1. Двоичная система с частотным разделением каналов

1. Двоичная система с частотным разделением каналов

Диапазон , - частота Найквиста, делится на поддиапазонов шириной . Каждому поддиапазону соответствует полосовой фильтр с центральной частотой , , - частоты среза, . Каждый фильтр описывается весовой функцией . Двоичные сигналы задаются как синусоиды с (поднесущей) частотой и прямоугольной огибающей длительностью : si=rectpuls(t-T/2,T).*sin(2*pi*fi*t). Сообщение - сигнал

, . (1)

Дискретизация во времени приводит непрерывные сигналы к векторам , сигнал - к вектору , весовые функции – векторам .

Декодирование сигнала базируется на реакциях фильтров, вычисляемых в каждом канале дискретной свёрткой

(2)

Например, при и кГц полосы пропускания каналов можно назначить равными кГц:

d=1 % отношение сигнал - шум

Fs=600e+003 % частота дискретизации 600 кГц

Fn=Fs/2 % частота Найквиста

n=64 % число отсчётов

dt=1/Fs % интервал дискретизации, dt=1/600000

df=1/n/dt

f=0:df:(n-1)*df % ось частоты от 0 до 63/64*Fs

T=(n-1)*dt % длительность сигнала, T=63*dt

t=0:dt:T; % ось времени

% частоты поднесущих, Гц

f1=13500;f2=45000;f3=81000;f4=120000;f5=159000;f6=198000;f7=237000;

f8=276000

Y=[-1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1] % сообщение [0 0 0 0 0 0 1 1]

% сигнал (рис. 1)

s=(-rectpuls(t-T/2,T).*sin(2*pi*f1*t)-rectpuls(t-T/2,T).*sin(2*pi*f2*t)-rectpuls(t-T/2,T).*sin(2*pi*f3*t)-rectpuls(t-T/2,T).*sin(2*pi*f4*t)-...

rectpuls(t-T/2,T).*sin(2*pi*f5*t)-rectpuls(t-T/2,T).*sin(2*pi*f6*t)+rectpuls(t-T/2,T).*sin(2*pi*f7*t)+rectpuls(t-T/2,T).*sin(2*pi*f8*t))/4*d;

plot(t,s)

pause

Сигнал одного из сообщений – на рис. 1. Сумма (1) делится на 4, чтобы амплитуда максимальных выбросов сигнала соответствовала значению отношения сигнал – шум.

Рис. 1. Сигнал сообщения [0 0 0 0 0 0 1 1]

Рис. 2. Спектр сигнала сообщения

Спектр сигнала (рис. 2, 3))

[H,w]=freqz(s); % 512 значений на оси от 0 до pi

ff=w*Fn/pi; % 512 значений на оси от 0 до Fn в Гц

GS=abs(H); % спектр сигнала

plot(ff,GS)

pause

имеет явно выраженный полосовой характер.

H=fft(s,n); % спектральная функция сигнала

G=abs(H) % спектр сигнала

plot(f,G)

pause

Рис. 3. Спектр сигнала, рассчитанный БПФ

Каналы задаются фрагментом

% характеристики каналов

[b,a]=cheby1(5,0.3,[0.0001 0.09]); % первый канал, F1=0.3кГц, F2=27кГц

h1=impz(b,a,n,Fs); % весовая функция

hh1=h1';

[HH,f]=freqz(b,a,n,'whole',Fs); % передаточная функция

GH1=abs(HH); % АЧХ

[b,a]=cheby1(5,0.3,[0.1 0.20]); % второй канал, F1=30кГц, F2=60кГц

h2=impz(b,a,n,Fs);

hh2=h2';

[HH,f]=freqz(b,a,n,'whole',Fs);

GH2=abs(HH);

[b,a]=cheby1(5,0.3,[0.22 0.32]); % третий канал, F1=66кГц, F2=96кГц

h3=impz(b,a,n,Fs);

hh3=h3';

[HH,f]=freqz(b,a,n,'whole',Fs);

GH3=abs(HH);

[b,a]=cheby1(5,0.3,[0.35 0.45]); % четвёртый канал, F1=105кГц, F2=135кГц

h4=impz(b,a,n,Fs);

hh4=h4';

[HH,f]=freqz(b,a,n,'whole',Fs);

GH4=abs(HH);

[b,a]=cheby1(5,0.3,[0.48 0.58]); % пятый канал, F1=144кГц, F2=174кГц

h5=impz(b,a,n,Fs);

hh5=h5';

[HH,f]=freqz(b,a,n,'whole',Fs);

GH5=abs(HH);

[b,a]=cheby1(5,0.3,[0.61 0.71]); % шестой канал, F1=183кГц, F2=213кГц

h6=impz(b,a,n,Fs);

hh6=h6';

[HH,f]=freqz(b,a,n,'whole',Fs);

GH6=abs(HH);

[b,a]=cheby1(5,0.3,[0.74 0.84]); % седьмой канал, F1=222кГц, F2=252кГц

h7=impz(b,a,n,Fs);

hh7=h7';

[HH,f]=freqz(b,a,n,'whole',Fs);

GH7=abs(HH);

[b,a]=cheby1(5,0.3,[0.87 0.97]); % восьмой канал, F1=261кГц, F2=291кГц

h8=impz(b,a,n,Fs);

hh8=h8';

[HH,f]=freqz(b,a,n,'whole',Fs);

GH8=abs(HH);

plot(f,GH1,f,GH2,f,GH3,f,GH4,f,GH5,f,GH6,f,GH7,f,GH8)

pause

zzz=zeros(1,n)

plot(t,h1,t,h5,t,zzz)

pause

АЧХ каналов, соответствующие спектрам сигналов (рис. 2, 3) – на рис. 4. Примеры весовых функций – на рис. 5. Весовые функции – затухающие гармонические функции с частотой, равной поднесущей частоте канала .

Рис. 4. АЧХ каналов

Рис. 5. Весовые функции первого и пятого каналов

АЧХ каналов в идеальном случае не должны пересекаться, то есть весовые функции каналов, а также сигналы на их выходах в идеале ортогональны – непересекающиеся в частотной и временной областях (на полубесконечном интервале времени от 0 до ). В данном случае фрагмент

h=[hh1; hh2; hh3; hh4; hh5; hh6; hh7; hh8]

eh=h*h'

pause

даёт матрицу, близкую к диагональной:

eh = 0.0845 -0.0058 -0.0001 -0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000

-0.0058 0.1014 0.0008 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000

-0.0001 0.0008 0.1023 0.0005 -0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000

-0.0000 0.0000 0.0005 0.1025 0.0005 -0.0000 -0.0000 -0.0000

0.0000 0.0000 -0.0000 0.0005 0.1025 0.0005 -0.0000 -0.0000

-0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0005 0.1024 0.0005 -0.0000

-0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0005 0.1020 0.0005

0.0000 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0005 0.0990

Сигналы на выходах каналов, рассчитанные свёрткой (2)

y1=filter(hh1,1,s);

y2=filter(hh2,1,s);

y3=filter(hh3,1,s);

y4=filter(hh4,1,s);

y5=filter(hh5,1,s);

y6=filter(hh6,1,s);

y7=filter(hh7,1,s);

y8=filter(hh8,1,s);

yy=[y1;y2;y3;y4;y5;y6;y7;y8];

ey=yy*yy'

plot(t,y1,t,y5) % рис. 6

pause

близки к ортогональным:

ey = 1.4143 0.0589 0.0453 0.0108 -0.0140 -0.0213 0.0111 -0.0160

0.0589 1.1767 -0.0669 -0.0099 0.0209 0.0274 -0.0134 0.0202

0.0453 -0.0669 1.1192 0.0432 0.0222 0.0076 0.0006 0.0055

0.0108 -0.0099 0.0432 1.1007 0.0577 0.0441 -0.0169 0.0271

-0.0140 0.0209 0.0222 0.0577 1.1422 0.0677 -0.0312 0.0284

-0.0213 0.0274 0.0076 0.0441 0.0677 1.2633 -0.0317 -0.0022

0.0111 -0.0134 0.0006 -0.0169 -0.0312 -0.0317 1.2256 0.0930

-0.0160 0.0202 0.0055 0.0271 0.0284 -0.0022 0.0930 1.3260

Отличия матриц и от диагональных объясняются неидеальностью АЧХ каналов (рис. 4).

Рис. 6. Выходные сигналы первого и пятого каналов

Сравнением рис. 6 и рис. 5 можно заметить, что выходной сигнал воспроизводит весовую функцию с искажениями: частоты совпадают, но наблюдаются задержки сигналов, достигающие половины периода. Это свойство определяет способ декодирования: выходные сигналы умножаются на функции или :

y1=filter(hh1,1,s).*cos(2*pi*f1*t);

y5=filter(hh5,1,s).*sin(2*pi*f5*t);

plot(t,y1,t,y5)

pause

Рис. 7. Выходные сигналы каналов

Рис. 7 показывает, что результаты умножения – практически однополярные функции. Следовательно, для декодирования следует их проинтегрировать (дискретные функции просуммировать) и определить знак результата:

N=10000

z=0

for j=1:N

ss=d*s+randn(1,n); % сигнал + шум

% декодирование

y1=-sign(sum(filter(hh1,1,ss).*cos(2*pi*f1*t)));

y2=sign(sum(filter(hh2,1,ss).*sin(2*pi*f2*t)));

y3=sign(sum(filter(hh3,1,ss).*sin(2*pi*f3*t)));

y4=sign(sum(filter(hh4,1,ss).*sin(2*pi*f4*t)));

y5=sign(sum(filter(hh5,1,ss).*sin(2*pi*f5*t)));

y6=sign(sum(filter(hh6,1,ss).*sin(2*pi*f6*t)));

y7=sign(sum(filter(hh7,1,ss).*sin(2*pi*f7*t)));

y8=sign(sum(filter(hh8,1,ss).*cos(2*pi*f8*t)));

y=[y1;y2;y3;y4;y5;y6;y7;y8];

z=z+fix(Y*y/8);

end

P=z/N % вероятность правильного декодирования сообщения

Зависимость вероятности правильного декодирования сообщения [0 0 0 0 0 0 1 1]

от отношения сигнал – шум – в табл. 1 и на рис. 8.

	1.00	1.20	1.35	1.50	1.70	1.85	2.00	2.30	2.50	3.00
	0.324	0.468	0.569	0.670	0.784	0.842	0.891	0.957	0.974	0.995

Рис. 8. Вероятность правильного декодирования сообщения

Правило декодирования сигнала - го разряда формально записывается

, ,

- вектор сигнала на выходе - го канала, - вектор значений функции или . Вектор подбирается в процессе настройки декодирования.

2. Двоичная система с разделением по форме сигналов

Диапазон , - частота Найквиста, делится на поддиапазонов шириной . Каждому поддиапазону соответствует полосовой фильтр с весовой функцией , . Двоичные сигналы задаются как , плюс – единица - го разряда, минус – ноль. Передаётся сигнал

, .

Дискретизация во времени приводит непрерывные сигналы к векторам , сигнал - к вектору .

Пусть сигнал маскируется белым шумом . Тогда декодирование сигнала сводится к вычислению произведения

, (1)

- матрица вектор – столбцов, . Знак

-

- результат передачи.

2.1. Шум отсутствует

m=8 % число каналов

Fs=400e+003 % частота дискретизации 400 кГц

Fn=Fs/2 % частота Найквиста

n=64 % число отсчётов

dt=1/Fs % интервал дискретизации во времени ()

t=0:dt:(n-1)*dt; % ось времени

f1=0.001 % нижняя частота среза (f1=0.001Fn=200 Гц)

f2=0.125 % верхняя частота среза (f2=0.125Fn=25 кГц)

[b,a]=cheby1(5,0.5,[f1,f2]) % полосовой фильтр первого канала

h1(1,:)=impz(b,a,n,Fs/2); % весовая функция

H=fft(h1) % БПФ

G1=abs(H); % АЧХ

df=Fs/n % интервал дискретизации по частоте (6250 Гц)

f=0:df:(n-1)*df; % ось частоты

subplot(2,1,1),stem(t,h1)

subplot(2,1,2),plot(f,G1) % рис.1

pause

f1=0.125 % нижняя частота среза (f1=25 кГц)

f2=0.250 % верхняя частота среза (f2=50 кГц)

[b,a]=cheby1(5,0.5,[f1,f2]) % полосовой фильтр второго канала

h2(1,:)=impz(b,a,n,Fs/2); % весовая функция

H=fft(h2)

G2=abs(H);

df=Fs/n

f=0:df:(n-1)*df;

subplot(2,1,1),stem(t,h2)

pause

f1=0.875 % нижняя частота среза (f1=175 кГц)

f2=0.999 % верхняя частота среза (f2= 199.8 кГц)

[b,a]=cheby1(5,0.5,[f1,f2]) % полосовой фильтр четвёртого канала

h3(1,:)=impz(b,a,n,Fs/2);

H=fft(h3);

G3=abs(H);

df=Fs/n

f=0:df:(n-1)*df;

subplot(2,1,1),stem(t,h3)

subplot(2,1,2),plot(f,G1,f,G3) % рис.3

Рис. 1. АЧХ первого канала

Рис. 2. АЧХ первого и второго каналов

Рис. 3. АЧХ первого и восьмого каналов

Число отсчётов достаточно для воспроизведения весовых функций на интервале с, что соответствует скорости передачи кбайт/с.

Пример работы формулы (1):

s=h1+h2

y=s*h3'

y=s*h2'

y=s*h1'

y = 3.1064e-005

y = 0.1100

y = 0.1069

Видно, что энергия сигналов – весовых функций разная, поэтому их следует нормировать.

Все восемь каналов:

% восемь весовых функций

f1=0.001;f2=0.125 % частоты среза первого канала

[b,a]=cheby1(5,0.5,[f1,f2])

hh=impz(b,a,n,Fn);

k=1/sqrt(hh'*hh)

h(1,:)=k*hh(:,1) % нормированная весовая функция первого канала

f1=0.875;f2=0.999 % частоты среза восьмого канала

[b,a]=cheby1(5,0.5,[f1,f2])

h(8,:)=impz(b,a,n,Fn);

k=1/sqrt(h(8,:)*h(8,:)')

h(8,:)=k*h(8,:) % нормированная весовая функция восьмого канала

for i=2:7

f1=0.125*(i-1);

f2=0.125*i;

[b,a]=cheby1(5,0.5,[f1,f2])

hh=impz(b,a,n,Fn);

k=1/sqrt(hh'*hh);

hh=k*hh;

h(i,:)=hh';

end

s=h % нормированные сигналы - матрица (8 X 64)

e=s*h' % матрица произведений

pause

Матрица

e = 1.0000 -0.1115 0.0002 0.0003 0.0004 0.0004 0.0003 -0.0001

-0.1115 1.0000 -0.1296 -0.0022 -0.0017 -0.0014 -0.0013 0.0003

0.0002 -0.1296 1.0000 -0.1308 -0.0023 -0.0017 -0.0014 0.0004

0.0003 -0.0022 -0.1308 1.0000 -0.1311 -0.0023 -0.0017 0.0004

0.0004 -0.0017 -0.0023 -0.1311 1.0000 -0.1308 -0.0022 0.0003

0.0004 -0.0014 -0.0017 -0.0023 -0.1308 1.0000 -0.1296 0.0002

0.0003 -0.0013 -0.0014 -0.0017 -0.0022 -0.1296 1.0000 -0.1115

-0.0001 0.0003 0.0004 0.0004 0.0003 0.0002 -0.1115 1.0000

близка к единичной, т. е. весовые функции образуют почти ортонормированную систему. Таким образом, если АЧХ каналов не пересекаются, весовые функции ортогональны. Другими словами, идеальной системе с частотным разделением соответствует идеальная система с разделением по форме сигналов. Например, четыре полосовых фильтра Чебышева с кГц имеют слабо пересекающиеся АЧХ (рис. 4) и весовые функции (рис. 5).

Рис. 4. АЧХ

Рис. 5. Весовые функции

Им соответствует единичная матрица

e = 1.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000

-0.0000 1.0000 -0.0000 -0.0000

0.0000 -0.0000 1.0000 0.0000

-0.0000 -0.0000 0.0000 1.0000

Множество полосовых фильтров порождает ортонормированную на полубесконечном интервале систему весовых функций.

Формирование и декодирование сообщений:

H1=sum(s)-2*s(1,:)-2*s(3,:) % сообщение [0 1 0 1 1 1 1 1]

H2=-sum(s) % сообщение [0 0 0 0 0 0 0 0]

y1=H1*h' % формула (1)

y2=H2*h' % формула (1)

A1=sign(y1) % декодирование

A2=sign(y2) % декодирование

z=zeros(1,n);

subplot(2,1,1),plot(t,H1,t,z) % рис. 6

hold on

stem(t,H1)

subplot(2,1,2),plot(t,H2,t,z) % рис. 6

hold on

stem(t,H2)

pause

Рис. 6 показывает, что суммирование нормированных сигналов приводит к формированию сообщений с разной энергией. Действительно, формула (1) даёт результат

y1 = -1.1105 1.2348 -1.2657 0.9936 0.7365 0.7375 0.7548 0.8895

y2 = -0.8900 -0.7527 -0.7348 -0.7326 -0.7326 -0.7348 -0.7527 -0.8900,

декодирующийся, тем не менее, правильно:

A1 = -1 1 -1 1 1 1 1 1

A2 = -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1.

Рис. 6. Сообщения

2.2. Сообщения маскируются белым шумом

for i=1:8

k(i)=1/sqrt(s(i,:)*s(i,:)');

s(i,:)=k(i)*s(i,:); % нормировка сигналов

end

e=s*h'

pause

H0=[-1 -1 1 -1 1 1 -1 1] % сообщение

d=1.5 % отношение сигнал - шум

ss=d*(-s(1,:)-s(2,:)+s(3,:)-s(4,:)+s(5,:)+s(6,:)-s(7,:)+s(8,:)) % сообщение

ax=1 % размах шума (дисперсия = ax^2)

N=10000

p=0

for i=1:N

x=ax*randn(1,n); % белый шум

S=ss+x;

sy=sign(S*h'); % декодирование

y=sy.*H0;

p=p+sum(y);

end

P=abs(p)/N/8 % вероятность правильного декодирования

На рис. 7: 1 – ,

2 - ,

3 - .

Рис. 7. Вероятность правильного декодирования сообщений

Дата добавления: 2015-08-29