Модели с распределенными значениями

Модели с распределенными значениями

Прежде чем подробно рассматривать решение таких моделей, необходимо вспомнить некоторые элементы векторной алгебры и теории поля.

Скалярной величиной является величина, полностью определяемая своим численным значением, например, масса, температура, объем, длина и т.д. Векторной называется величина, которая определяется не только своим числовым значением, но и направлением, например, скорость, сила, ускорение и т.д. Соответственно скаляр – это число, а вектор – направленный прямолинейный отрезок, имеющий определенную величину.

Полем называется область пространства, в каждой точке которой определено значение некоторой величины. Если каждой точке этой области соответствует определенное число, то поле называют скалярным. Если же каждой точке области пространства соответствует вектор, то говорят, что задано векторное поле. В случае трехмерного пространства скалярное поле можно рассматривать как функцию трех переменных (x, y, z), а векторное поле – как векторную функцию трех скалярных аргументов x, y, и z.

При нахождении производных функций нескольких переменных используют частные производные. Частная производная функции нескольких переменных определяется как производная функции одной из этих переменных при условии постоянства значений остальных независимых переменных.

Частные производные , и , и называют частными производными первого порядка. Эти функции могут иметь частные производные, которые называются частными производными второго порядка. Вот некоторые из них:

Векторные дифференциальные операции первого порядка над скалярным или векторным полем записывают с помощью оператора Гамильтона:

Этот символический вектор (читается набла) приобретает смысл лишь в комбинации со скалярными или векторными функциями.

Дифференциальные операции второго порядка записывают с помощью оператора Лапласа:

В основе многих моделей с распределенными значениями лежит уравнение Колмогорова-Петровского-Пискунова:

,

где – константа; u – искомый параметр; Δu – изменения параметра, связанные с его пространственными характеристиками; f (u) – изменения параметра, связанные с его временными характеристиками. Поскольку u зависит от нескольких параметров, то полученное уравнение записано в частных производных.

Такую модель лучше всего рассмотреть на примере уединенной популяционной волны. Это явление наблюдается при внезапных вспышках численности популяции у некоторых видов (саранча, лемминги и др.). Стресс и недостаток пищи, возникающие при скученности, вызывают в определенный момент времени однонаправленное движение плотной массы животных, носящее характер нашествия.

Одной из моделей, описывающих это явление, является модель популяционной волны амброзиевого листоеда в Ставропольском крае, описанная О.В. Ковалевым и В.В. Вечерниным в 1986 г.

Жук амброзиевый листоед (Zygogramma suturalis F.) завезен в Россию из США для борьбы с амброзией полыннолистной (Ambrosia artemisiifolia L.). На территории бывшего СССР амброзия не имеет естественных врагов и не поедается большинством теплокровных животных. Ее пыльца – сильнейший аллерген. Для биологической борьбы с этим сорняком был предложен естественный вредитель амброзии в США – амброзиевый полосатый листоед. Он был интродуцирован в Ставропольском крае в 1978 г. Начиная с третьего поколения жука в 1981 г. границы разрастающейся популяции определялись по зонам высокой плотности листоеда и описывались неправильными кругами. Положение зон высокой плотности в течение сезона оставалось фиксированным и менялось только со следующим сезоном. В седьмом поколении была зарегистрирована уединенная популяционная волна насекомых – устойчивая незатухающая волна, движущаяся без изменения формы с постоянной скоростью. Для нее была характерна необычайно высокая концентрация насекомых в узкой полосе (до 5000 экз./м²). В тылу волны амброзия была полностью уничтожена. Скорость движения фронта волны достигала 3 м/сутки. Формирование волны происходило на всей территории ареала вредителя по мере достижения критической численности в местах колонизации.

В качестве основы модели популяционной волны листоедов была использована формула Колмогорова-Петровского-Пискунова. Общее уравнение для плотности жуков N (r, t) (число особей на квадратный метр) имеет вид:

, [1]

где N (, t) – плотность насекомых в данном месте () в определенный момент времени (t); – радиус-вектор точки; – вектор потока насекомых; f (N) – изменение численности жуков за счет рождаемости и смертности на единицу площади в единицу времени; .

То есть изменение численности насекомых в данной точке равно разности между числом насекомых, переместившихся в данное место, и числом особей, покинувших данную точку, плюс разность числа рождений и смерти в данном месте.

Вектор потока насекомых равен:

[2]

В правой части уравнения первый член, пропорциональный градиенту плотности насекомых, описывает процесс диффузии (D – коэффициент диффузии), т.е. передвижение насекомых от большей к меньшей плотности. Второй член пропорционален градиенту плотности кормового растения (амброзии). P (, t) – плотность амброзии в данном месте в определенный момент времени. Этот член отражает эффективность поиска пищи насекомыми, поскольку насекомые передвигаются из мест, где плотность амброзии ниже, в те места, где она выше. B – коэффициент эффективности поиска пищи.

Кроме этого добавляется уравнение, описывающее изменение плотности амброзии под влиянием выедания ее жуками:

, [3]

где A – количество амброзии, съедаемое одним листоедом в единицу времени. То есть количество амброзии, съедаемой за сутки на единице площади, равно количеству амброзии, съедаемой одной особью, умноженному на число жуков на этой площади.

Будем считать коэффициент диффузии постоянным. Подставим формулу [2] в формулу [1]. Получим систему уравнений, описывающих поведение системы «жук – амброзия»:

[4]

Для описания популяционной волны насекомых достаточно использовать только две пространственные координаты, поскольку нас не интересует высотное распределение жуков. Соответственно и .

Будем искать решение в виде плоской волны, движущейся без изменения формы с постоянной скоростью V. Любой непротяженный участок фронта волны можно приближенно считать плоским. Направляя в этом случае ось x перпендикулярно фронту волны, а ось y вдоль фронта, приходим к тому, что зависимость от y пропадает. Поскольку волна движется без изменения формы с постоянной скоростью, N и P зависят не от двух переменных x и t, а от их комбинации. Введем переменную связывающую x и t:

,

где x ₀ – начальное положение волны.

Тогда,

На функции и мы должны ввести граничные условия:

Это означает, что далеко впереди и позади волны насекомых нет. Плотность амброзии позади волны равна нулю – все съедено, а перед волной ее плотность постоянна и равна P₀.

Исходя из определения частной производной и предыдущих уравнений, мы получим:

Для P аналогично (выведите сами).

Таким образом, система уравнений в частных производных [4] сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений:

[5]

Из второго уравнения выразим () и подставим в первое, получим обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка:

[6]

Если коэффициент B постоянен, то формула [6] принимает вид:

[7]

Это уравнение имеет решение, удовлетворяющее граничным условиям только в том случае, если отсутствует член с , т.е. если V – AB / V = 0. Отсюда скорость волны равна:

Таким образом, в этом случае скорость волны зависит лишь от количества амброзии, съедаемой одной особью в сутки и коэффициента эффективности поиска пищи, и не зависит от рождаемости и смертности.

Далее мы должны определить функцию f (N). Мы предполагаем, что существует некоторая критическая плотность насекомых (N₀), при которой рождаемость равна смертности. При меньших плотностях доминирует смертность, а при больших рождаемость. Простейшей функцией такого видя является квадратичный полином:

,

где E – коэффициент, равный тангенсу угла наклона касательной к функции f (N) в точке N₀.

Следовательно, уравнение [7] приобретает вид:

Далее интегрируем и с учетом граничных условий получим окончательное уравнение уединенной популяционной волны:

, где [8]

ch – гиперболический косинус.

Графически этот вид волны изображен на рис 1.

Рис. 1 Форма уединенной популяционной волны

Эта волна имеет симметричную форму. Скорость ее движения не зависит от амплитуды и определяется формулой .

Плотность амброзии в момент времени t определяется формулой:

, где [9]

th – гиперболический тангенс.

Общее число насекомых на единицу ширины фронта волны остается постоянным и равно:

Теперь мы можем найти количество амброзии, съедаемое одним листоедом в единицу времени (A):

Исходя из формулы [9] можно вычислить пораженность (M) амброзии в процентах, вызываемую прохождением волны листоеда:

Если обозначить через L ширину волны насекомых на половине максимальной плотности жуков, то с использованием формулы [8] получим:

Используя предыдущие два уравнения можно показать, что пораженность амброзии перед приходом основной массы жуков и после ее прохода равна соответственно ≈15% и ≈85%. При этом в полосе ширины L на единице фронта волны будет находиться примерно 70% общего числа насекомых.

Полученные расчеты хорошо согласуются с экспериментальными данными (Ковалев, Вечернин, 1986). В целом модели типа базовой системы Колмогорова-Петровского-Пискунова, дополненные экологическими взаимодействиями между видами являются достаточными для описания механизмов, управляющих процессами распространения возмущений в популяциях.

---

Дата добавления: 2015-08-29