Под числовой последовательности х1,х2,х3,х4,х5 хN.

Последовательности.

Под числовой последовательности х1,х2,х3,х4,х5…хN.

хN=f(x),чаще всего последовательность задается формулой общего члена. .

Последовательность называется ограниченной { }, если существует такой M>0 или А<0, что для любого n € N выполняющегося неравенства, ≤M и это последовательность называется ограниченная сверху, ≥А и это последовательность называется ограниченная снизу.

Последовательность называется возрастающей, если для любого N выполняется неравенство , а называется пределом { }, если для любого положительного числа ε>0 найдется такое натуральное число N,что при всех n>N выполняются неравенства | -a|< ε.

-ε< -a< ε

a-ε< < ε+a

последовательность, имеющая предел называется сходящейся, ограниченная последовательность всегда имеет предел.

Основные теоремы о пределах.

Пределы функций

A называется пределом функций F(x), при x->a, если для любого ε>0 найдется такое положительное β>0,что для всех x, удовлетворяющих неравенству |x-a|<β, будет выполняться неравенство |f(x)-A|<ε

=A.

Основные пределы

Если предел функций f(x) при x->a равен ∞, то функция называется бесконечно большой.

Если предел функций f(x) при x->а равен 0, то функция называется бесконечно малой.

Замечательный предел.

· Первый замечательный предел:

· Второй замечательный предел:

Сравнение Бесконечно малых

Функции и называются бесконечно малой одного порядка малости при , если

Если , то является бесконечно малой более высокого порядка при , чем , а - бесконечно малой более низкого порядка по сравнению с : при .

не существует, то бесконечно малые и не сравнимы между собой.

Эквивалентные (равносильные) бесконечно малые функции

Если , то бесконечно малые функции и называются эквивалентными или равносильными бесконечно малые одного порядка при : при .

При вычислении пределов бесконечно малых величин можно заменять их эквивалентами.

При решении полезно знать следующие пределы.

, x->0

Непрерывность функции. Точки разрыва.

Y=f(x) называется неразрывность в точке ,если она удовлетворяет 3м условиям,

1. Определена в точке (существует ее значение в )

2. Существует ее конечный предел в точке (.)

3. Этот предел равен значению функции в точке x.(

Функция называется непрерывной на промежутках, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Свойства непрерывности функции

1. Произведение непрерывности функции в точке является

Теорема Коши

Пусть функция Y=f(x) определена и непрерывна на отрезке x€{а,в}, и на концах этого значения принимает разный значения, тогда на этих отрезках найдется точка С, которая равна 0.

Точки разрыва функции и их классификации

Если в какой-либо точке ,функция не является непрерывной, ,то точка называется точкой разрыва.

Пусть х стремится к , существует односторонние пределы.

Точка называется точкой разрыва первого рода, если в этой точке функции имеют конечные односторонние пределы слева и с права.

При это возможны 2 случая:

1. Если А1=А2, тогда точка называется точкой устранения разрыва.(такой разрыв называется устранимым)

2. Если А1≠А2, тогда |А1- А2| называется скачком функции.

Точка называется точкой разрыва второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов равен ±∞.

Производные

Пусть дана непрерывная функция y=f(x), x€(a,b),на промежутке от а до b.

Производная в точке называет предел отношения превращения функции к превращению аргумента, при условии что превращение аргумента стремится к 0.

Механический смысл производной.

y=f(x) если под аргументом понимаешь время, то отношение представляет собой среднюю скорость изменения функции y, за промежуток времени(-t,t+Δt),а предел этого отношения y’= есть скорость изменения функции в момент времени t (мгновение скорости).

Экономический смысл производной.

Пусть непрерывная функция y=f(x) описывает зависимость издержек производства(суммарных затрат Y от объема x)выпуск продукции. Если объем производства с x до x+Δх, то издержки производства возрастут.F(x+Δх)-f(x)=Δy. дает среднее превращение издержек производства при изменении объема производства на Δх единиц, а предел отношения дает предельные издержки производства.

Придельные издержки производства равны дополнительным затратам на производство продукции при увеличении объема производства на малую единицу Δх, если исходящий объем производства составляет x единиц.

Основные теоремы о производных.