АГ – 2. ПЗ 31. Вычисление обратной матрицы.

АГ – 2. ПЗ 31. Вычисление обратной матрицы.

Краткое содержание: обратная матрица, ее единственность, обратимые матрицы, невырожденные матрицы, необходимые и достаточные условия обратимости матрицы. Миноры и алгебраические дополнения элементов определителя, присоединенная матрица, свойство ортогональности определителя, формула обратной матрицы.

п.1. Обратная матрица и ее вычисление.

Определение. Квадратную матрицу В – го порядка называют обратной по отношению к квадратной матрице А – го порядка, если справедливо матричное равенство: , где Е – единичная матрица – го порядка.

Теорема. Если матрица обратная к матрице А существует, то она единственная.

Обозначение. Матрицу, обратную по отношению к матрице А обозначают .

Определение. Матрицу А, которая имеет обратную, называют обратимой матрицей.

Определение. Квадратную матрицу называют невырожденной, если ее определитель не равен нулю.

Теорема. Для существования обратной матрицы необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы А был не равен нулю.

Или другими словами:

Для того чтобы матрица была обратимой необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной.

Определение. Минором элемента определителя – го порядка называют определитель – го порядка, который получается из данного определителя вычеркиванием - й строки и – го столбца, на пересечении которых стоит элемент .

Обозначение: .

Пример 1. Пусть дан определитель 3 – го порядка .

Тогда, .

Определение. Алгебраическим дополнением элемента определителя – го порядка называют его минор, взятый со знаком плюс, если – четное число и со знаком минус в противном случае.

Обозначение: .

Пример 2. Вычислим алгебраическое дополнение

элемента определителя из примера 1:

.

Пусть дана квадратная матрица – го порядка. Для каждого ее элемента найдем его алгебраическое дополнение и составим матрицу

,

в которой вместо элемента стоит его алгебраическое дополнение .

Определение. Матрица называется присоединенной по отношению к матрице А.

Транспонируем присоединенную матрицу:

.

Определение. Матрицу называют взаимной или союзной.

Обозначение. Сщюзную матрицу часто обозначают А*. Таким образом, .

Теорема. Определитель равен сумме произведений элементов любой строки (или любого столбца) определителя на их алгебраические дополнения: , ; или .

Замечание. Первое равенство называют разложением определителя по элементам – й строки, второе – разложением определителя по элементам – го столбца.

Это свойство определителя можно записать по другому, если использовать правило умножения матриц:

; .

Теорема. Сумма произведений элементов любой строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения соответсвующих элементов другой строки (столбца) определителя равна нулю: , ; , .

В матричной форме это свойство определителя выглядит

так: ; ,

.

Обе теоремы можно записать в виде одной теоремы.

Теорема (Свойство ортогональности определителя).

;

.

Из последней теоремы сразу же следует матричное равенство: .

Или в развернутом виде:

.

Из последнего матричного равенства сразу же вытекает, что если определитель матрицы не равен нулю, то обратная ей матрица существует и может быть найдена по формуле:

.

Замечание. Свойство ортогональности иногда применяют для вычисления определителей небольшого порядка (третьего или максимум четвертого порядка) или определителей более высокого порядка, но с большим количеством нулевых элементов.

Пример.

.

Комментарии к примеру: сначала мы разложили определитель по элементам первого столбца, затем получившийся определитель 3 – го порядка разложили по элементам 1 – й строки и в конце вычислили определитель 2 – го порядка.

Замечание. Понятно, что при разложении определителя по элементам строки или столбца нужно выбирать строку или с столбец с наибольшим количеством нулей.

ПЗ 31. Вычисление обратной матрицы.

1. Вычислить матрицу, обратную данной с помощью вычисления союзной матрицы:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) ;

ж) ; з) ; и) ;

к) ; л) .

2. Решить матричное уравнение , где

; .

3. Решить матричное уравнение , где Е – единичная матрица:

а) ; б) .

4. Решить матричное уравнение , где

, .

ДЗ 31. Вычисление обратной матрицы.

1. Вычислить матрицу , обратную данной матрице А и выполнить проверку , где Е – единичная матрица:

а) ; б) ; с) .

2. Решить матричное уравнение АХ = В, где:

; .

ЗДПС 31. Обратимые матрицы.

1. Докажите, что если матрица имеет обратную, то она единственная.

2. Докажите, что множество вещественных квадратных матриц 2 – го порядка вида , образует поле, изоморфное полю комплексных чисел.

3. Докажите, что множество обратимых матриц – го порядка образует группу относительно умножения. Эта группу обычно обозначают и называют полной линейной группой над полем К. Будет ли эта группа коммутитивной?

4. Выпишите все обратимые матрицы 2 – го порядка над полем из двух элементов: , т.е. все элементы полной линейной группы .

5. Составьте таблицу умножения (таблицу Кэли) для полной линейной группы .

Дата добавления: 2015-08-29