Домашнее задание №1 Матрицы

Домашнее задание №1 Матрицы

1. Даны матрицы и .
1. Какова размерность матрицы , ?
2. Назовите элемент матрицы и матрицы .
3. Найдите матрицы и .

2. Даны матрицы , , , . Установите, для каких матриц определена операция умножения и укажите размерности матриц, которые получатся в результате их умножения.

3. Определена ли операция умножения матриц и ? Если да, то какова будет размерность матрицы ?

4. Какова размерность матрицы , если и ?

5. Матрица , причем , , ? Чему равны значения и ?

6. Даны матрицы и . Найдите и , .

7. Дана матрица . Найдите .

8. Даны матрицы и . Найдите , .

9. Даны матрицы и . Найдите

10. Даны матрицы и . Найдите матрицу , удовлетворяющую уравнению .

11. Вычислите определители:
1) ; 2) ; 3) .

12. Вычислите минор и алгебраическое дополнение элемента 1) ; 2)
в определителе 1) .

13. Вычислите минор и алгебраическое дополнение элемента 1) ; 2)
в определителе 1) .

14. С помощью метода элементарных преобразований найдите матрицу, обратную к матрице .
Указание. Напомним, что обратной для квадратной матрицы , является такая матрица , что , где ‑ единичная матрица того же порядка, что и матрица . Одним из методов нахождения обратной матрицы является метод элементарных преобразований, который состоит из следующих этапов:
1) сначала вместо данной квадратной матрицы порядка записывают прямоугольную матрицу размерности , первые столбцов которой являются столбцами матрицы , а вторые столбцов – столбцами единичной матрицы того же порядка, который имеет матрица (единичная матрица отделяется от исходной матрицы вертикальной чертой). Такую матрицу обозначают ;
2) при помощи элементарных преобразований над строками матрицы она приводится к виду (обращаем внимание, что в полученной матрице первые столбцов должны быть столбцами единичной матрицы). Тогда матрица .
Элементарными преобразованиями над строками матрицы называют следующие преобразования:
1) перестановка местами любых двух строк матрицы;
2) умножение всех элементов любой строки матрицы на любое отличное от нуля число;
3) почленное прибавление к элементам любой строки матрицы соответствующих элементов любой другой строки этой матрицы.

На практике обычно объединяют последние два преобразования в одно и рассматривают два основных вида элементарных преобразований:
1- ый вид ‑ перестановка местами любых двух строк матрицы;
2- ой вид ‑ почленное прибавление к элементам любой строки матрицы соответствующих элементов любой другой строки этой матрицы, все члены одной из которых предварительно умножены на одно и тоже число.

Решение:
Припишем к матрице справа единичную матрицу 3-го порядка, обозначим эту матрицу . Итак, . Далее идея состоит в том, чтобы в этой матрице слева от вертикальной черты получить единичную матрицу, используя элементарные преобразования строк матрицы.

Для этого проведем следующие элементарные преобразования над строками матрицы :

1) Поменяем местами первую и вторую строки матрицы , получим матрицу .

2) Умножим первую строку матрицы (2) на и прибавим к ее второй строке, получим .

3) Умножим первую строку матрицы (3) на 3 и прибавим к третьей ее строке, получим .

4) Прибавим третью строку матрицы (4) ко второй строке, получим:

5) Разделим вторую строку матрицы (5) на 2, получим .

6) Умножим вторую строку матрицы (6) на и прибавим к первой ее строке, получим

7) Умножим вторую строку матрицы (7) на и прибавим к третьей ее строке, получим .

8) Последнюю строку матрицы (8) разделим на : .

9) Прибавим последнюю строку матрицы (9) к первой ее строке, получим

Элементарными преобразованиями мы добились, что слева от черты стоит единичная матрица, а тогда матрица, стоящая справа от черты, и будет являться обратной к матрице : . Отметим, что может быть предложена и другая последовательность элементарных преобразований строк. Так как обратная матрица, если она существует, единственна, то другая последовательность элементарных преобразований строк должна привести к тому же результату.

Проверим, что .

.

Самостоятельно проверьте, что .

Ответ: .

15. С помощью метода элементарных преобразований найдите матрицу, обратную к матрице .

Дата добавления: 2015-08-29