1. Окружность. Окружностью называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки (называемой центром окружности).

1. Окружность. Окружностью называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки (называемой центром окружности).

1. Радиус, хорда, диаметр. Расстояние от точек окружности до ее центра называется радиусом окружности. Отрезок, соединяющий любую точку окружности с центром, также называют радиусом. Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. Диаметром окружности называется хорда, проходящая через центр.

2. Свойства хорд. Радиус, перпендикулярный хорде, делит эту хорду и стягиваемую ею дугу пополам. Верно и обратное утверждение: если радиус делит хорду пополам, то он ей перпендикулярен.
Дуги, заключенные между параллельными хордами, равны.
Если две хорды окружности, и пересекаются в точке , то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды: .

2. Касательная. Касательной к окружности называется прямая, имеющая с окружностью единственную общую точку (называемую точкой касания).
Радиус окружности, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. И наоборот, если прямая, проходящая через точку, лежащую на окружности, перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку, то она является касательной к окружности.

3. Свойства окружности. Прямая может не иметь с окружностью общих точек, иметь с окружностью одну общую точку (касательная) или иметь с ней две общие точки (секущая).
Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну.
Две окружности называются касающимися, если они имеют единственную общую точку. Точка касания двух окружностей лежит на линии, соединяющей их центры.

1. Теорема о касательной и секущей. Если из точки, лежащей вне окружности, проведены касательная и секущая, то квадрат длины касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть: .

2. Теорема о секущих. Если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие, то произведение одной секущей на ее внешнюю часть равно произведению другой секущей на её внешнюю часть: .

4. Вписанные и центральные углы. Центральный угол измеряется соответствующей ему дугой окружности, а вписанный - половиной дуги, выскаемой на окружности сторонами угла и заключенной внутри угла.

Угол с вершиной внутри окружности измеряется полусуммой двух дуг этой окружности, одна из которых заключена между его сторонами, а другая - между их продолжениями.

Если вершина угла лежит вне окружности, а его стороны пересекают эту окружность, то он измеряется полуразностью дуг, отсекаемых сторонами угла и заключенных внутри него.

5. Угол между касательной и секущей. Угол с вершиной на окружности между ее хордой и касательной измеряется половиной дуги этой окружности, заключенной внутри данного угла.
Если же секущая к окружности не проходит через точку касания другой прямой с этой окружностью, то угол между ними измеряется полуразностью дуг, на которые делится точкой касания дуга, заключенная внутри этого угла.

6. Вписанная и описанная окружности треугольника. В любой треугольник можно вписать единственную окружность. Центр окружности, вписанной в треугольник - точка пересечения его биссектрис.
Около любого треугольника можно описать единственную окружность. Центр окружности, описанной около треугольника - точка пересечения серединных перпендикуляров его сторон.

7. Окружность, описанная около четырехугольника. Если все вершины четырехугольника принадлежат окружности, то он называется вписанным в эту окружность, а окружность - описанной около него.

1. Критерии вписанного четырехугольника. Так как центр описанной около четырехугольника окружности равноудален от его вершин, то он принадлежит серединным перпендикулярaм к его сторонам и диагоналям.
Обратно, если серединные перпендикуляры к трем сторонам четырехугольника пересекаются в одной точке, то эта точка будет равноудалена от всех его вершин и поэтому будет центром описанной около него окружности.

Итак, для того, чтобы около четырехугольника можно было описать окружность, необходимо и достаточно, чтобы серединные перпендикуляры к трем его сторонам пересекались в одной точке.
Другой критерий вписанного четырехугольника связан с его углами: для того, чтобы около четырехугольника можно было описать окружность, необходимо и достаточно, чтобы сумма его противоположных углов была равна (т. е. суммы его противоположных углов были равны).

8. Окружность, вписанная в четырехугольник. Если окружность касается каждой стороны четырехугольника, то он называется описанным около этой окружности, а окружность - вписанной в него.

1. Критерии описанного четырехугольника. Так как центр окружности, вписанной в четырехугольник, равноудален от его сторон, то он принадлежит биссектрисе каждого из его углов. Следовательно, биссектрисы углов описанного четырехугольника пересекаются в одной точке - центре вписанной в него окружности.
Обратно, если биссектрисы трех углов четырехугольника пересекаются в одной точке, то эта точка будет равноудалена от всех его сторон, то есть будет центром вписанной в этот четырехугольник окружности.

Итак, для того, чтобы в выпуклый четырехугольник можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы биссектрисы трех его углов пересекались в одной точке.
Другой критерий описанного четырехугольника связан с его сторонами: для того, чтобы в выпуклый четырехугольник можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы суммы его противоположных сторон были равны.

9. Длины и площади.

1. Длина окружности. Длина окружности радиуса равна .

2. Площадь круга. Площадь круга радиуса равна .

3. Длина дуги окружности. Длина дуги окружности радиуса с центральным углом , измеренным в радианах, равна .

4. Площадь сектора круга. Площадь сектора радиуса с центральным углом в , измеренным в радианах, равна .

Дата добавления: 2015-08-28