Пусть и такие же, как и в критерии Пирсона. По независимой выборке найдена эмпирическая функция распределения .

Критерий Колмогорова.

Пусть и такие же, как и в критерии Пирсона. По независимой выборке найдена эмпирическая функция распределения .

Рассмотрим случайную величину

(2).

Теорема 1. Если непрерывна, то распределение величины не зависит от , то есть инвариантно относительно .

Доказательство. Докажем, что распределение величины для такое же, как и для равномерного распределения. Пусть независимые случайные величины с функцией распределения .

Пусть , , , , причем и могут быть бесконечны.

Рассмотрим множество всех тех значений таких, что . Тогда существует единственное значение такое, что . Это значение есть значение обратной функции . Введем случайные величины , где k = 0, 1, 2,..., n.

Случайные величины независимы, так как - независимы. События и равновероятны. Поэтому .

Это значит, что имеют равномерное распределение в промежутке (0;1). Из равновероятности этих двух событий следует равенство эмпирических функций распределения на множестве B.

Тогда с вероятностью 1 равны верхние грани .

Поэтому имеет такое же распределение для как и для функции равной , то есть для функции равномерного распределения. Теорема доказана.

Замечание. Теорема позволяет протабулировать один раз для равномерного распределения, и использовать это для любой непрерывной функции распределения .

Теорема 2 (Колмогорова). Для любой непрерывной функции (3), .

Функцию в правой части равенства (3) с хорошим приближением можно использовать уже при . На основании этой теоремы строится непараметрический критерий Колмогорова.

Если , где - квантиль распределения величины правой части равенства (3), то отвергается при уровне значимости . С той же функцией в правой части равенства (3) связан другой непараметрический критерий Смирнова.

Пусть из двух генеральных совокупностей с функциями распределения и извлечены независимые выборки и и рассмотрим величину

.

Теорема 3 (Смирнова). Если и непрерывны, причем = , то , для любого фиксированного .

Эта теорема позволяет проверить гипотезу о том, что выборки извлечены из одного и того же распределения:

: ,

: .

Такую гипотезу называют гипотезой однородности. Критерии проверки гипотез о виде неизвестного распределения называются критериями согласия. Критерии Пирсона и Колмогорова - это критерии согласия. Критерий Смирнова является критерием однородности.

Дата добавления: 2015-08-29