Теорема 3.5 Пусть функция не ограничена на отрезке . Тогда эта функция не может быть интегрируемой на , то есть не существует предела интегральных сумм для функции при условии .

Билет 11 см выделенное

Теорема 3.5 Пусть функция не ограничена на отрезке . Тогда эта функция не может быть интегрируемой на , то есть не существует предела интегральных сумм для функции при условии . Иными словами, если функция интегрируема, то она ограничена.

Доказательство. Фиксируем любое разбиение с произвольным диаметром . Поскольку функция не ограничена на отрезке , то она не ограничена хотя бы на одном из отрезков разбиения . Предположим, что функция не ограничена на этом отрезке сверху (случай неограниченности снизу разбирается совершенно аналогично), и покажем, что тогда интегральную сумму, соответствующую этому разбиению, можно сделать как угодно большой лишь за счёт выбора точки разметки, лежащей на отрезке . Выберем точки разметки , лежащие на прочих отрезках разбиения, то есть при , и зафиксируем. Тогда эти фиксированные отрезки и точки разметки дадут некоторый фиксированный вклад в интегральную сумму, равный Поскольку на оставшемся отрезке деления с номером и фиксированной длиной функция неограничена сверху, то для любого, как угодно большого числа можно найти такую точку , что

достаточно взять такую точку , что значение функции в ней превышает . Следовательно, при любом, как угодно малом, значении диаметра размеченного разбиения , мы можем найти такое размеченное разбиение , что интегральная сумма , ему соответствующая, будет как угодно велика. Значит, величина не ограничена ни на каком окончании базы и поэтому не может иметь никакого предела при этой базе (как мы знаем, все величины, имеющие предел, локально ограничены при данной базе). Поскольку предела интегральных сумм нет, функция не интегрируема на отрезке , что и требовалось доказать.

Замечание 3.1 Заметим теперь, что если переопределить значение интегрируемой функции в одной или нескольких точках (в конечном числе точек), то она останется интегрируемой и значение определённого интеграла от неё не изменится.

Действительно, изменение значения в одной точке либо вовсе не меняет интегральную сумму, либо изменяет одно её слагаемое, если совпадает с одной из точек разметки . Но при измельчении разбиения, то есть при , вклад слагаемого , соответствующего отрезку, на котором лежит , стремится к 0, так как . Значит, предел не меняется. Если точек , в которых изменяется значение функции, несколько, то их можно добавлять по одной, что и завершает доказательство утверждения.

Выясним теперь некоторые общие свойства определённого интеграла . При этом будем предполагать, что функции, стоящие под знаком определённого интеграла, -- интегрируемые.

---

Дата добавления: 2015-08-29