III Кубок Первоуральска по математике. 26 марта – 29 марта 2013 года

III Кубок Первоуральска по математике. 26 марта – 29 марта 2013 года

Игра «Пенальти». 6-7 класс. Решения. 27.03.2013.

1. Вася сбегает по эскалатору, едущему вниз, не пропуская ни одной ступеньки. Скорость Васи вдвое больше скорости эскалатора. Пока Вася ехал, он пробежал 80 ступеней. Сколько ступеней он пробежит, если будет сбегать по неподвижному эскалатору? (120. Пока Вася бежал, эскалатор спустился на 80:2=40 ступеней. Значит, его длина равна 80+40=120 ступеням. Их Вася и пробежит, сбегая по неподвижному эскалатору.)

2. Бумага расчерчена на клеточки со стороной 1. Ваня вырезал из неё по клеточкам прямоугольник и нашёл его площадь и периметр. Таня отобрала у него ножницы и со словами «Смотри, фокус!» вырезала с краю прямоугольника по клеточкам квадратик, выкинула квадратик и объявила: «Теперь у оставшейся фигуры периметр такой же, какая была площадь прямоугольника, а площадь — как был периметр!» Ваня убедился, что Таня права. Приведите пример такого прямоугольника и такого квадрата. (3´10 или 4´6 без квадратика 2´2 – см. рис.)

3. Год проведения нынешнего Кубка делится на его номер: 2013:3=671. Сколько ещё будет Кубков (если он и дальше будет проводиться ежегодно), для номеров которых это свойство тоже будет выполнено? (13. Пусть N - номер Кубка. Тогда год его проведения равен (2013−3)+ N =2010+ N. Пусть год проведения делится на номер, т.е. 2010+ N делится на N. Значит, 2010 делится на N. Количество натуральных делителей числа 2010 равно τ(2010)= τ(2×3×5×67)=2⁴=16, т.к. каждый из простых множителей (2, 3, 5, 67) либо входит, либо не входит в разложение на простые множители числа 2010. Но Кубки под номерами 1, 2 и 3 (нынешний) нами не должны учитываться. Значит, ещё будет 16-3=13 подобных Кубков.)

4. Все четырёхзначные числа, цифры которых различны и стоят в порядке возрастания, выписали друг за другом - снова в порядке возрастания. Какое число стоит на 16-м месте? (Числа в нашем списке идут группами 1234-1239, 1245-1249, 1256-1259 и т.д. В первой группе 6 чисел, во второй - 5, в третьей – 4, значит, нам нужно 16-6-5-4=1-е число четвёртой группы, т.е. 1267.)

5. Отметьте на прямой пять различных точек таким образом, чтобы для любых двух из них нашлась такая третья (тоже отмеченная), что одна из этих трёх точек является серединой отрезка между двумя другими. (Отметим на числовой прямой точки с координатами 0, 2, 3, 4, 6. Перебором легко проверяется выполнение требуемого условия.)

6. Дано равенство М∙А∙Ш∙А=О∙Т∙Л∙И∙Ч∙Н∙И∙Ц∙А. Маша смогла заменить каждую букву на свою цифру так, что равенство стало верным. Какая цифра соответствует букве А? (Разные буквы - разные цифры, одинаковые буквы – одинаковые числа). (0. В равенстве использовано 10 различных букв, поэтому одна из них соответствует цифре 0. Тогда одно из произведений равно нулю, поэтому и другое произведение равно нулю, то есть цифра ноль должна быть в обеих частях равенства. А – единственная буква, которая есть в обеих частях равенства.)

7. Во сколько раз увеличилось положительное число, если оно увеличилось на 400%? (в пять раз)

8. Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живёт в 10-м подъезде в квартире № 333, а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, что дом девятиэтажный. На какой этаж ему следует подняться? (На каждом этаже число квартир одинаково, номера квартир в доме начинаются с единицы.) (На 3-й этаж. Если на этаже не более трёх квартир, то в десяти подъездах их не более, чем 10×9×3=270, то есть в 10-м подъезде квартиры № 333 не будет. Если на этаже не менее пяти квартир, то уже в девяти подъездах будет не менее, чем 9×9×5=405 квартир, то есть искомая квартира будет не в десятом подъезде. Значит, квартир на этаже 4, в первых девяти подъездах 9×9×4=324 квартиры. Тогда в десятом подъезде квартиры начинаются с 325-й. На втором этаже они начнутся с 329-й, на третьем - с 333-й. Таким образом, Пете нужно подняться на третий этаж.)

9. Бочку можно наполнить, если в неё налить 6 маленьких, 3 средних и 1 большое ведро воды, или же 2 маленьких, 1 среднее и 3 больших ведра воды. А сколько только больших вёдер потребуется для наполнения бочки? (4 ведра. Из условий задачи следует, что вместимость двух больших ведер равна общей вместимости 4 маленьких и двух средних ведер. Следовательно, вместимость одного большого ведра равна вместимости 2 маленьких и одного среднего ведра. Тогда их можно заменить (во втором способе наполнения) 1 большим ведром, и в бочку, таким образом, вмещается 4 больших ведра воды.)

10. На ста карточках написаны различные целые числа от 1 до 100 (по одному числу на каждой карточке). Какое минимальное число карточек нужно взять не глядя, чтобы среди них обязательно нашлись три карточки, сумма чисел на которых кратна трём? (5. Среди любых пяти целых чисел есть либо три числа с одинаковыми остатками при делении на 3, и их сумма делится на 3, либо три числа с тремя различными остатками - их сумма тоже делится на 3. Если взять не более четырёх карточек, три искомых могут и не найтись, например, если два числа делятся на 3, а два других по модулю 3 имеют одинаковые ненулевые остатки (1 или 2).)

11. Карлсон съедает 40 кг конфет за 8 дней, а вместе с Малышом – за 5 дней. За сколько дней Малыш съест 30 кг конфет? (10 дней. За один день Карлсон съедает 40:8=5 кг конфет, за 5 дней – 25 кг. Значит, Малыш за 5 дней съедает 40–25=15 кг конфет, а за день – 15:5=3 кг. Поэтому 30 кг конфет Малыш съест за 30:3=10 дней.)

12. Треугольник периметра 1 разделен на треугольники так, как показано на рисунке. Оказалось, что периметры всех девяти маленьких треугольников равны. Найдите, чему равны эти периметры. (1/3. Раскрасим треугольники в шахматном порядке (см.рис.), тогда суммарный периметр трёх чёрных треугольников 3Р на 1 (периметр большого треугольника) меньше суммарного периметра 6Р шести белых треугольников. Из полученного уравнения найдём, что Р=1/3.)

13. На дороге длиной 40 км стоят несколько (больше одного) пеньков. Первый турист идёт пешком со скоростью 5 км/ч, и на каждом пеньке отдыхает одинаковое целое число часов. Второй турист едет на велосипеде со скоростью 8 км/ч и отдыхает на каждом пеньке в два раза дольше, нежели первый турист. Вышли и пришли туристы одновременно. Сколько могло быть пеньков? (3. Если бы туристы нигде не останавливались, то один прошёл бы всю дорогу за 8 часов, а другой за 5. Принимая во внимание то, что один отдыхал на пеньках в 2 раза больше другого, получаем уравнение 5+2 x =8+ x, где x - продолжительность сидения первого туриста на всех пеньках, откуда получаем, что x =3. Так как пеньков больше 1, а на каждом пеньке туристы сидят целое число часов, то пеньков может быть только 3.)

14. В мешке 100 шаров - чёрных, белых и серых. Количество чёрных шаров больше, чем удвоенное количество белых; утроенное количество белых шаров больше, чем учетверённое количество серых; утроенное количество серых шаров больше количества чёрных. Сколько шаров чёрного цвета в мешке? (55. Пусть серых шаров хотя бы 20, тогда белых хотя бы 27, тогда чёрных хотя бы 55, что противоречит условию на их общее количество. Пусть серых шаров не больше чем 18, тогда чёрных не больше 53, тогда белых не больше 26, и опять противоречие с тем, что всего шаров 100. Значит, серых ровно 19. Тогда чёрных не больше, чем 56, откуда белых не больше 27 (из первого условия), и не меньше, чем 25 (из суммы 100). Если белых 27, то чёрных 54, что не подходит в условие, если 25, то количества серых и белых шаров не удовлетворяют нужному соотношению. Таким образом, белых шаров 26, а чёрных 100-26-19=55, что удовлетворяет условиям задачи.)

15. У 15 ребят есть 8 одинаковых яблок. Разрешается резать яблоко на равные части, но не более, чем на 5 частей. Как разделить яблоки между ребятами так, чтобы каждому досталось поровну? (Разные яблоки можно резать на разное число частей.) (Разрежем пять яблок на три равные части каждое, три яблока — на пять равных частей каждое, и дадим каждому из ребят по 1/3+1/5 яблока.)

16. Учительница пересадила Вовочку с первого ряда на второй, Ванечку – со второго ряда на третий, а Машеньку – с третьего ряда на первый. Причём средний возраст учеников, сидящих на первом ряду, увеличился на неделю, сидящих во втором ряду – увеличился на две недели, а сидящих на третьем ряду – уменьшился на четыре недели. Известно, что на первом и втором рядах сидят по 12 человек. Сколько человек сидит на третьем ряду? (9. Общее увеличение суммы возрастов детей, сидящих на первых двух рядах равно 1∙12 + 2∙12 = 36 недель, но, так как сумма возрастов во всём классе осталась прежней, это же увеличение есть уменьшение суммы возрастов сидящих на третьем ряду. Отсюда получаем, что на третьем ряду сидит 36/4=9 человек.)

Дата добавления: 2015-08-28