Лекции 13-14. Задачи, приводящие к понятию двойного интеграла. Определение двойного интеграла. Теорема существования (без доказательства). Формула его вычисления в прямоугольной системе координат.

Лекции 13-14. Задачи, приводящие к понятию двойного интеграла. Определение двойного интеграла. Теорема существования (без доказательства). Формула его вычисления в прямоугольной системе координат. Тройной интеграл. Замена переменной в кратных интегралах. Вычисление двойного интеграла в полярной, тройного в цилиндрической системах координат.

Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление.М.,2000.Гл.14, && 1-3, 5-6, 11-13.

И.П. Натансон. Краткий курс высшей математики.,М.,Лань.2005.Гл.12

Начнем с одной задачи, которая приводит к понятию двойного интеграла. Пусть имеется плоская пластина с переменной поверхностной плотностью . Требуется определить ее массу.

Попытаемся поступить разумно. Поскольку поверхностная плотность переменная, разобьем пластинку на частей, причем сами эти части достаточно малые. Математический смысл понятия – достаточно малые – сформулируем позднее, а пока примем это понятие на интуитивном уровне.

На части с номером выберем точку , ее площадь этой части обозначим .

Поскольку выделенная часть достаточно мала, то хотя поверхностная плотность является переменной, на этом кусочке мы ее можем с определенной степенью точности считать постоянной и равной значению в точке , то есть .

А тогда масса выделенного участка приближенно равна . Соответственно для полной массы может быть получена оценка . Интуитивно понятно, что чем мельче будет разбиение, тем точнее мы получим массу.

А теперь перейдем к построению строгой теории. В начале я введу еще одно понятие. Диаметром любой области мы будем называть величину , равную расстоянию между самыми удаленными друг от друга точками области.

Пусть на плоскости имеется некоторая область и функция двух переменных , определенная в этой области. Для краткости мы будем писать , подразумевая точку с координатами .

Разобьем область на частей. Часть с номером обозначим . Причем в обозначение .будем вкладывать сразу два понятия. Во-первых, под будем понимать множество точек в части с номером . Во-вторых, под будем понимать площадь части с номером . Диаметр обозначим . Через обозначим максимальную из . На каждой части выберем точку с координатами .

Интегральной суммой назовем сумму вида - сумму произведений значений функции в выбранной точке на площадь соответствующей области.

Заметим, что само значение интегральной суммы зависит от способа разбиения и способа выбора точек .

Определение. Если существует предел интегральных сумм при , и этот предел не зависит ни от способа разбиения, ни от способа выбора точек , то функция называется интегрируемой по области , а значение предела называется двойным интегралом от функции по этой области и обозначается или, что то же самое .

Таким образом = .

Если мы немного подумаем, то придем к выводу, что данное определение двойного интеграла является обобщением понятия определенного интеграла, которое нами было рассмотрено ранее.

Как я уже говорил в случае определенного интеграла, когда мы вводим новое понятие, мы должны ответить на ряд вопросов.

Вопрос первый – зачем это нужно? Мы привели примеры задачи, которая приводит к подобным суммам.

Вопрос второй – а нужно ли это вообще? Вопрос состоит в том, а существует ли достаточно широкий класс функций, для которых предел интегральных сумм существует и не зависит ни от способа разбиения ни от способа выбора точек ? На этот вопрос отвечает следующая теорема, которую мы приводим без доказательства.

Теорема. Если функция непрерывна, а область замкнута и ограничена, то она интегрируема на этой области.

Как видим, класс интегрируемых функций достаточно широк.

Третий вопрос – а какие свойства у этого нового понятия? Их мы изучим позднее.

Вопрос четвертый – а как им пользоваться на практике? Хотя сразу предупреждаю, что иногда ничего другого не остается, как разбивать область на достаточно мелкие области и считать интегральную сумму, для того чтобы получить значение с нужной степенью точности.

Приступим к изучению свойств двойного интеграла. Отметим, что доказательства многих свой аналогичны тем, которые проводились для определенного интеграла, поэтому они будут просто формулироваться.

Теорема. Если функции и интегрируемы в области , а и постоянные, то

.

Для определенного интеграла имела место теорема.

Теорема. Если функция интегрируема, то .

Аналогичная теорема для двойного интеграла выглядит следующим образом.

Теорема. Если замкнутая ограниченная область разбита на две непересекающиеся внутренними точками области и и функция интегрируема, то

.

Рассмотрим одну задачу. Найти . В данном случае .

Имеем = .

Но поскольку сумма всех равна - площади области , то .

Теорема о среднем. Пусть функция непрерывна в замкнутой ограниченной области . Тогда , где некоторая точка из области .

Отметим, что данная теорема утверждает тот факт, что существует точка области такая что, если мы вычислим значение подынтегральной функции в этой точке и умножим на площадь области, то получим значение двойного интеграла от непрерывной функции по этой области.

Теперь перейдем к доказательству. Функция непрерывная в замкнутой ограниченной области принимает на этой области свое наибольшее и наименьшее значения.

Имеем =

Точно так же можно показать .

Следовательно .

Тогда .

Поскольку функция непрерывная на отрезке принимает все промежуточные значения между наибольшим и наименьшим, то найдется точка из области , такая что

И теорема доказана. Отметим, что значение называют средним значением функции в данной области.

Теперь перейдем к способу вычисления двойного интеграла. Введем некоторые определения.

Определение. Область называется правильной относительно оси , если она ограничена двумя прямыми , , и всякая прямая , где пересекает границу области ровно в двух точках.

Данное определение означает, что снизу данная область ограничена графиком некоторой функции - нижняя граница, и сверху графиком функции верхняя граница. При этом при .

Пусть функция определена в области . Двукратным (повторным) интегралом от функции по области называется интеграл вида

.

Немножко расшифруем, что означает такая запись.

При вычислении интеграла вида - величина считается постоянной. После интегрирования по переменной и подстановки пределов мы получаем некоторую функцию переменной , где = .

Далее мы интегрируем полученную функцию по переменной . Получаем .Для краткости выражение для будем записывать в виде

.

Наша дальнейшая цель будет состоять в том, чтобы показать, что двукратный интеграл равен двойному интегралу по данной области.

Для этого нам понадобятся некоторые свойства двукратного интеграла.

Свойство 1.Если прямая , где разбивает область на две области и , то .

Имеем . Согласно свойству определенного интеграла

,

но . И свойство доказано.

Свойство 2. Если прямая , где при , разбивает область на две области и , то .

Имеем.

, но поскольку , , то свойство доказано.

Свойство 3. Если , то где - площадь области .

Имеем .

У меня сохранились остатки надежды, что у вас остались в памяти кое-какие факты из геометрических приложений определенного интеграла.

Свойство 4. (Теорема о среднем). Пусть функция непрерывна в области . Тогда , где некоторая точка из области .

Доказательство. Функция непрерывная в замкнутой ограниченной области принимает на этой области свое наибольшее и наименьшее значения.

Имеем =

Точно так же можно показать .

Следовательно .

Тогда .

Поскольку функция непрерывная на отрезке принимает все промежуточные значения между наибольшим и наименьшим, то найдется точка из области , такая что

Отметим, что точка указанная здесь, вовсе не обязана совпадать с аналогичной точкой, указанной в случае теоремы о среднем для двойного интеграла. Поэтому доказательство равенства двойного и двукратного интеграла еще не доказано.

Разобьем область вертикальными и горизонтальными линиями на частей. Обозначим - область с номером , - ее площадь.

Тогда . Согласно теореме о среднем , точка лежит в области .

Тогда . Увеличим число разбиений так, чтобы стремилось бы к нулю где - максимальный из диаметров .

Поскольку предел постоянной равен этой постоянной, то . С другой стороны сумма является интегральной суммой для функции по области . Для интегрируемой функции предел не зависит от способа разбиения и способа выбора точек . Значение этого предела равно двойному интегралу по этой области. Таким образом .

Рассмотрим пример. Вычислить , где область - треугольник с вершинами .

Представим область на рисунке.

Как мы видим, данная область расположена между прямыми и . Снизу эта область ограничена линией , сверху линией . Тогда

Заметим, что область может быть правильной относительно оси . То есть она ограничена прямыми , , и графиками некоторой функции - левая граница, и графиком функции правая граница. При этом при .

В этом случае .

Отметим, что область может быть правильной относительно каждой из осей или разбита на области правильные относительно каждой из осей. В этом случае результат интегрирования не должен зависеть от порядка интегрирования. Но следует отметить, что сложность интегрирования очень часто зависит от того, какой порядок интегрирования принят. Поэтому нужно уметь расставлять пределы интегрирования в том и другом порядке.

Рассмотрим пример. Изменить порядок интегрирования

Область интегрирования представлена на рисунке

Самая нижняя точка области – точка А имеет координаты А(0;-1), а самая верхняя – точка С имеет координаты С(2;4). Следовательно, область по оси OY ограничена прямыми и . Слева область ограничена линией , справа . Поскольку для разных значений переменной уравнения этих линий имеют разный вид, то придется область разбить на три области , , линиями , .

Поскольку = , то расставим пределы интегрирования в каждой области.

Область по оси OY ограничена прямыми и . Слева область ограничена линией , уравнение которой , справа , уравнение которой или . Тогда

Область по оси OY ограничена прямыми и . Слева область ограничена линией , уравнение которой , справа , уравнение которой . Тогда

Область по оси OY ограничена прямыми и . Слева область ограничена линией , уравнение которой или , справа , уравнение которой . Тогда .

Тогда = + + .

Далее выведем формулу замены переменных в двойном интеграле. Сразу хочу предупредить, что это не будет строгим доказательством.

В чем же суть. Пусть имеется и имеется пара функций , , таких что, эта пара функций взаимно однозначно отображает некоторую область плоскости на область плоскости

Под словами взаимно однозначно понимается, что для любой точки из области , ее образ – точка , где , , лежит в области . При этом у каждой точки из области существует и при том единственный прообраз из области .

Будем также предполагать, что функции , непрерывны и имеют непрерывные частные производные.

Вспомним, что двойной интеграл есть предел интегральных сумм, и этот предел не зависит ни от способа разбиения ни от способа выбора точек. Поступим следующим образом. Разобьем область на частей. При этом будем считать, что область разбита на прямоугольники. В этом конечно есть небольшая нестрогость. Не всякую область можно разбить на прямоугольники. Но на прямоугольники можно разбить почти всю область, если конечно прямоугольники достаточно малые. Часть с номером обозначим . При этом, чтобы не вводить лишних обозначений под будем понимать и саму эту часть, и ее площадь.

В результате отображения , прямоугольная область на плоскости перейдет в некоторую, уже не обязательно прямоугольную область на плоскости . Возьмем точку - одну из вершин прямоугольника на плоскости . В результате отображения , она перейдет в некоторую точку плоскости , лежащую на границе области . Подчеркнем один факт. Если мы имеем некоторое разбиение области на плоскости , то в результате отображения мы получим некоторое разбиение области на плоскости . При составлении интегральной суммы мы возьмем именно полученное разбиение.

Таким образом, интегральную сумму можно записать в виде

. Отметим, что точка , определяется точкой , поскольку получена в результате отображения , из точки , то есть является функцией этой точки - .

Таким образом, интегральную сумму можно представить в виде . Если нам каким-то образом удастся связать значение со значениями и , то у нас есть надежда, что мы получим интегральную сумму по области . Вот построением такой связи мы с вами сейчас и займемся.

Рассмотрим более подробно, во что отображается прямоугольник, предполагая, что его стороны достаточно малы

Пусть вершины прямоугольника на плоскости соответственно имеют координаты , , , .

Образы этих точек на плоскости обозначим соответственно . Их координаты соответственно обозначим

, , , .

При этом для точки имеем , .

Определим координаты точки

, .

Я позволю себе роскошь надеяться, что вы еще не совсем забыли про полный дифференциал первого порядка. Если мои надежды не напрасны, то с точностью до бесконечно малых более высокого порядка мы можем представить

Аналогично

.

Заметим, что векторы , , соответственно равны

, ,

Кроме того, можно заметить + = .

Последнее равенство означает, что с точностью до бесконечно малых более высокого порядка фигура является параллелограммом. Найдем его площадь .

Векторное произведение вычисляется по формуле

, где функция, называемая якобианом и равная .

Поскольку есть ни что иное, как площадь , то получаем, что с точностью до бесконечно малых более высокого порядка имеем

.

Тогда интегральную сумму можно представить в виде . А эта сумма является уже интегральной суммой по области . Таким образом имеем

.

В частности вычислим якобиан в случае перехода в полярную систему координат.

Напомним формулы перехода , . Тогда

Рассмотрим расстановку пределов по криволинейному сектору.

Напомним, что криволинейным сектором называется область , ограниченная линиями, уравнения которых в полярной системе координат имеют вид: ; ; ; при этом при

На плоскости параметров области D соответствует область G вида

Тогда

.

Рассмотрим пример. Вычислить , если область ограничена линиями: ; ; ; , (x>0; y>0).

Область схематично представлена на рисунке. Уравнения линий, ограничивающих данную область, в полярной системе координат имеют вид: , ; ,

Вычислим данный интеграл в полярной системе координат.

Рассмотрим еще один пример, который показывает, что сложность вычисления интеграла может существенно зависеть от выбора системы координат.

Вычислить , если область D – вся плоскость.

В начале попытаемся вычислить данный интеграл в прямоугольной системе координат.

Имеем

Интеграл вида относится к разряду «неберущихся». Обозначим через несобственный интеграл вида . Тогда

.

Теперь попытаемся вычислить этот же интеграл в полярной системе координат.

Имеем

.

Таким образом . И в качестве бесплатного приложения мы получили одно соотношение, которое нам понадобится при изучении курса теории вероятностей .

А теперь перейдем к тройному интегралу. Поскольку он не отличается принципиально от двойного интеграла, то материал будет излагаться схематично.

Пусть в пространстве имеется некоторая область и функция трех переменных , определенная в этой области. Для краткости мы будем писать , подразумевая точку с координатами .

Разобьем область на частей. Часть с номером обозначим . Причем в обозначение .будем вкладывать сразу два понятия. Во-первых, под будем понимать множество точек в части с номером . Во-вторых, под будем понимать объем части с номером . Диаметр обозначим . Через обозначим максимальную из . На каждой части выберем точку с координатами .

Интегральной суммой назовем сумму вида - сумму произведений значений функции в выбранной точке на объем соответствующей области.

Заметим, что само значение интегральной суммы зависит от способа разбиения и способа выбора точек .

Определение. Если существует предел интегральных сумм при , и этот предел не зависит ни от способа разбиения, ни от способа выбора точек , то функция называется интегрируемой по области , а значение предела называется тройным интегралом от функции по этой области и обозначается или, что то же самое .

Таким образом = .

Свойства тройного интеграла принципиального не отличаются от аналогичных свойств двойного, поэтому формулировать и доказывать их не будем.

Отметим лишь - объему области.

Остановимся на формуле вычисления тройного интеграла в прямоугольной системе координат.

Определение. Область называется правильной относительно оси , если ее проекция на плоскость является некоторой областью D этой плоскости и всякая прямая параллельная оси пересекает границу области ровно в двух точках.

Данное определение означает, что снизу данная область ограничена графиком некоторой функции - нижняя граница, и сверху графиком функции верхняя граница, а с боков цилиндрической поверхностью с образующей параллельной оси и с направляющей, совпадающей с границей области .

Тогда формула вычисления тройного интеграла по данной области может быть представлена в виде

Рассмотрим пример. Вычислить , если область интегрирования ограничена поверхностями: ; ; .

Имеем .

.

.

Поскольку эта область правильная относительно всех осей, попробуйте дома самостоятельно произвести вычисление данного интеграла в другой последовательности.

Теперь немного о формуле замены переменных в тройном интеграле.

Пусть требуется вычислить . И имеются три функции , , такие что, эти функции взаимно однозначно отображает некоторую область пространства на область пространства

Будем также предполагать, что функции , , непрерывны и имеют непрерывные частные производные.

Тогда ,

Где - якобиан .

Эту формулу можно получить способом, аналогичным использованному в случае двойного интеграла, если воспользоваться геометрическим смыслом смешанного произведения векторов.

В заключение рассмотрим еще один пример.

Пример. Найти объем тела, ограниченного поверхностями: , .

Сверху данная область ограничена плоскостью , снизу параболоидом . Найдем линию пересечения этих поверхностей. . Следовательно, проекцией этой области на плоскость является круг радиуса 4.

Тогда . Вычислим данный интеграл.

.

Последний интеграл вычислим в полярной системе координат

Дата добавления: 2015-08-29