Наблюдения и опыт показали, что при движении волн на поверхности воды сами водные частицы не переносятся со скоростью волн, а движутся по замкнутым или почти замкнутым орбитам вокруг той точки, в

Наблюдения и опыт показали, что при движении волн на поверхности воды сами водные частицы не переносятся со скоростью волн, а движутся по замкнутым или почти замкнутым орбитам вокруг той точки, в которой находилась соответствующая частица в состоянии покоя. Именно поэтому, исследуя такое движение, удобно применить уравнения гидродинамики в форме Лагранжа, задавшись координатами (а, b) частицы в состоянии покоя. Третья координата не будет применяться, так как волны рассматриваются двумерные.

Начало координат поместим на спокойной поверхности моря, ось Х направлена вдоль нее, а ось Z – вертикально вниз. Составляющие внешних сил будут равны Х = 0, Z = g. Уравнения движения Лагранжа запишем так:

,

. (1)

Условие неразрывности в форме Лагранжа дополняет систему:

. (2)

Всем этим уравнениям удовлетворяет частное решение, соответствующее круговращательному движению каждой частицы воды вокруг своего положения покоя:

x – a = r sinq,

y – b = cosq, (3)

где r – радиус орбиты, зависящий от радиуса орбиты поверхностных частиц r₀ и от расстояние b от поверхности моря, а q – линейная функция текущего времени t и координаты a точки покоя частицы:

r = f(r₀,b),

q = ka – w t. (4)

За время одного периода волн Т фаза перемещается вдоль оси Хна расстояние, равное длине волны l. Следовательно, можно положить, что:

(5)

Для определения зависимостей, скрытых в формулах (4) и (5), прежде всего учтем условие неразрывности (2), в котором придется заменить частные производные их выражениями на основании (3) и (4):

, ;

(6)

,

Подставив (6) в формулу (2) получим:

.

Но согласно формуле (2) производная во времени от этого выражения должна равняться нулю. С другой стороны, q заведомо является функцией времени, меняющейся между своими амплитудными значениями в пределах одного периода волн. Значит, условие непрерывности может быть удовлетворено только тогда, когда множитель при cosq тождественно равен нулю:

Отсюда следует

И после интегрирования .

Постоянная С определяется на основании условия на границе: при b = 0, r = r_о. Подставив ее найденное значение и вспомнив, что на основании формул (5) запишем окончательно:

. (7)

Итак, по мере удаления вниз от поверхности моря радиусы орбит уменьшаются по экспотенциальному закону тем быстрее, чем короче волна. Решающей является величина отношения b/l Остальные зависимости получим, воспользовавшись уравнениями движения (1), в которые надо подставить выражения вторых производных от х и у по t, записанные на основании уравнения (7):

,

(8)

,

А также выражения первых производных ¶ x/ ¶a, ¶ x/ ¶ b, ¶ y/ ¶ a и ¶ y/ ¶ b тоже с учетом уравнения (7):

, ;

(9)

, .

В результате получаются два промежуточных соотношения

,

.

Первое из них умножим на da, а второе - на db. Тогда при сложении левых частей получится полный дифференциал давления, деленный на плотность, а при сложении правых – тоже простое выражение. Поэтому

. (10)

Интегрирование уравнения (10) дает

. (11)

В частности, для самой поверхности моря из уравнения (11) найдем важное соотношение, подставив b = 0 и р=р₀:

. (12)

При полном безветрии можно считать, что во всех точках взволнованной поверхности моря давление р₀ постоянно, независимо от фазового угла q Следовательно, для удовлетворения этого граничного условия необходимо равенство нулю множителя в круглых скобках перед косинусом в уравнении (12):

, или . (13)

Разделим обе части полученного равенства на k². Тогда в левой части окажется на основании формулы (5)

,

а в правой части

.

Следовательно, скорость с распространения волны в глубоком море зависит только от длины волны:

(14)

при условии, что l чрезвычайно мала по сравнению с глубиной моря Н. Можно внести с в соотношение (4) для q Тогда окажется, что

q = k (a - ct).

Вспомнив также выражение rиз соотношения (7), перепишем общие формулы (3):

,

(15)

.

Нетрудно видеть, что это уравнение волнового движения поверхности, отстоящей на расстояние b от уровня моря (вниз) в спокойном состоянии. Эта поверхность в спокойном состоянии так же, как и поверхность моря, граничащая с воздушной средой, являлась плоскостью. Теперь по ней распространяются со скоростью с волны, амплитуда которых убывает по экспотенциальному закону при удалении вниз.

Легко показать, что во всех точках каждой такой волнующейся поверхности сохраняется определенное постоянное давление р, не зависящее от времени t.

Действительно, вспомнив, что в уравнении (12) исчез последний член, запишем выражение константы интегрирования С₁:

.

Но тогда, подставив это выражение в уравнение (11), где тоже пропадает последний член, получим после простых преобразований

. (16)

Итак, волнующаяся поверхность действительно оказывается здесь настоящей изобарической поверхностью: давление р во всех ее точках не зависит от времени, а зависит лишь от расстояния b, которое отделяло соответствующую плоскость внутри воды от плоской поверхности спокойного моря.

На практике чаще приходится сталкиваться с необходимостью определения не давления на какой-то колеблющейся изобарической поверхности, а законов колебания давления в неподвижной точке, находящейся на заданном постоянном расстоянии вниз от уровня спокойной поверхности моря. Такая задача легко разрешима посредством формулы (16).

Действительно, при волнении через точку, лежащую на расстоянии b ниже спокойного уровня моря, будут последовательно проходить различные изобарические поверхности. В частности, два раза за один период волн будет проходить та изобарическая поверхность, которая соответствует значению р при подстановке заданного расстояния b в формулу (16); это случится при положении колеблющейся изобарической поверхности приблизительно посредине между крайним верхним и крайним нижним ее расположением.

Следовательно, можно утверждать, что в неподвижной точке (например, на конце какой-то вехи, укрепленной в грунте) на глубине b под спокойным уровнем моря давление будет колебаться около величины р_ср = dgb приблизительно на

.

Посмотрим теперь, каков профиль волн конечной амплитуды, описываемых уравнением (15). Найдем уравнения этого профиля в параметрической форме, приняв в качестве параметра переменный угол q.

На уровне спокойной поверхности моря b = 0, поэтому уравнения (15) приобретут простой вид:

, (17)

.

где на основании предыдущих выкладок

. (18)

Выразим а через другие величины, входящие в уравнение (18):

,

и подставим это выражение в уравнение (17). Тогда окажется, что

,

(19)

.

Как видим, искомый профиль движется вдоль оси Х со скоростью с – фазовой скоростью волны. Остановим это движение, положив, например, t = 0. Тогда можно будет воспроизвести профиль, как бы застывший в пространстве, вычертив его посредством следующей простой операции: достаточно будет взять диск радиусом

, (20)

Катящийся без скольжения по горизонтальной прямой, и укрепить на нем (перпендикулярно его плоскости) пишущий штифт, острие которого отстоит от центра диска на расстоянии r_о. На неподвижном вертикальном экране такой штифт вычертит кривую, выражаемую в параметрической форме уравнениями

(21)

.

Как известно, это – уравнение трохоиды, записанные в параметрическом виде. Круг радиуса R называется кругом качения, окружность радиусом r_о – производящей окружностью.

Если r_о очень мало по сравнению с R, то вычерченная трохоида весьма близка по форме к синусоиде с той же длиной волн l и с той же их высотой h = 2 r_о.

Чем больше значение r_о / R, тем явственнее сказывается различие между трохоидальным и синусоидальным профилями, тем острее становятся вершины волн и тем положе их подошвы.

Теория мелкой воды опирается на теорию глубокой воды. Отличие – влияние дна. Поэтому между ними есть разница:

1) форма орбит – эллиптическая, отсюда трахоида имеет тоже несколько иную форму – эллиптическую, более плавную.

2) Уравнения составляются для горизонтальной (А) и вертикальной (В) осей эллипса.

3) А и В уменьшаются с глубиной. У дна В уменьшается до 0. А тоже уменьшается, но всегда будет больше 0. Поэтому у дна наблюдаются колебательные движения.

4) С = ….

Анализ этой формулы позволяет определить, в каком случае принимается та или иная теория. Это зависит от соотношения глубины и длины волны.

- если это отношение меньше 0,1 то тогда с равна корню квадратному из произведения gH. Применяется теория длинных волн, в том числе стоячих и волн приливов, синусоидальная.

- если это отношение больше 10, то с = …..

Применяется теория глубокой воды - трохоидальная теория.

- если это отношение больше 0,1 но меньше 10, то используется теория мелкой воды – эллиптическая трохоидальная теорияю

Дата добавления: 2015-08-29