цифры семизначного номера и, помня, что они различные, набрал их наугад. Найти вероятность того, что он набрал правильный номер.

Пусть А - интересующее нас событие. Очевидно, что т = 1. Число различных вариантов набора трёх различных цифр из десяти будет равна

т«то

Пример 10. Некий гражданин купил карточку лото и наугад отметил 6 номеров из 49. Найти вероятность того, что он правильно угадал к номеров из 6 (0 < к < 6).

Пусть А - интересующее нас событие. Общее число исходов ^6 ' • 49! ' 6!

49 - ^ | ^ ^ і • Число угаданных ⁶^- к\-(6-к)\ ’ ^{каждьш из эгих}

43!

вариантов может сочетаться с одним из '-♦з ~ (б-£)!-(37 + А)1 ^нвЧ*‘ вильных вариантов.

Тогда

т CfCfc* _ 6!• 43!• 6!• 43i

^Р^~ п I С₄⁶₉ 49!- к! (37 + к)\-((6 -

Кстати, при к-3 => Р(А) = 0,0176.

1.7. Аксиоматическое определение вероятности

Аксиоматический подход основывается на основных свойствах вероятности, подмеченных на примерах классического определения и частоты.

Пусть Е - пространство элементарных событий, a Q - класс событий (набор подмножеств множества Е). Будем считать, что в результате любых введенных выше операций над событиями, вновь получаются события этого же класса.

Пример 11. Опыт состоит из подбрасывания игральной кости один раз. Здесь Е - {е_х, е_г,..., е₆}. Выпишем все события, которые образуют Q. Тогда {0, s ’ ^5}’ > ^2» }»*••> fei > ^1 ^s}^—

Замечание. Число подмножеств множества из N элементов с учетом Е и 0 равно 2^N. Например, в рассмотренном выше примере число таких подмножеств равно 2⁶ = 64.

Определение 2. Числовая функция Р, определяемая на классе событий

О, называется вероятностью, если выполнены следующие аксиомы:

1. VAeil: P(A)t 0;

2. Р(Е) = 1;

3. Если -4,, А₂А_п несовместные события, то

р(а_} +а₂ +...+л„)=р(л₁)+р(а₂)+:..+р(л;_!).

Из этого определения следуют свойства:

1. Р(А) = 1-Р(А) V^efi.

Действительно, так как А + А = Е => Р(А+А) = Р(Е) и, с учетом

аксиом 2 и 3, получаем Р(А) + Р(А) = 1.

2. /^>(0)= 0.

Действительно, так как Е — 0, то с учетом свойства 1 и аксиомы 2, получаем /40) *= Р(Е) = 1 — Р(Е) = 1 — 1 = 0.

3. Если А,,А₂,...,А_п образуют полную группу событий, т.е.

Л, + Л₂ +...+ - Е, то ЛЛ|) + /^,(Л₇)+ - +^К) = ¹.

Это следует из аксиом 2—3.

10iP(A)S\ VAeQ,

'fio следует ш свойства 3 и аксиомы 1.

2.1. Теорема умножения вероятностей

Определение 1. Условной вероятностью события В при условии, что событие А произошло, называется вероятность, определяемая формулой

_, _вч Р{АВ)

РЛВ) = ’ (1)

,'Р{А) ^КЧ

Это можно легко показать для случая классического определения вероятности. Будем считать, что формула справедлива в общем случае и проиллюстрируем её на примере.

Пример 1. В урне 3 белых и 3 синих шара. Из урны вынут один шар, затем второй. Рассмотрим два события: А - первым вынут белый шар, В - вторым вынут синий, тогда АВ - вынуты по очереди белый и синий шары.

1 3 С¹-С¹ 9 3

Найдем вероятности: 1Щ I =—; Р(АВ) = — =—=— подста

вив эти вероятности в формулу (1), убеждаемся, что она справедлива.

Определение 2. Если Р_А(В) = Р(В) и Р_В(А) = Р(А), то такие события называются независимыми.

"Теорема 1. УА,ВеС11 Р(АВ) = Р(А)Р_Л(В) = Р(В)Р„(А). (2)

Это следует из формулы (1).

Следствие 1. Для независимых событий Р(АВ)= Р(А)Р(В).

Следствие 2. Если обозначить Р(А₁) = р_: и Р(А^)=д_{, то вероятность появления хотя бы одного из событий, независимых в совокупности, равна

^Р_(^А1⁼¹~_3¹⁹²"^д-'

Рассмотрим событие А₁ А₂... А _п - ни одного из событий А\ не наступило. Тогда по следствию 1 из определения вероятности получим Р(А) = 1 - Р(1₁А₂...А_Я) = 1 - д,д₂..д_я.

2.2. Теорема сложения вероятностей

Теорема2. УА,ВеП: Р(А+В) = Р(А)+Р(В)-Р(АВ). (4)

Из диаграммы событйй легко получить_равенства:

А + В = Л + ВА'? В = АВ + АВ, где А, В А и АВ, А В - попарно несовместные события.

Тогда, согласно третьей аксиоме, получаем Р(Л,+ В) = Р\А) + Р(ВА) и Р(В)= Р(АВ) + Р(АВ).

Если из последнего равенства выразить Р(АВ) Р(В) - ^

подставить в первое, то получим формулу (4).

Следствие 3. Если А и В — несовместные события, то получаем третью аксиому.

Пример 2. Вероятности попадания при Двух выстрелах соответственно равны р_х =0,8; р₂= 0,9. Найти вероятность поражения цели.

Вероятность поражения цели представляет собой событие А + В, гд_е событие А - поражение цели при первом выстреле, а событие В - поражение при втором выстреле.

Первый способ: По теореме сложения вероятностей получаем Р(А+В) = Р(А)+Р(В) - Р(АВ) = 0,8 + 0,9-0,72 = 0,98.

Второй способ: По формуле (3) получаем

Р(А + В) = 1-^₂ =1-0,2 0,1 = 0,98.

Пример 3. Устройство содержит три независимо работающих элемента. Вероятности отказа элементов соответственно равны: 0,05; 0,06; 0,08. Найти вероятности событий:

1. Откажет один элемент.

Введём события: А - интересующее нас событие; В - отказал первый элемент; С - отказал второй элемент; Г) - отказал третий элемент.

Тогда

А = ВСГ> + ВС1) + ВСВ

и, согласно теоремам об умножении и сложении вероятностей, получим

Р(А) = Р(В ■ С • 5) + Р(В ■ С ■ 3) + Р(В • С • В) =

= 0,05-0,94-0,92+ 0,95-0,06-0,92+ 0,95-0,94-0,08 = 0,167.

2. Ни один элемент не откажет.

Здесь интересующее нас событие А = В • С ■ '3 и тогда Р(А) = Р(В ■ С• В) = 0,95 • 0,94 • 0,92 = 0,8216.

2.3. Формула полной вероятности

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из событий В), В₂,..., В_{п г} образующих полную группу событий. Будем называть их гипотезами. Пусть известны вероятности гипотез:

Р(В_г),..., Р(В_п) и условные вероятности: Рв,Ы)> ”в_г (") в„ (А).

/огда имеет место формула полной вероятности Теорема 3,

Г<Л,*£пн^Р,и)~Р(В₁)Р,₁(А)+Р(В₁)Р,,(А)+..лРЮ^Р1.(^А'>- (5) Щ

Тогда по третьей ахсиоме и теореме умножения вероятностей

получим

Р(А) = Р(ЛВ₁) + Р(АВ₂) +... + Р(АВ_и) = = Р(Я,)Р_В, (Л) + Р(В₂)Р_В} (А) +... + Р(В_п)Р_Вй (А).

Пример 4. Три станка выпускают одинаковую продукцию. Первый станок выпускает 20%, из них - 5% брака, второй - 30% и 3% брака, третий - 50% и 2% брака. Из общей партии берётся наудачу деталь. Какая вероятность того, что эта деталь бракована?

Пусть А - интересующее нас событие, в качестве гипотез рассмотрим события:

; 5, - деталь изготовлена на первом станке, Р(В_г) = 0,2; Р_й (А) = 0,05;

В₂"‘ деталь изготовлена на втором станке, Р(В₂) = 0,3; Р_Вг(А) = 0,03;

В₃ - деталь изготовлена на третьем станке, Р(В_Ъ) = 0,5; Р_В (А) = 0,02.

Тогда по формуле (5) получим

Р(А) = Р(В_х)Р_В1 (А) + Р(В₂)Р_Вг (А) + Р(В₃)Р_В: (А) = = 0,2-0,05 + 0,3 0,03 + 0,5-0,02 = 0,029.

2.4. Формула Бейеса

Условия такие же, как и для формулы полной вероятности. Пусть событие А произошло, тогда вероятности гипотез могут быть переоценены по формуле Бейеса.

вероятность того, что будет заправляться грузовая равна 0 1 К заправке подъехала машина. Найти вероятность того, что ІІЩЩІ

Введём гипотезы:

В!-подъехала грузовая машина, °С® і) ⁼ Т I ^в, (Л) = од,

В₂ - подъехала легковая машина, Р(Вг) ⁼ ~ Ї ^в₂(^) = 0,2.

Тогда по формуле (6) получаем

Р(В) 0.6 0.1 0^ з

^{Д 0} Р(В,)Р_Ві(А)+Р(В₂)Р_Ік(А) 0,6 0,1+0,4 0,2 0,14 ⁼ 7'

3. Повторение испытаний

3.1. Независимые испытания. Формула Бернулли

Испытание - это осуществление определённых условий, в результате которых может произойти то или иное элементарное событие пространства Е. Если число исходов испытания - т, то назовём событие Л₁ - щ исходом (і — 1, 2,..., т). Обозначим Р\ — ^(Д) и будем считать, что все

события А_і образуют полную группу событий, тогда

Пусть произведено п испытаний.

Определение 1. Если исходы испытания в каждом опыте не зависят от предыдущих исходов, то испытания называются независимыми.

Например, при бросании игральной кости, исходы: выпало одно, два очка и т.д. не зависят от предыдущих очков — испытания независимые.

Рассмотрим случай ТП = 2 (схема Бернулли). Положим р\⁼ Р> Рг ~1-Рг ~Ч, т.е. Р(А) = р, Р(А) =4.

Рассмотрим следующую задачу. Пусть произведено п независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться с одной и той же вероятностью р. Требуется найти Щ ЙЙ - вероятность того, что событие А появится к раз, а событие А появится п — к раз.

Рассмотрим в какой либо последовательности чередование событий А и А так, чтобы А повторялось к раз, а событие А появилось п — к раз. Это событие В — А А А А А-... А. По теореме умножения вероятностей получаем

Р(В) = Р(А)Р(А)Р(А)Р(А)Р(А)...Р(А) = V \

По теореме сложения вероятностей Р_п(к) равна сумме тагих вероятностей для веек различных способов появлений события А (к раз

Г*

из п), т.е. их число Чв к\(п-к)\‘ ^^0СК0ЛЬКУ ^{800 уги} вероятности равны, то получаем формулу Бернулли

Замечание 1. Так как все возможные исходы (событие >4 появилось

О раз, 1 раз,..., п раз) образуют полную группу событий, то

р,(о)+ЗД+ад+...+ад=£ад=і-

*=о

Пример 1. Студент выучил 18 вопросов из 30, вынесенных на зачет. На зачете преподаватель предлагает ответить на три вопроса и в случае правильного ответа на два вопроса студент получает зачет. Найги вероятность сдачи зачета.

Очевидно, что вероятность правильного ответа студента на случайно

выбранный вопрос равна Р — ⁼ 0,6, а вероятность неправильного

ответа ^ = 1 —/7 = 0,4.

Для получения зачета студент должен ответить на два из трех или на все три вопроса, т.е. вероятность сдачи зачета

Р = Р,(2) + Р₃(3) = Сір’д + С’рУ =

= й)².0,4 + ^-І (0,6)^! 1 = 3 0,144 + 0,216 = 0,648.

1-2 1-2-3.

Пример 2. Вероятность хотя бы одного попадания при двух выстрелах равна 0, 96. Найти вероятность трёх попаданий при четырёх выстрелах.

Если р * - вероятность хотя бы одного попадания при двух выстрелах, то

р* - 0,96 -1 -д² => 4 = 0,2, тогда вероятность одного попадания р = 0,8 и вероятность трёх попаданий при четырёх выстрелах

^Ра(3)= змГЇ'(^0,8)³' °’^{2 = 0}’⁴⁰⁹⁶ •

Рассмотрим более общий случай, когда при п испытаниях число исходов каждого испытания ш > 2 и пусть р | - вероятность того, что событие А_і произойдет (Ї * 1, 2, 3,..., їй).

Тогда вероятность того, что событие А_х произойдет р_ад

А 2 произойдет к 2 раз,... И событие А_т произойдет к п„ж|0:¹ _: ■ • раз, йЦ

ляется по формуле

?„(*,, к₂,...,к_т) =

где Л,

Пример 3. Игральная кость брошена 10 раз. Найти вероятность того что одно очко выпадет два раза, два очка - ни разу, три очка - один щ четыре очка-два раза, пять очков-три раза и шесть очков - два раза

Здесь количество исходов испытаний

к_г = 2, к₂ = 0, £₃ = 1., *₄ = 2, к₅ = 3, к₆ = 2, а вероятности этих исходов

Аг ~Рг - А ~ Р* 5т Рз ВРб ъ 7*

Тогда найдем искомую вероятность по формуле (2)

-------- —--------- Г-| = 0,00125.

2!• 0!-1!• 2!-3!* 2! 1б

3.2. Локальная теорема Муавра — Лапласа

При больших значениях п формулу (1) использовать затруднительно. Поэтому возникает вопрос о замене её некоторой асимптотической формулой, т.е. приближенной, справедливой при больших п.

Теорема 1. Если вероятность появления события А в каждом из независимых испытаний постоянна и равна р, то вероятность Р„(к) при больших п приближенно равна значению функции

_ к - пр ^{при (3)}

\inpq

Значения функции (р(х) берутся из таблицы (прил. 1), при этом <р(х) - четная функция, т.е. <р(~х) = <р(х).

Пример 4. Вероятность рождения мальчика равна 0,51. Найти вероятность того, что среди 100 новорожденных окажется половина мальчиков.

Вероятность такого события вычисляем по формуле (3) при п — 100 и к - 50. Имеем

50-100-0,51

-0,2,

VI00 0,51 0,49

^/>'“⁽⁵⁰⁾ * >»:оТ»-,.49*°-²⁾■ '-Щ-- где значение <р(0,2)ї= 0,39.10 взято из таблицы значений функции <р(х).

3.3. Интегральная теорема Лапласа

Пусть производится п независимых испытаний. Как найти вероятность ад > ^2) того, что событие Л появится в п испытаниях, не менее раз и не более к₂ раз? Формулой ^_л(*|, Л₂) = Р_Я(Л,) +Р_Л(Л,+1) +... +Р_л(^,) пользоваться не удобно. Ответ даёт теорема

Теорема 2. Если вероятность появления события А в каждом из п независимых испытаний постоянна и равна р, то вероятность Р_я(^, іс₂) при больших п приближенно равна

Л(*Г. В

где

_к_х-пр к_г- пр

у/прд ’ ² у[прд

Для приближенного вычисления данного интеграла

1 V -- ’

Ф(*) ^{= 2} (ФУ™¹™ Лапласа)

имеется таблица (прил. 2), при этом функция Ф(х) нечетная, т.е.

Ф(-х) = -Ф(х).

Тогда

ад,Л)«Ф(^)-ф(^К

Замечание 2. Погрешность вычислений вероятностей по формулам

(3) и (4) имеет порядок ЩШЩ •

Пример 5. Вероятность того, что деталь прошла проверку ОТК, равна

0, 2. Найти вероятность того, среди 400 отобранных наудачу деталей окажется непроверенных от 70 до 100.

_ 70-400 0,2, _ 100-400-0,2 - _с

Вычислим ** = ^/400-0,2 0,8 ⁼"^1>25; *^{2 =},/400.0 2-0,8 ’

Тогда имеем

Р₄₀₀ (70,100)«Ф(х₂) - Ф(х,) | Ф(2,5) 1Ф(1,25) = 0,8882.

3.4. Теорема Пуассона

Из замечания 2 следует, что точность вычисления вероятностей хуже, чем меньше р или Возникает задача отыскания асимптот«^

, _ „ ^и1И“бскол

формулы, специально приспособленной для этого случая. Такая формул

была получена Пуассоном.

Теорема 3. Если число испытаний велико, а вероятность появленщ

события А в каждом испытании мала, то имеет место приближенна

формула

Р„(к) «^пр _или Р_н(к) я ~е ^в, -; (5)

где а = пр - среднее число появлений события А в п испытаниях.

.Замечание 3. Можно проверить, что при больших п справедливо равенство

Л 00 00 -к

*=0 к=0 ^{К 1} к=0 ^л!

Пример 6. Вероятность того, что деталь окажется бракованной, равна

0, 01. Найти вероятность того, среди 400 изготовленных деталей окажется пять бракованных.

Так как число испытаний п = 400 велико, а вероятность р — 0,01 мала, то воспользуемся формулой (5). Найдём а— пр — А и тогда

Лоо(3) * * 0.1685.

Замечание 4. Для удобного использования формулы Пуассона также существует таблица для «= пр < 10 (прил. 3). Имеются таблица (прил. 4) и для вычисления вероятностей вида

к=т к=т •

причем поскольку в формуле Пуассона число испытаний достаточно велико, то /7 можно не писать, т.е. Р„(к) = Р(к) и Р„(к^ т) = Р(к > т).

Пример 7. Вероятность того, что деталь будет забракована, равна 0,01. Найти вероятность того, что среди 400 изготовленных деталей буде не больше пяти забракованных.

Очевидно, что Р(к < 5) = I — Р(к > 6), поэтому можем воспользоваться формулою (6). Из таблицы, учитывая, что а = пр— 4 _и к = 6, находим Р{к ^ 6) * 0,21487. Следовательно, искомая вероятность равна Р(к < 5) * 1-0,21487 = 0,78513.

3.5. Вероятность отклонения частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях

и умножим полученное неравенство на ^

п к - пр -е.\-—.—І- < е

РЧ 4^прч

и учитывая нечетность

(7)

4. Случайные величины и Функции пасппедеда^дд 4.1. Случайные величины

Определение 1. Случайной величиной (СВ) называется величина X которая в результате опыта может принять то или иное значение, заранее неизвестно какое, т.е. X - X (е), где е т элементарное событие.

СВ бывают двух типов:

1. Дискретные - если возможные значения СВ (значения, которые она принимает) могут быть перечислены. Например, число попаданий в мишень при п выстрелах, число вызовов на АТС и т.д.

2. Непрерывные - если возможные значения СВ непрерывно заполняют некоторый промежуток. Например, расстояние от точки попадания до центра мишени, время безотказной работы блока устройства.

Для того, чтобы задать СВ, необходимо знать её возможные значения и как часто она их принимает, т.е. с какой вероятностью. Для дискретных СВ закон распределения обычно задается в виде таблицы

X	*1	^Х2	...		...
р	р\	Рг	...	Рп	ч#аиШ

Замечание. Так как события X = х₁; X =х₂; X - х„;... образуют полную группу событий, то Р\ + р₂ +■•• + Р_п +..₁-== 1.

Рассмотрим примеры наиболее распространённых дискретных СВ.

1. Биномиальное распределение.

X			...	к	...	п
р	ч^в		...	С^к_пр^кд^п:\	...	[ Р^п 0 П

2. Распределение Пуассона.

X				п	...
Р	е-	ае~^в	...	а"е~^а	...
I?	п!

Пример 1. Монета брошена три раза. Построить закон распределения СВ -число появлений герба.

Здесь -ЛГ ^в{0,1, 2, 3}. По формуле Бернулли вычислим соответствующие вероятности:

13 3 і

Проверим Pi + Рг ⁺ Pi + Pi ~ T ⁺ —+ —+ — = 1.

Получили закон распределения

X		■ 2 ^J

р	?

4.2. Функция распределения вероятностей для дискретной СВ

Для количественной характеристики распределения вероятностей удобно пользоваться не вероятностью события X - х, а вероятностью события X < х.

Определение 2. функция F(x) = Р(Х < х) называется функцией распределения вероятностей случайной величины X или интегральной функцией распределения.

Геометрически это означает, что F{x) - вероятность того, что СВ примет значение, лежащее левее х на числовой оси.

Пример 2. Построить функцию F(x) распределения вероятностей для примера 1.

1. х є (—ад; 0], для таких значений F(x) = Р(Х < 0) = 0.

2. х є (0; 1], для таких значений

F{x) = P{X<l) = -

3. х є (1; 2], для таких значений F(x) = P(X

1 3 3 ⁷

4. х є (2; 3], для таких значений F(x)-Р(Х^<3)~g ⁺ g ⁺ g.^8*

^{1 3 3} 4.1-1

5; of є (3; оо) _? для таких значений F{x)-Р(Х^<00' ⁼ g ⁺ g⁺g g” * F(x)

Из определения функции распределения следуют её СВ Н

1. 0SF(x)Zl. ^0ЙС18а*

2. F(x) «неубывающая функция.

3. = 0; F(co) ж 1.

4. Вероятность того, что СВ примет значение, заключенное

вале (а; ß), равно Р(а $Х< ß) = F(ß)-F(a). ⁸ *4

Рассмотрим события А = (X < а); В = (X < ß); С = («* у _< тогда В = А + С, Так как Л и С несовместные событр, fh Р(В) = Р(А)+Р(С), а учитывая, что Р(В)± F(ß)\ Р(А)± р Р{С) = Р(а S X < ß), то тогда Р(айХ<ß) = F(ß)~F(«).

5. F(x) имеет разрывы первого рода во всех точках, cooti^^^K ющих возможным значениям СВ, а величина скачка равна

F(x₀ + 0)- F(x₀ - 0) = Р(Х at Хц).

4.3. Непрерывная СВ. Функция распределения и плотность распределения вероятностей

Функция распределения вероятностей (интегральная) непрерывной СВ определяется аналогично как и для дискретной F(x) — Р(Х < х). В этом случае F(x) является непрерывной функцией и обладает свойствами 1-4, Однако, если F(x) непрерывная, то вероятность любого определённого значения непрерывной СВ равна нулю, так как

Р(Х = а)= lim Р(а йХ <ß)=lim (F(ß)~ F(a))= 0. I

ß-va, ß-*a ⁴.

Для локальной характеристики непрерывной СВ вводится понятие плотности распределения вероятностей.

Пусть имеется непрерывная случайная величина X с функцией распределения F(x). Вычислим вероятность попадания этой СВ в интервал (x;x+Ax)i По свойству 4, получаем Р(х<Х< х+Ах) = F(x+Ах)—F(x),

• Р(х<Х<х+Ах)

Рассмотрим отношение ~Дх~~ * ^т‘^е' ^ИсР^еД^ш°^ю" вероятность

и устремим Ах —► 0

Дх-»о Дх

Определение 3. Плотностью распределения вероятностей или лиффе- ренциальной функцией распределения называется функция f(x) — F'(x).

Из этого определения следуют её свойства:

1. /(*)£ 0, как производная от неубывающей функции.

2. Вероятность попадания СВ в интервал (а; ß) равна

Р(а < X < ß) • I f(x)dx,

а’

так как /(x)dx -вероятность попадания СВ в интервал длины dx.

3. ^(*) * J f(^x)dx _t так как F(x)» J*(-«o < X < *).

4. j /(x)rfx «1 ₍«по следует из свойства 3 я те», что

Пример 3. Найти функцию распределения F{x) по мдаипюй функция плотности /(ж) и вероятность попадания СВ в интервал (мая

[О, х<0,

Дх) = |ах², 0£ж<1;

[О, х>1.

Вначале найдём значение параметра а из свойства 4 функции плотности f(x)

1 1# a jx²dx = 1 щщ fl -ji =1 => в = 3,

а по свойству 3 находим функцию распределения О, х<0;

а я

MF(x)~> JO-Är+ЗJx²dbc=х³^®х³, 0£х<1;

-»О ' О

3^x²dx+ j0 dx^^=\, х>1

I о ^;г *

Вероятность попадания в заданный интервал можно определить по формулам из свойства 4 функции распределения или из свойства 2 функции плотности f(x). Воспользуемся формулой

P{aüX<ß)^F(ß)-F(a) = F{2)-F^\-¹-^¹-.

Приведём графики функций /(*) и F(x).

Дата добавления: 2015-08-29; просмотров: 30 | Нарушение авторских прав

<== предыдущая лекция	\|	следующая лекция ==>
Аэробная фаза дыхания растений	\|	Конвенция о правах ребенка 1 страница

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.104 сек.)