|
Приложение 2
Образец решения индивидуального задания
Вариант 1
Задание 1. Вычислить:
1) ; 2) ; 3) .
Решение. 1) Вычислим значение выражения по действиям:
I. (2-4 i)3=[применяем формулу куба разности]=
=23-3×22×4 i +3×2×(4 i)2-(4 i)3=8-12 i -96+64 i =-88+52 i.
II. (2- i)3=[аналогично предыдущему]=
=23-3×22× i +3×2× i 2- i 3=8-12 i -6+ i =2-11 i.
III. (2-4 i)3+(2- i)3=(-88+52 i)+(2-11 i)=(-88+2)+(52-11) i =-86+41 i.
IV. (3+2 i)3=[по формуле квадрата суммы]=
=32+2×3×2 i +(2 i)2=9+12 i -4=5+12 i.
V. = = =
= = = + i.
2) Вычислим и числитель, и знаменатель отдельно, применяя формулу Муавра. Для этого каждое из чисел + i и 1- i приведём к тригонометрической форме. Имеем
+ i =2(cos + i sin ),
Так как
| + i |= и
то есть . Поэтому, по формуле Муавра,
( + i)10=(2(cos + i sin ))10=210(cos + i sin )=
=210(cos + i sin )=210( - i)=29(1- i).
Аналогично
1- i = (cos + i sin ),
так как
|1- i |= и
то есть . Тогда
(1- i)7= (cos + i sin = (cos + i sin =
= (cos - i sin = + = × (1+ i)=23(1+ i).
Поэтому
= =26× =26× =25×(1- i)(1- i)=
=25×((1- )+(-1- ) i)=25×((1- )-(1+ ) i)=32(1- )-32(1+ ) i.
3) Всего комплексных чисел 6-й степени из комплексного числа существует в точности 6. Их ищем в виде
w k = (cos + i sin ), k =0, 1, 2, 3, 4, 5.
Здесь r = - модуль числа 1+ i, j = - аргумент этого числа, который находим из соотношения
Поэтому j = . Таким образом, корни -
w k = (cos + i sin )= (cos + i sin ), k =0, 1, 2, 3, 4, 5.
Найдём их при каждом значении k:
w 0= (cos + i sin ), w 1= (cos + i sin ), w 2= (cos + i sin ),
w 3= (cos + i sin ), w 4= (cos + i sin ), w 2= (cos + i sin ).
(Значения косинусов и синусов - не табличные. Поэтому их значения не вычисляем, и корни не приводим к алгебраической форме).
Ответ: 1) + i; 2) 32(1- )-32(1+ ) i;
2) w 0= (cos + i sin ), w 1= (cos + i sin ),
w 2= (cos + i sin ), w 3= (cos + i sin ),
w 4= (cos + i sin ), w 2= (cos + i sin ).
Задание 2. Описать геометрическое место комплексных чисел, удовлетворяющих неравенствам:
1) | z +1+2 i |³1; 2) | z -2+ i |<3.
Решение. 1) Пусть z = x + yi, где x =Re z и y =Im z. Тогда z +1+2 i =(x +1)+(y +2) i и | z +1+2 i |= . Поэтому | z +1+2 i |³1 Û ³1 Û ³1. Получили множество точек, лежащих вне круга с центром (-1; -2) и радиусом R =1.
2) Аналогично предыдущему, если z = x + yi, то | z -2+ i |= и | z -2+ i |<3 Û <3 Û <9 ¾ внутренность круга с центром (2; -1) радиуса 3.
Задание 3. Разделить многочлен f (x) = x 5-2 x 3+ x 2+4 x +1 на многочлен g (x) = x 3-3 x 2+ x -2 с остатком. В ответе указать представление деления с остатком, (неполное) частное и остаток от деления.
Решение. Делим многочлен на многочлен с остатком:
_x 5 -2 x 3+ x 2+4 x +1 | x 3-3 x 2+ x -2 | ||||||
x 5-3 x 4+ x 3-2 x 2 |
| x 2+3 x +6 | |||||
_ 3 x 4-3 x 3+3 x 2+4 x +1 |
| ||||||
3 x 4-9 x 3+3 x 2-6 x |
| ||||||
_ 6 x 3 +10 x +1 |
| ||||||
6 x 3-18 x 2+6 x -12 |
| ||||||
18 x 2+4 x +13 |
| ||||||
Таким образом, x 2+3 x +6 - неполное частное, 18 x 2+4 x +13 - остаток от деления x 5-2 x 3+ x 2+4 x +1 на x 3-3 x 2+ x -2.
Ответ: x 5-2 x 3+ x 2+4 x +1=(x 3-3 x 2+ x -2)(x 2+3 x +6)+(18 x 2+4 x +13), где x 2+3 x +6 - неполное частное, 18 x 2+4 x +13 - остаток
Задание 4. Представить дробь в виде суммы простейших в общем виде и выписать систему линейных уравнений для определения коэффициентов:
.
Решение. По правилу разложения дроби в сумму простейших имеем
= + + + + +
(так как дискриминант квадратного трёхчлена х 2+2 х +2 меньше нуля (D =22-4×1×2=-4<0), то дроби и - простейшие).
Приведём полученную сумму к общему знаменателю:
.
Отдельно приведём числитель к стандартному виду. Так как
(х 2+2 х +2)2= х 4+4 х 2+4+4 х 3+4 х 2+8 х = х 4+4 х 3+8 х 2+8 х +4
то имеем
x (x -2)2(х 2+2 х +2)2=(х 3-4 х 2+4 х)(х 4+4 х 3+8 х 2+8 х +4)=
= х 7+(4-4) х 6+(8-16+4) х 5+(8-32+16) х 4+(4-32+32) х 3+(-16+32) х 2+16 х =
= х 7-4 х 5-8 х 4+4 х 3+16 х 2+16 х,
(x -2)2(х 2+2 х +2)2= х 6-4 х 4-8 х 3+4 х 2+16 х +16
(это произведение отличается от предыдущего только на множитель х)
x 2(x -2)(х 2+2 х +2)2=(х 3-2 х 2)(х 4+4 х 3+8 х 2+8 х +4)=
= х 7+(4-2) х 6+(8-8) х 5+(8-16) х 4+(4-16) х 3-8 х 2=
= х 7+2 х 6-8 х 4-12 х 3-8 х 2,
x 2(х 2+2 х +2)2= х 6+4 х 5+8 х 4+8 х 3+4 х 2,
(Ex + F) x 2(x -2)2(х 2+2 х +2)=(Ex + F)(х 6-2 х 5-2 х 4+8 х 2)=
= Eх 7+(-2 E + F) х 6-(2 E +2 F) х 5-2 Fх 4+8 Eх 3,
(Gx + H) x 2(x -2)2=(Gx + H)(х 4-4 х 3+4 х 2)= Gх 5+(-4 G + H) х 4+(4 G -4 H) х 3.
Отсюда
Ax (x -2)2(х 2+2 х +2)2+ B (x -2)2(х 2+2 х +2)2+ Cx 2(x -2)(х 2+2 х +2)2+
+ Dx 2(х 2+2 х +2)2+(Ex + F) x 2(x -2)2(х 2+2 х +2)+(Gx + H) x 2(x -2)2=
= Aх 7-4 Aх 5-8 Aх 4+4 Aх 3+16 Aх 2+16 Aх + Bх 6-4 Bх 4-8 Bх 3+4 Bх 2+16 Bх +16 B +
+ Cх 7+2 Cх 6-8 Cх 4-12 Cх 3-8 Cх 2+ Dх 6+4 Dх 5+8 Dх 4+8 Dх 3+4 Dх 2+
+ Eх 7+(-2 E + F) х 6-(2 E +2 F) х 5-2 Fх 4+8 Eх 3+ Gх 5+(-4 G + H) х 4+(4 G -4 H) х 3=
=(A + C + E) х 7+(B +2 C + D -2 E + F) x 6+(-4 A +4 D -2 E -2 F + G) х 5+
+(-8 A -4 B -8 C +8 D -2 F -4 G + H) х 4+(4 A -8 B -12 C +8 D +8 E +4 G -4 H) х 3+
+(16 A +4 B -8 C +4 D) х 2+(16 A +16 B) х +16 B.
Поэтому
=
Дроби с одинаковыми знаменателями равны тогда и только тогда, когда совпадают их числители:
x 3+2º(A + C + E) х 7+(B +2 C + D -2 E + F) x 6+(-4 A +4 D -2 E -2 F + G) х 5+
+(-8 A -4 B -8 C +8 D -2 F -4 G + H) х 4+(4 A -8 B -12 C +8 D +8 E +4 G -4 H) х 3+
+(16 A +4 B -8 C +4 D) х 2+(16 A +16 B) х +16 B.
Два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при одинаковых степенях переменной. Поэтому, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменной х, приходим к системе
(*)
решая которую (например, методом Гаусса) определяем коэффициенты A, B, C, D, E, F, G, H.
Ответ: =
= + + + + + ;
требуемая система (*) приведена выше.
Задание 5. Представить дробь в виде суммы многочлена и простейших дробей:
.
Решение. Степень знаменателя 5 меньше степени числителя (шести). Поэтому дробь является неправильной, и её можно представить в виде суммы многочлена и простейших дробей. Для этого сначала разделим числитель на знаменатель (с остатком), предварительно произведя умножения в знаменателе:
(x -3)3(х 2+2 х +3)=(х 3-9 х 2+27 х -27)(х 2+2 х +3)=
= х 5+(2-9) х 4+(3-18+27) х 3+(-27+54-27) х 2+(81-54) х -81=
= х 5-7 х 4+12 х 3+27 х -81,
_ 2 x 6-11 x 5+ 3 x 4+36 x 3+54 x 2- 80 x -245 | x 5-7 x 4+12 x 3+27 x -81 | |||||
2 x 6-14 x 5+24 x 4+ +54 x 2-162 x |
| 2 x +3 | ||||
_ 3 x 5-21 x 4+36 x 3 +82 x -245 |
| |||||
3 x 5-21 x 4+36 x 3 +81 x -243 |
| |||||
x -2 |
| |||||
Таким образом,
2 x 6-11 x 5+3 x 4+36 x 3+54 x 2-80 x -245=(2 x +3)(x 5-7 x 4+12 x 3+27 x -81)+(x -2),
откуда
=
= =
= =(2 x +3)+ =
=(2 x +3)+ ,
то есть =(2 x +3)+ , и исходная дробь представлена в виде суммы многочлена и правильной дроби. Осталось представить слагаемое-дробь в виде суммы простейших.
По правилу разложения дроби в сумму простейших имеем
= + + + (*)
(так как дискриминант квадратного трёхчлена х 2+2 х +3 меньше нуля (D =22-4×1×3=-8<0), то дробь - простейшая).
Приведём полученную сумму к общему знаменателю:
.
Отдельно приведём числитель к стандартному виду.
A (x -3)2(х 2+2 х +3)+ B (x -3)(х 2+2 х +3)+ C (х 2+2 х +3)+(Dx + E)(x -3)3=
= A (х 4- х 3+27)+ B (х 3- х 2-3 х -9)+ C (х 2+2 х +3)+(Dx + E)(x 3-9 х 227 х -27)=
=(A + D) х 4+(- A + B -9 D - E) х 3+(- B + C +27 D -9 E) х 2+
+(-3 B +2 C -27 D +27 E) х +(27 A -9 B +3 C -27 D).
Поэтому
=
Дроби с одинаковыми знаменателями равны тогда и только тогда, когда совпадают их числители:
x -2º(A + D) х 4+(- A + B -9 D - E) х 3+(- B + C +27 D -9 E) х 2+
+(-3 B +2 C -27 D +27 E) х +(27 A -9 B +3 C -27 D).
Два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при одинаковых степенях переменной. Поэтому, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменной х, приходим к системе
Решая эту систему определяем коэффициенты A, B, C, D, E. Сначала применим метод Гаусса для исключения неизвестных A, B, C из последних двух уравнений:
Û Û
Û Û
Далее, рассматривая последние два уравнения как систему от двух неизвестных D и E, находим их по правилу Крамера:
D= =(-89)×(-6)-(-156)×44=7398,
D1= =1×(-6)-(-2)×44=82,
D2= =(-89)×(-2)-(-156)×1=334,
D = = = , E = = = .
Теперь из третьего уравнения системы находим С:
C =-19 D +10 E =-19× +10× = .
Из второго находим B:
B =8 D + E =8× + = .
Наконец, из первого находим A:
A =- D =- .
Таким образом, A =- , B = , C = , D = , E = , подставляя которые в (*), получаем разложение дроби в сумму простейших:
= + + + ,
а вместе с ним и искомое представление дроби в виде суммы многочлена и простейших.
Ответ: =
=(2 x +3) + + + .
Дата добавления: 2015-08-28; просмотров: 23 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая лекция | | | следующая лекция ==> |
Министерство образования и науки Российской Федерации | | | Вартанова, Глушкова, Жахотов, Жумагулова, Осьмаков, Полунина, Пухов, Фролова- выполнить до 12 декабря |