1. Случайной наз. величину, которая в результате испытания примет то или иное возможное числовое значение, наперед не известное и зависящее от случайных причин, , которые заранее не могут быть

1. Случайной наз. величину, которая в результате испытания примет то или иное возможное числовое значение, наперед не известное и зависящее от случайных причин,, которые заранее не могут быть учтены.

Обозначаются случайные величины большими буквами А, Х, Z, а их возможные значения – строчными буквами х, у, z (Х: х1 х2 х3 … хn). (ПРИМЕР1: число родившихся девочек среди 100 новорождённых есть случайная величина, которая имеет следующие возможные значения: 0, 1, 2 …100. ПРИМЕР: расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле из орудия, есть случайная величина, ведь это расстояние может зависеть от многих причин, которые не могут быть полностью учтены. Возможные значения этой величины принадлежат промежутку (а, b)).

Уже из примеров видно, что следует различать случайные величины, на принимающие лишь отдельные, изолированные значения, и случ. Величины, возможные значения которых сплошь заполняют некоторый промежуток.

Д. с.в. наз. случайную величину, совокупность значений которой составляет либо конечную, либо бесконечную последовательность чисел, которую можно пронумеровать.

Пример: количество очков, которое выпадает на грани кости или количество попаданий во время выстрелов и т. д.

Н. с. в. – это величина, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Очевидно, число этих значений н.с.в. бесконечно. ПРИМЕР – всё то же расстояние, кот. пролетит снаряд.

14. Плотностью распределения вероятностей н. с. в. Х называют функцию f (x) – первую производную от функции распределения F(x): f (x) = F’(x). То есть, если функцию распределения F(x) н.с.в. Х подать в виде F (x) = , то говорят, что случайная величина Х абсолютно непрерывна, а f (x) соответственно наз. плотностью распределения с.в. Х.

Свойство 1. Плотность распределения – неотрицательная функция: f (x) 0. Док-во: ф-я распределения – неубывающая функция, следовательно, её производная – функция неотрицательная. Геометрически это свойство означает, сто точки, принадлежащие графику плотности распределения, расположены либо над осью Ох, либо на этой оси.

Свойство 2. Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от равен единице: . Док-во: этот несобственный интеграл выражает вероятность события, состоящего в том, что случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу от - до . Очевидно, такое событие достоверно, следовательно, вероятность его равна 1. Геометрически это означает, что вся площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью Ох и кривой, равна 1. В частности, если все возможные значения с.в. принадлежат интервалу (а, b), то . ВЕРОЯТНОСТНЫЙ СМЫСЛ: по определению f (x) = F’(x), или . Разность в числителе определяет вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (х,х + х)

Таким образом предел отношения вероятности того, что н.с.в. примет значение, принадлежащее интервалу к длине этого интервала равен значению плотности распределения в точке х. Итак, ф-я f (x) определяет плотность распределения вероятности для каждой точки х. Из дифференциального исчисления известно, что приращение функции приближённо равно дифференциалу функции, т.е.

. Так как F’(x)=f (x), а , то .

Вероятностный смысл этого равенства таков: вер-ть того, что случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (х,х + х), приближённо равна произведению плтности вероятности в точке х на длину интервала х. Геометрическое истолкование: вер-ть того, что … равна площади прямоугольника с с основанием х и высотой f (x).

2.3. Дати означення інтегральної та диференціальної ф-цій розподілу н.в.в. Довести їх основні властивості. Навести приклади з побудовою відповідних графіків.

Неперервною випадковою величиною називають величину, яка може приймати будь-яке числове значення з деякого скінченного або нескінченного інтервалу(а, b). Кількість можливих значень такої величини є нескінченна. Для повної характеристики НВВ вводять інтегральну та диференціальну функції розподілу. Інтегральною ф-цією розподілу(функцією розподілу) називають імовірність того, що випадкова величина Х прийме значення, менше х. F(х)=Р(Х<х) Якщо НВВ Х може приймати будь-яке значення з (а, b) то Р(а<X<b)=F(b)-F(a), (1) Тобто імовірність прийняття величиною Х значень з (a,b) дорівнює приросту функції розподілу. Формулу (1) часто називають основною формулою теорії імовірностей. Зауваження: НВВ Х, що приймає значення у проміжку (a,b), має незлічену к-сть можливих значень, тому набуття Х певних значень Х=а або Х=b буде майже неможливою подією. Це означає, що Р(Х=а) та Р(Х=b) будуть нескінченно малими величинами, які у практичних розрахунках можна не враховувати. Тому мають місце рівності P(a< X <b)=P(a≤ X <b)=P(a< X ≤b)= P(a≤ X ≤b) Властивості ф-ції розподілу: 1) 0≤ F(x)≤1; 2)F(x)- зростаюча ф-ція, тобто F(x₂)>F(x₁), якщо х₂>х₁; 3)F(x)=0 при x≤a; F(x)=1 при x≥b. Графік F(х) може мати вигляд:

Диференціальною ф-цією розподілу(щільністю імовірностей НВВ) називають похідну першого порядку від її інтегральної ф-ції розподілу і позначають f(x)=F’(x) (2) Із формули (2) випливає,що ф-ція розподілу F(х) є первісною для диференціальної ф-ції розподілу f(x). Якщо диференціальна ф-ція розподілу f(х) відома, то інтегральну ф-цію розподілу F(х) можна знайти за формулою (3) Диференціальна ф-ція розподілу НВВ Х Є (a,b) має такі властивості: 1) f(x) 0 тому, що вона є похідною зростаючої ф-ції F(x); 2)f(x)=0 при x<a, x≥b тому, що є похідною F(x)=0 при x<a та F(x)=1 при x≥b; 3) тому,що подія { - ∞ < X < ∞ } достовірна. Графік щільності імовірності f(x) називають кривою розподілу. Він може мати вигляд,зображений, наприклад, на даному малюнку:

Приклад з графіком - в Гмурман(практика) ст.90

Мода (от лат. modus — мера, способ, правило) — одна из числовых характеристик распределения вероятностей случайной величины; для случайной величины, имеющей плотность вероятностей f(x) определяется как любая точка максимума f(x); определяется и для распределений, не имеющих плотности: например мода дискретной случайной величины — любое её значение, имеющее вероятность, равную максимальной вероятности; иногда под модой случайной величины ξ понимают точку, где достигается абсолютный максимум её плотности вероятности или вероятностей её значений — главное значение моды, обозначаемое Modξ; менее употребительная характеристика распределения, чем математическое ожидание и медиана.

Распределения с одной, двумя или большим числом мод называются соответственно унимодальными (одновершинными), бимодальными или мультимодальными

Медиана (от лат. mediana — средняя) — одна из числовых характеристик распределения вероятностей случайной величины; для случайной величины, имеющей строго монотонную функцию распределения F(x) определяется как единственный корень уравнения F(x) = 1 / 2; в общем случае определяется неоднозначно, а иногда не существует; в симметричном случае — совпадает с модой и математическим ожиданием, если последнее существует; употребляется реже, чем математическое ожидание и чаще, чем мода.

В математической статистике для оценки медианы случайной величины по независимым результатам её наблюдений используют выборочную медиану соответствующего вариационного ряда — величину x(k), если n = 2k + 1, или величину, если n = 2k.

13. Дати означення ф-ції розподілу імовірностей с.в.в. Сформулювати її основні властивості та геометричний зміст.

Случайные величины, возможные значения которых определяются одним числом наз одномерными. Величины, возможные значения которых определяются двумя, тремя, …, n числами наз соответственно двумерными, трёхмерными, …, n-мерными.

Будем обозначать через (X,Y) двумерную с.в. Каждую из величин X и Y наз составляющей (компонентой); обе величины X и Y, рассматриваемые одновременно, образуют систему двух случайных величин.

Ф-ция распределения двумерной с.в.

Рассмотрим двумерную с.в. (X,Y) (безразлично, дискретную или непрерывную). Пусть x,y – пара действительных чисел. Вероятность события, состоящего в том, что X примет значение, меньшее x, и при этом Y примет значение, меньшее y, обозначим через F(x,y). Если x и y будут изменяться, то будет изменяться и F(x,y), т.е. F(x,y) есть ф-ция от x и y.

Ф-цией распределения двумерной с.в. (X,Y) наз ф-цию F(x,y), определяющую для каждой пары чисел x,y вероятность того, что X примет значение, меньшее x, и при этом Y примет значение, меньшее y:

F(x,y)=P(X< x, Y< y)

Геометрически это равенство можно истолковать так: F(x,y) есть вероятность того, что случайная точка (X,Y) попадет в бесконечный квадрат с вершиной (x,y), расположенный левее и ниже этой вершины (с.158 Гмурман)

Свойство1. Значения ф-ции распределения удовлетворяют двойному неравенству

0≤F(x,y)≤1

Свойство2. F(x,y) есть неубывающая ф-ция по каждому аргументу, т.е.

F(x₂,y)≥ F(x,y), если x₂>x₁

F(x,y₂)≥ F(x,y), если y₂>y₁

Свойство3. Имеют место предельные соотношения:

1) F(-∞, y)=0 3) F(-∞,-∞)=0

2) F(x, -∞)=0 4) F(∞, ∞)=1

Свойство4.

а) При y=∞ ф-ция распределения системы становится ф-цией распределения составляющей X:

F(x, ∞)=F₁(x)

б) При x=∞ ф-ция распределения системы становится ф-цией распределения составляющей Y:

F(∞, y)=F₂(y)

26. Пояснити, як будуються випадкові величини, що мають розподіл: а) Пірсона χ² (χ²-розподіл), б) Стьюдента (t-розподіл), в) Фішера (F-розподіл). Записати вирази для ф-ції щільності розподілу імовірностей цих розподілів та їх основні числові характеристики. Пояснити зміст позначень.

а) Пусть X_i(i=1,2,…,n) – нормальные независимые случайные величины, причем мат. ож-ние каждой из них равно нулю, а среднее квадратическое отклонение – единице. Тогда сумма квадратов этих величин распределена по закону χ² («хи квадрат») с k=n степенями свободы; если же эти величины связаны одним линейным соотношением, например , то число степенем свободы k=n-1.

Плотность этого распределения

,

где - гамма-функция; в частности, Г(n+1)=n!

б) Пусть Z – нормальная случайная величина, причем M(Z)=0, σ(Z)=1, а V – независимая от Z величина, которая распределена по закону χ² с k степенями свободы. Тогда величина

имеет распределение, которое наз t-распределением или распределением Стьюдента с k степенями свободы.

в) Если U и V – независимые случайные величины, распределенные по закону χ² со степенями свободы k₁ и k₂, то величина имеет распределение, которое наз распределением F Фишера-Снедекора со степенями свободы k₁ и k₂ (иногда его обозначают через V²).

Плотность этого распределения

где

15.

6. Довести основні властивості мат. Сподівання та дисперсії 1)значення мат. сподівання вел. Х полягає між її наймен. І найбіл. ЗначеннямиДе а < М(х)<в2)Математичне сподівання постійної величини дорівнює цій постійнійвеличині, тобто: М(С)=С3)Постійний множник можна виносити за знак математичного сподіванняM(kx)=k(M(x)4)Математичне сподівання суми скінченої кількості випадкових величиндорівнює сумі математичних сподівань: M(x+y)=M(x)+M(y)5)Математичне сподівання добутку випадкових величин дорівнює добуткуматематичних сподівань цих величин: M(x*y)=M(x)*M(y)6)Якщо всі значення випадкової величини X зменшити (збільшити) на одне йте саме число C, то математичне сподівання зменшиться (збільшиться) нате саме число: M(X–C)=M(X)–C Наслідок: Математичне сподівання відхилення випадкової величини X, від її математичного сподівання дорівнює 0 Дисперсія (з лат. – розсіяність). В більшості випадків тількиматематичне сподівання не може в достатній мірі характеризувативипадкову величину., дисперсыя для випадкових та неперервних величин Властивості дисперсії 1) Дисперсія постійної величини дорівнює нулю D(с)=02)Постійний множник виноситься за знак дисперсії, якщо піднести його доквадрату, тобто: Д(с*х)= с*с * Д(х)3)Дисперсія суми скінченої кількості незалежних випадкових величиндорівнює сумі дисперсій цих величин: Д(x+y)=Д(x)+Д(y)4) Дисперсія різниці незалежних випадкових величин дорівнює:Д(x-y)=Д(x)-Д(y) 19. Дати означення основних числових характеристик свв.:

В) Досить часто для характеристики зв’язку між випадковими величинами і використовують коефіцієнт кореляції

.

Коефіцієнт кореляції характеризує тільки зв'язок між випадковими величинами, тоді як крім зв’язку між випадковими величинами і характеризує ще й величину розсіювання. Коефіцієнт кореляції є безрозмірною величиною.

Зазначимо, що можна розглядати як скалярний добуток величин і .

дістаємо так званий умовний дискретний розподіл імовірностей випадкової величини за умови, що випадкова величина набуває значення , . Числа , , , можна тлумачити як значення деякої випадкової величини , , яких вона набуває з імовірностями ,

Нехай – дискретна випадкова величина, що набуває значень , тобто

.

Нехай – деяке розбиття.

Умовним математичним сподіванням випадкової величини щодо розбиття називають випадкову величину

, .

Якщо при цьому , то ,

тобто для випадкова величина набуває одного й того самого значення .

Якщо – довільна випадкова величина, для якої визначено , – випадкова подія така, що , то величину

, ,

називають умовним математичним сподіванням випадкової величини щодо події .

Г) Узагальненими числовими характеристиками випадкових величин є початкові та центральні моменти.

ОЗНАЧЕННЯ 5.8. Початковим моментом k-го порядку випадкової величини x називають математичне сподівання величини x^k:

a_k = a_k(x) = М(x^k) (k = 1,2,3, …).

ОЗНАЧЕННЯ 5.9. Центральним моментом k-го порядку випадкової величини x називають математичне сподівання від величини (x - Мx)^k:

m_k = m_k(x) = М(x-Мx)^k (k = 1,2,3, …).

Відзначимо кілька важливих положень:

- Число М½x½^k називають абсолютним початковиммоментом порядку k випадкової величини x;

- Число М½x - Мx½^k називають абсолютним центральним моментом порядку k випадкової величини x;

- З означень 5.8 та 5.9 маємо, що коли існують моменти Мx^k, то існують й моменти менших порядків.

- Вірні наступні порівняння:

а) a = m = 1;

б) Mx = a₁;

в) Dx = s²_x = m₂ = a₂ - a₁²;

г) m₁ = 0.

Як ми бачимо, другий центральний момент (в): m₂ - дисперсіявипадкової величини.

Зауважимо ще те, що центральні моменти m_k можна обчислити через начальні моменти a_1, a₂, …, a_k.

Чим більш моментів випадкової величини відомі, тим детальніше уявлення про закон розподілу. В теорії ймовірностей та її застосуванні використовують ще дві числові характеристики випадкової величини, які обчислюються за допомогою третього та четвертого моментів.

Б) Вибіркові дисперсії s ², S ² — це числові характеристики розсіювання значень випадкової вибірки, що являє собою сукупність результатів незалежних повторних спостережень. Визначаються в звичайних сукупностях вимірів. В теорії точності вимірювань їх ще називають дисперсіями вимірів, або просто дисперсіями.

• Дисперсія s ² — це різниця середнього значення квадратів елементів вибірки і квадрата вибіркового середнього:^[3]

.

• Дисперсія S ² є різниця середнього значення квадратів елементів вибірки і середнього значення добутку двох її елементів:

.

• Вибіркові дисперсії мають такий вигляд:

;

Дата добавления: 2015-08-28