(Воспользовались тем, что разность дробей в каждой скобке положительна.)

Районный этап

7 класс

(3 часа)

Задача 1: Доказать, что

Решение:

(Воспользовались тем, что разность дробей в каждой скобке положительна.)

Задача 2: Точка B лежит на отрезке AC; AB = 2, BC = 1.

Указать на прямой AB все точки M, для которых AM + MB = CM.

Решение: Пусть точки A,B,C имеют координаты 0, 2 и 3 соответственно. Пусть координата точки M равна x.

Так как , , , то приходим к уравнению , решая которое получаем два ответа: x = 1 и x = – 1.

Задача 3: В классе 30 человек. Только двое из них не любят ни математику, ни физику, ни биологию. 14 учеников любят математику, 15 – физику, 11 – биологию, 6 – физику и математику, 5 –физику и биологию и 3 – математику и биологию.

Сколько учащихся любят сразу 3 указанных предмета?

Решение:

Пусть количество учащихся, которые любят все три предмета, равно x. На математической модели задачи – кругах Эйлера – получаем следующую«картину" (см. рис.1.).

Теперь очевидно, что количество любителей только математики равно 14 – (3 – x + x + 6 – x) = 5 + x, только физики – (15 – (5 – x + x + 6 – x)) = 4 + x, только биологии – (11 – (3 – x + x + 5 – x)) = 3 + x. Получаем уравнение 5 + x + 4 + x + 3 + x + x + 3 – x + 5 – x + 6 – x = 28, откуда x = 2.

Задача 4: У продавца имеется 10 гирь весом 1, 2, 3, …10 кг. Известно, что все покупатели, стоящие в очереди к продавцу, купили разное целое число килограммов товара. Какое максимальное число покупателей могло стоять в очереди?

Решение:

Составим следующую таблицу:

Из таблицы видно, что максимально возможное число килограммов у покупателя может быть 55. Покажем, что число покупателей не меньше 55.

Действительно, пусть x – целое число килограммов товара и такое, что 1 ≤ x ≤ 55. Тогда x заключено между двумя последовательными числами нижней строки таблицы. Эти числа выражаются как сумма килограммов всех гирь, отмеченных в колонках, соответствующих этим числам. Но от одного числа к другому можно перейти, вычитая последовательно из большего числа 1, 2 и т.д., т.е. все числа, записанные в виде элементов суммы в верхней строке колонки, соответствующей большeму числу.

Например, если 45 ≤ x ≤ 55, то в верхней строке для 55 стоит сумма 1 + 2 + 3 + … + 10. Вычитая из 55 единицу, двойку и т.д., получаем, соответственно, 54,53, … 45. Таким образом, любое число x, такое, что 1 ≤ x ≤ 55, может быть представлено в виде набора чисел от 1 до 10, взятых по одному разу. Следовательно, 55 человек могло стоять в очереди у продавца.

Ответ. 55 челове

-----------------------------------------------------

1. На загородную прогулку поехали 170 человек. Каждый человек взял с собою еду. Бутерброды с ветчиной взяли 85 человек, бутерброды с сыром – 71. 36 человек вместо бутербродов взяли с собой пирожки. Сколько человек взяли бутерброды одного вида: либо только с ветчиной, либо только с сыром?

Решение. Бутерброды взяли с собою 170-36=134 человека. Значит, бутерброды двух видов взяли 85+71-134=22 человека.

Первый способ. Поэтому бутерброды только одного вида взяли 134-22=112 человек.

Второй способ. Бутерброды только с ветчиной взяли 85-22=63 человека.

Бутерброды только с сыром взяли 71-22=49 человека. Тогда всего 63+49=112 человек.

Ответ: 112 человек.

Комментарий: Только ответ без обоснования – 1 балл.

2. В числовом ребусе СТО+СТО=ПЯТЬ одинаковыми буквами заменены одинаковые цифры, а разными – разные. Найдите самое большое значение числа «ПЯТЬ».

Решение. Чтобы «ПЯТЬ» было самым большим, число «СТО» должно быть тоже самым большим. Число тем больше, чем большая цифра стоит в самом старшем разряде. Тогда рассмотрим случай, когда С=9. 9+9=18, поэтому Я может быть 8 или 9, но цифра 9 уже зашифрована буквой С. Поэтому Я=8. Тогда Т+Т=Т или Т+Т+1=Т. Отсюда Т=0. Осталось О+О=Ь. Так как перехода в другой разряд нет, то самое большое значение О=4, но тогда Ь=8, а 8=Я – противоречие. Рассмотрим следующее значение О=3, тогда Ь=6 и всё сходится.

Ответ: ПЯТЬ=1806= 903+903.

Комментарий: Только ответ без обоснования – 1 балл.

3. На столе лежит куча из 1001камня. Из нее выкидывают камень и кучу делят на две. Затем из какой-либо кучи, содержащей более одного камня, снова выкидывают камень, и снова одну кучу делят на две. И так далее. Можно ли через несколько ходов оставить на столе только кучи, состоящие из трех камней?

Решение. Пусть за к ходов мы разбили кучу на (к +1) кучку по 3 камня. Тогда отброшено к камней и всего камней к +3(к +1)=4 к +3=1001. Получаем 998=4к. Противоречие.

Ответ: Нельзя.

Комментарий: Только ответ без обоснования – 0 баллов.

4. Сколькими способами можно разрезать фигуру из белых клеток (см. рис.) на домино размером 2×1?

Решение. Каждый угловой квадрат можно заполнить 2 способами. Тогда перемычки можно будет заполнить только одним способом. Всего квадратов 4, поэтому перемножаем 2×2×2×2=16.

Ответ: 16

Комментарий: Только ответ без обоснования – 1 балл.

Если показано, что способов заполнения углового квадрата ровно 2 – 3 балла.

Если показано, что способов заполнения перемычки ровно 1 – 2 балла.

5. На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, лжецы, которые всегда лгут, и хитрецы, которые могут говорить что угодно. Из трёх жителей острова А, В и С один является правдолюбцем, другой — лжецом, а третий — хитрецом. Они произнесли следующие утверждения — А: «С хитрец»; В: «Это правда»; С: «В не рыцарь». Кем в действительности является С?

Решение. Пусть А – рыцарь, тогда С – хитрец, тогда, так как все должны быть представлены В – лжец. Но он говорит правду – противоречие.

Пусть А – лжец. Тогда С не хитрец и не лжец, значит, он рыцарь. Тогда В – хитрец и он лжёт. С говорит правду. Получаем возможный набор.

Пусть А - хитрец, который сказал правду. Тогда С – хитрец, а двух хитрецов быть не может. Противоречие.

Пусть А – хитрец, который солгал. Тогда В – лжёт тоже и он не хитрец. Значит, В – лжец. Тогда С говорит правду и он – рыцарь. Получаем возможный набор.

В обоих возможных случаях С – рыцарь.

Ответ: С – рыцарь.

Комментарии: Если разобран только один возможный случай для С (или для другого островитянина), то 2 балла.

Если разобраны оба возможных случая для С (или для другого островитянина), но разобраны не все комбинации, то 4 балла.

Дата добавления: 2015-08-28