1. Расчет линейных непрерывных систем управления.

1. РАСЧЕТ ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ.

1.1. Основные понятия .

Процесс – последовательность взаимосвязанных действий или явлений.

Технологический процесс (ТП) – созданная человеком последовательность взаимосвязанных действийцеленаправленного преобразования вещества, энергии и информации для получения требуемого продукта или результата.

ТП состоит из последовательности взаимосвязанных действий, называемых технологическими операциями, которые делятся на рабочие операции (обеспечивающие получение требуемого продукта или результата), вспомогательные операции (обеспечивающие возможность выполнения рабочих операций), операции управления рабочими и вспомогательными операциями (обеспечивающие управление всеми взаимосвязанными операциями ТП).

Для управления ТП могут использоваться системы ручного управления, где все операции управления выполняет человек–оператор; автоматизированные системы управления (АСУ), где часть операций управления выполняет человек–оператор, а другую часть операций управления выполняют автоматические устройства; системы автоматического управления (САУ), где все операции управления могут выполнять автоматические устройства без участия человека.

САУ строятся по трем основным принципам управления.

1) Принцип разомкнутого управления выходной величиной y(t) изменением задающего воздействия g(t) основан на предположении неизменности зависимости y(t)=K·g(t) при K=const. Это самый простой и устойчивый, но и самый неточный принцип управления. Не учитываемые изменения нагрузки и других внешних и внутренних воздействий на ОУ и УУ приводят к недопустимо большим ошибкам регулирования выходной величины.

2) Принцип компенсации возмущающего воздействия f(t) на выходную величину y(t) ОУ или ТП заключается в измерении f(t) и подаче на вход регулятора Р противодействующего сигнала – F(t), компенсирующего влияние f(t) на выходную величину y(t). Этот принцип позволяет повысить точность разомкнутых систем управления, но не может компенсировать все возмущающие воздействия и учесть нелинейности их влияния на выходную величину y(t).

3) Принцип обратной связи (принцип управления по ошибке управления) заключается в непрерывном измерении выходной управляемой величины y(t) ОУ датчиком обратной связи и формировании управляющего воздействия u(t) на ОУ в зависимости от отклонения y(t) от заданного значения g(t), т. е. в функции ошибки управления u(t)=g(t)–y(t), независимо от причин возникновения этой ошибки. Принцип обратной связи используется в САУ, обеспечивающих самую высокую точность. Недостатком САУ с обратной связью является возможность возникновения динамической неустойчивости (автоколебаний), что устраняется применением специальных методов стабилизации САУ.

Любая САУ состоит из объекта управления (ОУ) и устройства управления (УУ).

УУ САУ обычно содержит исполнительное устройство (ИУ), воздействующее на ОУ; усилительное устройство (УУ), обеспечивающее энергопитание ИУ; регулятор (Р), формирующий алгоритм (закон) управления ОУ; датчик обратной связи (ДОС), обеспечивающий автоматическое управление ТП по принципу «обратной связи»; компенсирующее устройство (КУ), обеспечивающее компенсацию влияния возмущающего воздействия на ТП; сумматор сигналов задающего воздействия g(t), обратной связи y_oc(t), компенсирующей связи y_f(t), подающихся на вход регулятора (Р).

Графически системы управления (СУ) представляются функциональной, алгоритмической и конструктивной структурными схемами (или структурами).

Функциональная структура СУ изображается в виде прямоугольников, обозначающих отдельные устройства СУ, выполняющие определенные функции (двигатель, регулятор и т. д.), связи между прямоугольниками и внешней средой обозначаются стрелками, указывающими направление передачи воздействий.

Алгоритмическая структура СУ изображается в виде прямоугольников, обозначающих звенья СУ в которых записаны операторные функции передачи (ОФП) или их обозначения, представленные в спецификации. Алгоритмическая структурная схема является математической моделью СУ.

Конструктивная структура СУ представляется принципиальной электрической, гидравлической или пневматической схемами, составленными соответственно Государственному Стандарту и содержащими все конструктивные элементы СУ и схемы их соединения между собой и с внешней средой. Конструктивные структуры электрических СУ представляются принципиальными электрическими схемами, где все элементы обозначены соответственно ГОСТ, а связи между элементами и внешней средой обозначены линиями, соответствующими электрическим проводам.

1.2. Процессы в звеньях и СУ, соответственно математической модели, представленной алгоритмической структурной схемой, описываются дифференциальными уравнениями. Например, процессы в фильтре низких частот (ФНЧ) описываются дифференциальным уравнением:

R

U₁ C R_H U₂

i_С i_Н

(1.1)

Дифференциальное уравнение фильтра низких частот (ФНЧ) в типовой форме запишется:

(1.2)

При d/dt=p, L{U₂(t)}=U₂(p), L{U₁(t)}=U₁(p) получим операторную функцию передачи (ОФП):

(1.3)

где K=R_H/(R+R_H) – коэффициент передачи, а Т=RCK – постоянная времени ФНЧ.

Временные характеристики звеньев и СУ описываются переходной функцией h(t) и весовой функцией w(t), которые представляют собой реакцию звена или СУ (переходный процесс выходной величины) на входное единичное ступенчатое и единичное импульсное воздействие.

Переходная функция (переходная характеристика) h(t) описывает реакцию звена или СУ на единичное ступенчатое входное воздействие U₁(t)=1[t] при нулевых начальных условиях.

Переходная функция h(t), например, для ФНЧ получается из решения (интегрирования) его дифференциального уравнения (1.2). Полное решение состоит из суммы общего и частного решения в виде U₂(t)=U_2О(t)+U_2Ч(t). Частное решение представляет собой установившийся процесс при t→∞ в виде U_2Ч(t)=K∙1[t]. Общее решение представляет собой свободное (собственное) движение, которое получается из решения уравнения (1.2) при отсутствии внешнего воздействия U₁(t)=0 и ненулевых начальных условиях в виде где С_i – постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий переходного процесса; p_i – корни характеристического уравнения Тр+1=0, имеющего один корень р₁= –1/Т. Свободная составляющая , а переходный процесс При t=0 и U₂(t)=0 получается С₁=–K∙1[t]. Переходная функция ФНЧ будет:

(1.4)

Расчет переходной функции h(t) для форсирующего звена, имеющего ОФП в виде:

(1.5)

где K=R₂ /(R₂+R₁) – коэффициент передачи звена; T=C₁R₁ – постоянная времени дифференцирования звена. Из (1.5) дифференциальное уравнение форсирующего звена запишется в виде:

(1.6)

Переходная функция h(t)=U₂(t) определяется из решения неоднородного дифференциального уравнения (1.6) при подаче на вход единичного ступенчатого воздействия U ₁ (t)= 1[ t ] при нулевых начальных условиях. Полное решение уравнения (1.6) представляется суммой общего и частного решений U₂(t)=U_2О(t)+U_2Ч(t). Частное решение получается из (1.6) при t→∞ в виде U_2Ч(t)=K ∙1[ t ]. Общее решение получается из решения однородного дифференциального уравнения, полученного из (1.6) при равенстве нулю его правой части КTрU₂(p)+U₂(p)= 0 в виде U_2O(t)=Ce^pt=Ce ^–t/KT, где р=–1/KT – корень характеристического уравнения KTp+1 =0. Постоянная интегрирования С определяется из уравнения (1.6) при подстановке в него полного решения U₂(t)=U_2O(t)+U_2Ч(t)= при нулевых начальных условиях – при t =0 : откуда, после деления на KT, получим Дифференцирование произведения двух функций С и e^–t/KT и входного воздействия 1[ t ] дает выражение: , из которого при t= 0 получим его интегрирование определяет значение постоянной интегрирования

Сумма общего и частного решений уравнения (1.6) определяет переходную функцию h(t):

(1.7)

Весовая функция (функция веса, импульсная переходная характеристика) w(t) представляет реакцию звена или СУ (переходный процесс выходной величины) на входное единичное импульсное воздействие δ(t), называемое дельта-функцией или функцией Дирака. Дельта-функция представляется первой производной от единичной ступенчатой функции , которая равна нулю в любой момент времени t, кроме t= 0, где её величина стремится к бесконечности при площади импульса равной единице Функция веса является первой производной от переходной функции звена или СУ. Например, для ФНЧ с ОФП (1.3) переходная функция h(t) и функция веса w(t) вычисляются по (1.4) и (1.8) и имеют вид (рис. 1.3).

(1.8)

Рис. 1.3. Вид переходной функции h(t) и весовой функции w(t) фильтра низких частот.

1.3. Частотные характеристики звена или СУ представляют собой зависимости от частоты ω показателей установившегося процесса выходной величины при синусоидальном входном воздействии с единичным значением амплитуды при изменении частоты ω от 0 до ∞. В линейных звеньях и СУ выходная величина в установившихся режимах также изменятся по синусоидальному закону где отношение амплитуд на выходе и входе – есть модуль коэффициента передачи, а – угол фазового сдвига выходной синусоиды относительно входной синусоиды.

Основной частотной характеристикой звена или САУ является амплитудно-фазовая характеристика (АФХ), ( или комплексный коэффициент передачи, или частотная передаточная функция) W (jω), которая получается из ОФП при замене и изменении частоты ω от 0 до ∞ при А₁=1=const с построением АФХ на комплексной плоскости

(1.9)

Рис. 1.4. Вид АФХ, АЧХ и ФЧХ фильтра низких частот.

где U(ω) и jV(ω) – вещественная и мнимая составляющие вектора W(jω), представляющие собой вещественную и мнимую частотные характеристики; – амплитудная частотная характеристика (АЧХ); – фазовая частотная характеристика (ФЧХ). Например, для ФНЧ с ОФП (1.3) АФХ, АЧХ и ФЧХ описываются уравнениями

(1.10)

(1.11)

, (1.12)

и имеют вид, представленный на рис. 1.4.

В расчетах САУ также широко используются логарифмические амплитудно-частотные характеристики (ЛАЧХ) и логарифмические фазо-частотные характеристики (ЛФЧХ).

Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАЧХ) звена или САУ представляет собой зависимость модуля коэффициента передачи A(ω) в децибелах (дб) от частоты ω входного сигнала в 1/c. ЛАЧХ строится в прямоугольной системе координат (рис. 1.5), где по оси ординат в линейном масштабе указывается коэффициент передачи L(ω) в децибелах

(1.13)

а по оси абсцисс указываются в логарифмическом масштабе значения частоты ω в 1/c либо значения десятичного логарифма lg(ω/ω₀) отношения частоты ω к частоте ω₀, принятой за единицу измерения (например, 1/c).При этом по оси абсцисс откладываются равномерные отрезки, образующие декады единиц изменения частоты, на которых частота изменяется в 10 раз (рис. 1.5). Один децибел равен 1/10 бела. Один бел равен десятичному логарифму отношения мощностей сигналов на выходе и входе звена или САУ, либо пропорциональных им отношений квадратов напряжений, токов, моментов, скоростей и других однотипных величин на выходе и входе 1бел=lg(P₂/P₁)=lg(U₂/U₁)². Поэтому в (1.13) множитель 20=10 ∙2, где 10 выражает перевод белов в децибелы, а 2 получается при логарифмировании квадрата отношения выходной и входной величин.

Логарифмическая фазо-частотная характеристика (ЛФЧХ) строится в прямоугольной системе координат, где по оси ординат в линейном масштабе указывается угол фазового сдвига φ(w) в угловых градусах или радианах, а по оси абсцисс в логарифмическом масштабе указывается частота ω в 1/c. Обычно ЛАЧХ и ЛФЧХ строятся в общей прямоугольной системе координат для удобства расчетов САУ.

Например, ЛАЧХ для ФНЧ с ОФП (1.3) с учетом (1.11) и (1.13) запишется:

(1.14)

ЛАЧХ ФНЧ по (1.14) имеет две асимптоты:

а) при ω<1/T величина w²Т² << 1, сумма (1+w²T²)»1 и первая асимптота ЛАЧХ L(ω)_А=20lgK представляется горизонтальной прямой (рис. 1.5);

б) при ω>1/T величина w²Т² >> 1, сумма (1+w²Т²)»w²Т² и вторая асимптота ЛАЧХ L(ω)_Б=20lgK–20lgωT представляет прямую с наклоном минус 20 дб /дек к оси абсцисс (рис. 1.5).

Эти асимптоты пересекаются при частоте сопряжения ω_С=1/T, при которой асимптотическая ЛАЧХ имеет максимальное превышение над точной ЛАЧХ по (1.14) на очень малую величину которой можно пренебречь и считать, что ЛАЧХ (рис. 1.5) состоит из горизонтальной и наклонной асимптот.

ЛФЧХ φ(ω) для ФНЧ с ОФП (1.3) описывается тем же уравнением (1.13), что и для ФЧХ, но ЛФЧХ строится в логарифмической шкале частот совместно с ЛАЧХ (рис. 1.5).

90⁰ дб ω_c= 1/T

30

0,01 0,1 1 10 100 1000 1/c

- 2 ­ -1 0 1 2 3 lg ω/ω₀

Рис. 1.5. Вид ЛАЧХ и ЛФЧХ для фильтра низких частот (ФНЧ).

1.4. Регуляторы на операционных усилителях (рис. 1.6): - пропорц. регулятор (П-Р); - интегральный регулятор (И-Р); - пропорц.–интегр. рег. (ПИ-Р); - пропорц.–дифференц. регулятор (ПД-Р);

- пропорциально-интегрально-дифференциальный регулятор (ПИД-Р).

Рис. 1.6. Схемы регуляторов на операционных усилителях.

1.5. Передаточные функции замкнутых САУ, имеющих одну выходную управляемую величину y(t), одно задающее воздействие g(t) и несколько возмущающих воздействий f_i(t), для каждого входного воздействия составляются отдельно без учета других входных воздействий. Для каждой ОФП исследуется устойчивость и качество процессов управления при типовых входных воздействиях, а при необходимости учета одновременного влияния нескольких входных воздействий переходный процесс в САУ определяется суммой переходных процессов от каждого воздействия по принципу суперпозиции процессов в линейных САУ. Для получения передаточных функций замкнутой САУ составляется алгоритмическая структурная схема с выделенными каналами влияния возмущающих воздействий f_i(t) на выходную управляемую величину y(t) (рис. 1.7). Где: g(t), f(t), y(t) – задающая величина, возмущающие и управляемая величины; G(p), F(p), Y(p) – их изображения по Лапласу; W(p) и H(p) – ОФП каналов влияния задающего и возмущающих воздействий на управляемую величину; W_OC(p), y_OC(t), Y_OC(p) – ОФП цепи обратной связи, сигнал обратной связи и его изображение по Лапласу; е(t)=g(t)–x_OC(t), Е(р) – текущее значение сигнала ошибки управления и его изображение.

… … … …

Рис. 1.7. Структура САУ с выделенными каналами возмущающих воздействий.

В задачах анализа и синтеза САУ обычно используются три передаточных функции замкнутой САУ с выделенными каналами влияния возмущений f(t) на выходную величину y(t).

1) Передаточная функция замкнутой САУ по задающему воздействию g(t) (при отсутствии возмущающих воздействий f(t)=0):

(1.15)

2) Передаточная функция замкнутой САУ по ошибке e(t) (при отсутствии возмущающих воздействий f(t)=0):

(1.16)

3) Передаточная функция замкнутой САУ по возмущающему воздействию f₁(t) (при отсутствии задающего воздействия g(t)=0 и других возмущающих воздействий):

(1.17)

Все три передаточные функции замкнутой САУ имеют одинаковые характеристические уравнения, что указывает на идентичность динамических свойств по любому каналу управления.

1.6. Если объектом управления в САУ является электродвигатель постоянного тока с возбуждением от постоянных магнитов и соединенная с его валом рабочая машина, то процессы в двигателе представляются структурной алгоритмической схемой линейной математической модели объекта управления (рис. 1.8). На схеме обозначено: U_Я – управляющее напряжение на якоре; Е=С_ЕΩ – противо-ЭДС вращения; R_Я=0,5 Ома и Т_Я=L_Я/R_Я=0,02 с – сопротивление и электромагнитная постоянная времени цепи якоря (где L_Я=10 мГн – индуктивность обмотки якоря); I_Я – ток якоря; С_М=М_Н/I_ЯН и С_Е=Е_Н/Ω_Н – конструктивные коэффициенты двигателя по моменту и по ЭДС; М и М_С, J, Ω – момент двигателя и момент сопротивления движению, момент инерции и угловая скорость двигателя.

Например, для двигателя мощностью Р_Н = 1200 Вт при скорости n_H=955 об/мин угловая скорость Ω_Н=π·n_Н/30=100 рад/c; номинальный момент М_Н = Р_Н/Ω_Н = 1200/100=12 Нм; при напряжении U_Н = 220 В и КПД η_Н = 0,79 номин. ток I_ЯН=Р_Н/U_Н·η_Н = 1200/220·0,79=6,9 A; противо-ЭДС Е_Н=U_Н–I_ЯН·R_Я= 220–6,9·0,5= 216,5 В; C_E=E_H/Ω_H=216,5/100=2,165 Вс; С_М=M_H/I_ЯН=12/6,9=1,74 Hм/A. Уравнение движения электропривода М(р)–М_С(р)=JpΩ(p) определяет ускорение движущихся масс двигателя и рабочего механизма J=J_ДВ+J_МЕХ (обычно принимается J ≈2J_ДВ).

Рис. 1.8. Алгоритмическая структурная схема математической модели двигателя.

ОФП двигателя по замкнутой структурной схеме (рис. 1.8) можно представить в виде:

(1.18)

где – электромеханическая постоянная времени двигателя, а Т ₁ и Т ₂ – постоянные времени эквивалентных инерционных звеньев. Такая замена удобна при расчетах САУ с использованием частотных характ6еристик. Значения Т ₁ и Т ₂ определяются из равенства знаменателей в (1.18) при Т_МТ_Я=Т₁Т₂ и Т_М=Т₁+Т₂. Подставив из второго уравнения в первое, получим квадратичное уравнение . Его решение дает:

При Т_М<4Т_Я подкоренное выражение имеет мнимое значение, тогда двигатель представляют двумя инерционными звеньями с

1.7. Структурная схема замкнутой САУ с ПИ-Р, усилителем, двигателем и датчиком ОС будет:

K_ОУ

(1+ рТ₁)(1+pT₂)

K_У

1+ рТ_У

K_P(1+pT_И)

рТ_И

g(t)=1[t] Ω(p)=Y(p)

G(p)=1/p

Рис.1.9.

ОФП замкнутой САУ (рис. 1.9) с учетом численных значений запишется в виде:

(1.19)

Знаменатель ОФП представляет собой характеристическое уравнение замкнутой САУ.

1.8. Расчет устойчивости замкнутой САУ.

1.8.1. Расчет по критерию устойчивости Гурвица. Замкнутая САУ устойчива, если определитель Гурвица, полученный из коэффициентов её характеристического уравнения, имеет положительное значение. Из ОФП САУ (1.19) характеристическое уравнение имеет вид:

(1.20)

Определитель Гурвица для характеристического уравнения (1.20) имеет значение:

(1.21)

следовательно, замкнутая САУ устойчива. На границе устойчивости при Δ _Г=а _1∙ а ₂ –а ₀ ∙а_3КР=0 свободный член а_3КР=а ₁ ∙а ₂ /а ₀ =0,01∙0,1/0,0002=5. Запас устойчивости Δ а₃=а_3КР – а₃=5–2=3 характеризует запас возможного увеличения коэффициента усиления САУ при сохранении устойчивости САУ, поскольку свободный член а₃=К_РК_УК_ОУК_ОС=2∙20∙0,5∙0,1=2.

1.8.2. Расчет по критерию устойчивости Михайлова. Есть три формулировки устойчивости:

1) замкнутая САУ n -го порядка устойчива, если характеристический вектор D(jω)=D(ω)e^jω(φ) кривой Михайлова, полученной из характеристического уравнения (1.20) замкнутой САУ при р=jω и изменении ω от 0 до ∞, повернется на комплексной плоскости на угол φ(ω)=nπ/2;

2) замкнутая САУ n- го порядка устойчива, если кривая Михайлова D(jω)=X(ω)+jY(ω) из (1.20) начинается на положительной вещественной полуоси комплексной плоскости при ω=0 и обходит последовательно против часовой стрелки все n квадрантов, уходя в бесконечность в последнем n -ом квадранте при ω→∞;

3) для устойчивости замкнутой САУ n- го порядка в кривой Михайлова из (1.20) на комплексной плоскости при изменении частоты ω от 0 до ∞ должны n раз последовательно чередоваться (перемежаться) нули мнимой Y(ω)=0 и вещественной X(ω)=0 частей характеристического вектора D(jω)=X(ω)+jY(ω).

Уравнение кривой Михайлова из (1.20) при запишется:

(1.22)

Для САУ третьего порядка из третьей формулировки критерия устойчивости Михайлова: получим первый нуль Y(ω₁)=0 при ω₁=0 и X(ω₁)=2; второй нуль из получим при 1/с и ; третий нуль получим при 1/c и

Замкнутая САУ третьего порядка устойчива, поскольку выполняются любые из трех формулировок устойчивости по критерию Михайлова. Критический запас устойчивости по возможному увеличению свободного коэффициента в характеристическом уравнении составляет ∆ а₃ ≈3.

Рис. 1.10. Кривая Михайлова на комплексной плоскости.

1.8.3. Расчет по критерию устойчивости Найквиста. Замкнутая САУ устойчива, если АФХ её разомкнутой цепи не охватывает точку (- 1, j0) на комплексной плоскости, при этом для астатических САУ с порядком астатизма v при ω=0 АФХ должна дополняться дугой бесконечно большого радиуса, начинающейся на положительной вещественной полуоси и проходящей по часовой стрелке через v квадрантов (рис. 1,11).

Вид АФХ разомкнутой цепи статических САУ (c порядом астатизма ν= 0) и астатических САУ (с порядом астатизма ν= 1,2,3), устойчивых в замкнутом состоянии, показан на рис. 1.11.

САУ находится на границе устойчивости, если её АФХ проходит через точку (–1, j0).

На рис. 1.11, а цифрой 1 обозначена АФХ абсолютно устойчивой замкнутой САУ, которая не охватывает точку (–1, j0) при любом уменьшении коэффициента передачи А (ω_ср),а цифрой 2 обозначена АФХ условно устойчивой замкнутой САУ, не охватывающая точку (–1, j0) при определенных условиях увеличения или уменьшения А(ω_ср). Запас устойчивости по увеличению коэффициента передачи на частоте ω_ср определяется величиной ∆ A (ω_cр), а по уменьшению – величиной ∆ А ₁(ω_ср).

Запас устойчивости по допустимому увеличению запаздывания по фазе ∆φ(ω_φ) выходного сигнала определяется углом, на который может дополнительно повернуться единичный вектор А(ω_φ)=1 АФХ А(ω_φ)е^jφ(ω) до попадания в точку (– 1, j0), что соответствует выходу замкнутой САУ на границу устойчивости. Исходное положение этого единичного вектора определяется точкой пересечения АФХ с единичной окружностью при частоте ω_φ, показанной пунктирной линией на рис. 1.11, а.

Пример. Исследуем устойчивость замкнутой САУ по критерию Найквиста, если ее разомкнутая цепь описывается ОФП W (p) =K/p (1 +pT ₁)(1 +pT ₂). (1.24)

Из (1.24) при p=j ω получается АФХ разомкнутой цепи САУ в виде:

(1.25)

Рис. 1.11. АФХ разомкнутых САУ, устойчивых в замкнутом состоянии.

Для устойчивости замкнутой САУ АФХ ее разомкнутой цепи, построенная по (1.25) при изменении частоты ω от 0 до ∞ и дополненная в четвертом квадранте дугой бесконечно большого радиуса при ω = 0, не должна охватывать точку (– 1, j0). По (1.24) характеристическое уравнение разомкнутой цепи САУ имеет один нулевой корень р ₁ = 0 и ее АФХ соответствует замкнутой САУ с астатизмом первого порядка ν= 1 (рис. 1.11 б). При ω=0 АФХ начинается при U (0) = –K (T ₁ +T ₂) и V (0) = – ∞, а с увеличением частоты до ∞ значения U (ω) и V (ω) уменьшаются до нуля. САУ будет устойчива, если АФХ пересекает вещественную ось правее точки (– 1) при частоте ω_ср, где V (ω_ср) = 0, а [– U (ω_ср)] < [ – 1].

1.8.4. Расчет по логарифмическому критерию устойчивости: замкнутая САУ устойчива, если при частоте среза ЛАЧХ её разомкнутой цепи , а фазовое запаздывание выходного сигнала не достигает –180⁰.

На рис. 1.12 приведены ЛАЧХ и ЛФЧХ (сплошная кривая) разомкнутой абсолютно устойчивой САУ и показаны запасы её устойчивости по фазе запаздывания ∆ φ(ω_ср) и допустимому увеличению модуля коэффициента усиления ∆ L(ω_k). Для условно устойчивой САУ с ЛФЧХ (точечная кривая), которая может пересекать линию j(w)= –180° чётное число раз в области частот w<w_ср показан запас устойчивости по уменьшению модуля коэффициента усиления ∆ L(ω_k1) до нуля, т.е. до границы устойчивости при A(ω_k)=1 по АФХ разомкнутой САУ.

Рис. 1.12. ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой САУ.

В схеме (рис. 1.9) ОФП разомкнутой САУ имеет интегрирующее и два инерционных звена:

(1.26)

Рис. 1.13. Построение ЛАЧХ разомкнутой цепи САУ.

По (1.26) ЛАЧХ разомкнутой САУ определяется геометрической суммой ЛАЧХ трех типовых звеньев: интегрирующего и двух апериодических (инерционных) звеньев (рис. 1.12).

Частота среза ЛАЧХ разомкнутой САУ равна ω_СР=18 1/c из условия равенства нулю модуля ЛАЧХ при частоте среза 20 lgA(ω)=20lg . При этом фазовое запаздывание будет:

Следовательно, замкнутая САУ обладает динамической устойчивостью и имеет запас устойчивости по фазе

1.9. Качество САУ. Определяется точностью отработки выходной величиной y(t) задающего воздействия g(t) в установившихся и переходных режимах работы.

В установившихся режимах точность САУ определяется абсолютной величиной установившейся ошибки Δ y(t)=g(t)–K_ocy(t), вычисленной по теореме о конечном значении функции ошибки при отработке типовых входных воздействий А·1(t),А/p; Vt,V/p²; at²/2, a/p³. Например, для САУ (рис. 1.9) с учетом (1.20) при g(t)=A·1(t) получим величину установившейся ошибки:

В САУ (рис. 1.9) установившаяся ошибка равна нулю, следовательно, САУ имеет астатизм первого порядка, поскольку имеет один интегратор в разомкнутой структуре.

При g(t)=Vt, G(p)=V/p² из (1.25) получим

При из (1.25) получим

Поскольку абсолютная ошибка зависит от величины входного воздействия А, V, a, то безразмерная оценка точности выражается добротностью по положению K _Δ =Δ y_A/A=0/A, добротностью по скорости K_V = Δ y_V/V = 0,05V/V=0,05, добротностью по ускорению K_a =Δ y_a/a = ∞/a.

Установившаяся ошибка при отработке произвольно заданного во времени входного воздействия типа , содержащего постоянную составляющую и производные по времени, определяется с использованием метода коэффициентов ошибки [1].

Коэффициенты ошибки получаются из разложения ОФП по ошибке в степенной ряд Тейлора наиболее простым способом – делением обращенного числителя на обращенный знаменатель. Так, в САУ (рис. 1.9) по (1.25) ОФП по ошибке согласно (1.17) при разложении в степенной ряд Тейлора получится в виде суммы коэффициентов ошибки, умноженных на производные:

где коэффициенты ошибки, определяемые делением обращенного числителя на обращенный знаменатель функции ошибки. Добавим в числитель слагаемое :

+ 0,1 p + 0,005 p +

+

Ограничив разложение ошибки в степенной ряд четырьмя членами, получим уравнение: где учтены постоянная составляющая входного воздействия и три её первых производных.

Качество переходного процесса в линеаризованной САУ при отработке единичного ступенчатого воздействия характеризуется двумя основными прямыми оценками ­– временем переходного процесса t_ПП и величиной перерегулирования , которые можно приблизительно определить по ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой САУ. По частоте среза ω_СР ЛАЧХ: t_ПП =(1÷2)2π/ ω_CP и запасу устойчивости по фазе по ЛФЧХ : Если частота среза в САУ (рис. 1.12) ω_СР =18 1/c, а запас по фазе , то время переходного процесса будет примерно t_ПП =(1÷2)2π/ ω_СР =3π/18=0,52 c, а перерегулирование будет иметь значение примерно

По теоремам о начальном и конечном значениях функции при единичном ступенчатом входном сигнале можно проверять правильность их составления, зная, что начальное значение функции равно нулю, а конечное – единице.

---

Дата добавления: 2015-08-29