Теория функций комплексных переменных.

Теория функций комплексных переменных.

Число называют мнимой единицей. Любое комплексное число представляется в виде . При этом – вещественная часть, – мнимая часть.

Число называется комплексно сопряжённым числу .

Правила действий с комплексными числами:

Сложение/вычитание: .

Умножение: .

Деление: .

Основная теорема высшей алгебры: какое бы ни было уравнение с биномиальными членами, у него есть хотя бы одно решение.

Если – корень уравнения , то, поделив многочлен слева на , получим: , где – в общем случае многочлен степени меньшей, чем (здесь – число). При этом . Получим уравнение: . У него также есть корень. Следовательно, у уравнения n -й степени есть n корней: .

Пусть есть два комплексных числа и . Им можно сопоставить два вектора: и . Перейдя в полярные координаты, получим: – модуль комплексного числа, (аргумент z). Если имеется в виду неоднозначное определение , то arg пишется с большой буквы: .

Произведение комплексных чисел в тригонометрической форме: Отсюда можно получить формулы для тригонометрических функций: .

Извлечение корня: Пусть . Тогда, если , то , а .

Последовательность комплексных чисел имеет предел при , равный u , если (вещественный).

Критерий сходимости Коши: сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальна, т.е. для для будет .

Ряд сходится тогда и только тогда, когда для : для и будет .

– дзета-функция Римана . Уравнение имеет, по предположению Римана, решение только при для – не доказано.

для для будет .

для будет .

.

непрерывна в точке , если .

Теорема Абеля: Рассмотрим . Пусть в точке ряд сходится. Тогда он сходится для . Если же ряд расходится в точке , то он будет расходиться для .

Пусть сходится. Возьмём . Тогда , следовательно, для для будет . Рассмотрим , где . При этом, если , то сходится (по критерию Коши: ), следовательно, сходится и исходный ряд.

Обобщённый признак Коши: Рассмотрим . Пусть . Если , то ряд сходится, если , то он расходится.

Обобщённый признак Даламбера: Если , то ряд сходится, а если , то ряд расходится.

Функцию комплексных переменных можно представить так: , где u и v – вещественные функции. Таким образом, функция f переводит точки в точки , то есть фактически это не функция, а отображение.

Пусть , a – вещественное, . Тогда

Пусть . Если , то (бесконечно удалённая точка).

Варианты геометрии Лобачёвского

Плоскостью служит верхняя полуплоскость вида . Геометрическое место точек – абсолют. В качестве прямых служат полуокружности с центром, началом и концом на абсолюте, а также лучи, перпендикулярные абсолюту.

Как найти расстояние между и ? Рассмотрим – ангармоническое соотношение 4-х точек.

в качестве расстояния можно взять .

Рассмотрим уравнение: . Пусть . Таким образом, .

Другое уравнение: , т.е. .

Дифференциальное исчисление

. Тогда . Пусть и . Тогда:

;

;

.

Пусть есть , и . Рассмотрим .Т.к. и , то .

Производная обратной функции: пусть есть и . Если переводит точки из области z в область W, то обратная функция – из области W в область z. При этом обратная функция существует только в том случае, когда точке из области z отвечает одна и только одна точка в области W.

.

Пусть дана функция . Проверим, будет ли оставаться тем же при стремлении к 0 по разным направлениям (например, параллельном сначала оси x, а потом – оси y): ; .

Таким образом, это равенство выполняется при – условия Коши-Римана.

Пусть и дифференцируемые функции двух переменных в окрестности точки и пусть выполняются условия Коши-Римана. Тогда .

Т.к. и непрерывны в точке , то и . Из условий Коши-Римана следует, что . Тогда .

Все формулы дифференцирования сохраняются.

Геометрический смысл производной

Пусть задано отображение . Тогда , где – бесконечно малая. Таким образом, модуль производной – коэффициент локального растяжения в окрестности точки .

.

стремится к углу наклона касательной к кривой .

стремится к углу наклона касательной к кривой l.

Пусть . Рассмотрим линии , . Утверждение: они ортогональны.

(из условий Коши-Римана) .

Интегральное исчисление

Пусть задана спрямляемая линия l. Разобьём её точками . Тогда комплексный криволинейный интеграл , где , если этот предел существует.

Рассмотрим его: .

Таким образом, , если u и v кусочно непрерывны и ограничены на спрямляемой линии l.

Существует, если u и v кусочно непрерывны и ограничены на спрямляемой линии l.

Зависит от направления.

Линейность: если есть и , интегрируемые вдоль l, то для и b .

Аддитивность: если и , то .

Оценка: если при , то .

.

Если выполняются условия Коши-Римана и известна функция , то можно найти .

Если L – замкнутый контур, ограничивающий односвязную область D и существует при , то .

Пусть . Тогда (по формуле Грина) (из условий Коши-Римана) .

Интегральная теорема Коши: Пусть задана многосвязная область D, G – её граница, – границы внутренних областей, функция непрерывна на всех границах и имеет непрерывную производную в области D. Тогда .

Соединим произвольным образом все с G. В результате получим одну границу, охватывающую как область D, так и внутренние области. Направление обхода вдоль этой границе по внутренним областям будет отрицательно, т.к. точки внутренней области при этом будут лежать справа. Следовательно, (по теореме) .

Интегральная формула Коши: Если точка принадлежит области D, то , где G – граница области D.

Возьмём окружность радиуса R с центром в точке так, чтобы все её точки принадлежали D. Тогда . Уравнение окружности: , где , следовательно, (при ) .

Интегральная формула Коши для производных аналитических функций: , где L – контур, охватывающий .

Рассмотрим сначала .

Предположим теперь, что формула выполняется для -й производной и рассмотрим .

.

Теорема Лиувилля: Если – аналитическая функция на всей плоскости комплексных переменных и , то она неограниченна.

. Тогда . Предположим, что ограничена, т.е. для будет . Тогда , т.к. R – произвольно, а A – ограниченно, следовательно, . Таким образом, если , то неограниченна.

Основная теорема высшей алгебры: Для многочлена , где – комплексные числа, .

Пусть для и пусть . Тогда, т.к. , то аналитична везде. Возьмём . Тогда (т.к. ) . При достаточно больших R будет . Тогда , т.е. для будет . Область – ограниченная, непрерывна везде, следовательно, ограничена в области (по теореме Вейерштрасса), т.е. при . Таким образом, для – ограниченна везде и, т.к. она аналитична везде, то по теореме Лиувилля , что противоречит условию.

, причём возможно, что и при : .

По основной теореме . Тогда , где R – остаток, степень R меньше степени , т.е. . Аналогично, и т.д.

Теорема Морера: Если непрерывна в односвязной области D и , где L – контур, лежащий в этой области, то аналитична в этой области.

Введём функцию , где – произвольный контур от точки z до точки , целиком лежащий в D. Рассмотрим , т.е. непрерывна. Таким образом, . Тогда .

Функциональные ряды

Если сходится равномерно, на l, то .

Рассмотрим (т.к. это сумма конечного числа слагаемых). Тогда . То, что сходится равномерно, означает, что .

Теорема Вейерштрасса: Пусть – аналитические функции, сходится равномерно в замкнутой области, входящей в D и непрерывен на границе области D. Тогда

– аналитическая функция в этой области;

;

сходится равномерно в любой замкнутой ограниченной области .

Возьмём произвольный контур . Тогда , т.к. функции аналитичны (по теореме Коши), следовательно, аналитичен (по теореме Морера).

Возьмём окружность с центром в точке z и радиусом R . Тогда . При этом сходится равномерно на , следовательно, .

Для будет , где – граница области . Рассмотрим , т.к. , а сходится равномерно.

Ряд вида называется рядом Лорана.

сходится на окружности , а – вне этой окружности . При этом, если , то они сходятся равномерно в соответствующих областях.

Теорема о разложении в ряд Лорана: Пусть функция аналитична в кольцевой области . Тогда эта функция может быть представлена рядом Лорана, причём единственным образом.

Граница области G . Сузим область, чтобы функция на границах была аналитична. Тогда . Разложим (геометрическая прогрессия). Тогда . Рассмотрим теперь (здесь уже ) (геометрическая прогрессия) . Тогда .

Т.к. аналитична, то , где l – произвольный контур. Тогда .

Докажем единственность: и (при (При ; при , где ). Тогда , т.е. это разложение единственно.

Однозначность определения аналитической функции своими значениями на бесконечном множестве точек:

Пусть и аналитичны в области D, и для . Тогда в D.

Рассмотрим . Тогда для , следовательно, , где . Пусть теперь . Тогда .

Пусть аналитична в G, и . Тогда , причём для какого-то k , т.е. , причём . Тогда точка называется нулём кратности k. При этом .

Классификация изолированных особых точек

Пусть определена в области . Тогда точка называется изолированной (пример: ).

Если везде, кроме аналитична, то , где первое слагаемое называется главной частью, а второе – правой частью.

Точка называется центральной особой, если главная часть равна нулю.

Точка называется полюсом порядка k, если главная часть содержит конечное количество членов.

Точка называется существенно особой, если главная часть содержит бесконечное количество членов.

– центральная особая точка тогда и только тогда, когда ограничена в некоторой окрестности точки , т.е. и при .

Пусть – центральная особая точка. Тогда .

. Рассмотрим при . Устремим к 0: .

– полюс тогда и только тогда, когда при .

Если – полюс, то при при .

Пусть при . Тогда имеет в точке центральную особую точку, т.к. при , следовательно, существует окрестность точки , в которой ограничена, а, значит, , где . Разложим в ряд Тейлора: .

Теорема Сохоцкого: Точка – существенно особая для , если для будет .

Пусть точка – существенно особая и пусть и для и будет . Пусть также . Тогда при будет – устранимая особая точка для . Функцию можно представить в виде: , где . Тогда , следовательно, если , то точка устранимая особая точка, а если , то – полюс, что противоречит тому, что точка – существенно особая.

Вычет в особой точке равен , где – –1-й коэффициент в ряде Лорана. Обозначение: .

Если у функции в точке полюс, то , где . Тогда .

Теорема Коши о вычетах: Пусть есть замкнутый спрямляемый контур L и имеет конечное число особенностей в этом контуре: . Тогда .

. Окружим каждую точку контуром . Тогда .

Вычет в бесконечно удалённой точке

¥ – бесконечно удалённая точка, если в множестве нет особых точек функции .

Введём замену переменных: . Тогда, если , то , следовательно, для любой функции нужно исследовать не , а .

Функцию можно разложить в ряд: . Тогда возможны следующие варианты:

Устранимая особая точка: , если .

Полюс порядка k: или .

Существенно особая точка: бесконечно много.

Вычет в бесконечно удалённой точке: .

Если функция имеет лишь конечное количество особых точек, то сумма всех её вычетов во всех особых точках, включая ¥ равна 0.

Т.к. n – конечно, то для будет . При этом сходится для . Следовательно, (т.к. ).

Преобразование Лапласа

Пусть определена на , кусочно непрерывна, и и . Тогда , где . Функция называется оригиналом, – изображением.

Найдём производную оригинала: .

Свойства изображения:

– аналитическая функция в .

Если , то в D равномерно сходится, т.к. (при ) . Пусть есть замкнутый контур G. Тогда , т.к. – аналитическая функция.

Обращение .

Свойства преобразования Лапласа:

Линейность: .

.

.

, если непрерывна.

.

, если он существует.

Изображения некоторых функций:

Функция Хевисайда: .

.

.

.

(«интегральный синус»): .

Теорема смещения: .

Теорема умножения: Если , то – «свёртка».

.

.

Рассмотрим задачу Коши: . Будем рассматривать более простой случай: . (Если условия такие: , то можно сделать замену переменных, удовлетворяющую системе: ). Сначала решим такое уравнение: . Это обычное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с частным решением . В результате получается функция – решение этого уравнения. Тогда (т.к. ) . При этом .

Принцип максимума модуля

Пусть аналитична в области G и интегрируема вдоль L – границы G. Тогда . Тогда , причём .

Предположим, что и . Тогда (здесь R: область ) и . Утверждение: для . Предположим, что . Тогда для для будет . Тогда – противоречие. Следовательно, . Тогда для . Пусть . Условия Коши-Римана: . При этом . Аналогично и и . . Таким образом, . Аналогично . Отсюда следует, что и , т.е. .

Дата добавления: 2015-08-29