|
Лекция № 35. Тема 4: Экстремум функции нескольких переменных
4.1. Необходимые условия экстремума
Определение 1. Функция имеет максимум (минимум) в точке , если для любой точки выполняется неравенство . Максимум и минимум называются экстремумами функции.
Возьмем точку , дадим в ее окрестности приращения аргументам , тогда приращение функции
и, если , то точка - точка максимума, если - точка минимума. z
Пример 1. Рассмотрим функцию
и точку (см. рис.).
В этой точке имеем
- точка минимума. O y
x
Теорема (необходимые условия экстремума). Если функция достигает экстремума в точке , то в этой точке частные производные и равны нулю, или не существуют.
Дадим переменной у определённое значение у 0. Тогда будет функцией одного переменного х. При значении она имеет экстремум, поэтому частная производная , либо не существует.
Аналогично доказывается и для частной производной .
Это условие не является достаточным, что видно из примера.
Пример 2. Рассмотрим функцию .
Тогда
В этой точке полное приращение функции , откуда следует, что в её окрестности принимает как положительные, так и отрицательные значения. Экстремума нет.
Определение 2. Точки, в которых частные производные равны нулю либо не существуют, называются критическими. Точки, в которых частные производные равны нулю, называются стационарными.
Замечание. Из определения градиента следует, что в стационарных точках градиент является нулевым вектором.
4.2. Достаточные условия экстремума
Теорема. Если в некоторой окрестности стационарной точки функция имеет непрерывные частные производные до третьего порядка включительно, то если:
1. - экстремум есть, при этом, если , а при .
2. - экстремума нет.
3. - ответа нет, требуются дополнительные исследования.
Здесь ; ; .
Пример 3. Исследовать на экстремум функцию .
Из данной системы, получаем ,
т.е. найдены две стационарные точки: .
В точке , .
В точке экстремума нет.
Пример 4*. Канава для стока воды имеет в сечении равнобочную трапецию площадью S. Требуется определить размеры канавы, при которых были бы минимальные потери жидкости.
h
a
a
Если потери обозначить через Q, то они пропорциональны смоченному периметру сечения, т.е.
, где .
Три переменные связаны зависимостью
.
Таким образом, мы определили функцию
,
которую необходимо исследовать на экстремум. Имеем
;
;
.
Используя достаточные условия экстремума, можно показать, что эти значения определяют точку минимума.
4.3. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции
в замкнутой области
Для нахождения наибольшего и наименьшего значений поступают, как и для случая функции одной переменной, а именно:
1. Определяют значения функции в критических точках, принадлежащих области;
2. Определяют наибольшие и наименьшие значения функции на границе области;
3. Из полученных значений выбирают наибольшее и наименьшее.
Пример 5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области D:
у
А
-1 О 1 3 х
С В
Область D - это треугольник АВС.
Определяем критические точки, принадлежащие области D
На границе .
.
Вычисляем значения функции на концах отрезка АВ
.
На границе .
.
Вычисляем значения функции на концах отрезка АС
.
На границе .
т.е. получили точку B.
Из полученных значений выбираем наибольшее и наименьшее:
Лекция № 36
4.4. Условный экстремум
Определение 1. Условным экстремумом функции называ-ется экстремум, достигнутый при условии, что переменные х, у связаны уравнением
Геометрически задача состоит в том, чтобы на этой линии найти такую точку М 0, в которой значение функции было наибольшим (наименьшим) по сравнению с другими значениями на этой линии в некоторой окрестности точки М 0. Такие точки называются точками условного (относительного) экстремума.
Рассмотрим геометрический смысл этого понятия на примере.
Пример 1. Графиком функции является верхняя полу-сфера. Рассмотрим прямую линию
z
O y
M 0
x
Для точек этой прямой, в силу симметрии, функция достигает макси-мального значения в точке . Это и есть точка условного макси-мума на линии.
Теперь сформулируем задачу, которую предстоит решить. Требуется найти точки условного экстремума функции при условии которое называется уравнением связи.
По правилу нахождения полной производной от функции , получим
(1)
В точках экстремума формула (1) принимает вид
(2)
Аналогично поступаем с уравнением связи
. (3)
Умножим выражение (3) на неопределённый множитель , сложим с выражением (2) и проведём группировку членов
. (4)
Подберём множитель так, чтобы в выражении (4) выполнялось
.
Тогда получим, что в точках экстремума удовлетворяются три уравнения:
(5)
Из системы (5) определяются х, у и множитель .
Условиям (5) можно придать другую форму, если ввести так назы-ваемую функцию Лагранжа
,
тогда система (5) примет вид
(6)
Рассмотренный приём называется методом множителей Лагранжа. Системы (5) или (6) представляют собой необходимые условия условного экстремума.
Достаточные условия существования условного экстремума опреде-ляются по знаку определителя
. (7)
Если в точке , то в этой точке условный максимум.
Если в точке , то - условный минимум.
Если - ответа нет, требуются дополнительные исследования.
Метод множителей Лагранжа легко распространить для случая функции п переменных с т связями.
Пусть требуется найти условный экстремум функции при условиях
Для этого составляется функция Лагранжа
и приравниваются к нулю её частные производные
. (8)
Из системы (8) определяются и вспомогательные мно-жители .
Пример 2. Найти условный экстремум функции , если уравнение связи .
Составим функцию Лагранжа
.
Получим систему
Легко получить решение данной системы: .
Получили точку . Воспользуемся достаточными условиями экстремума. Вычислим в этой точке определитель (7)
т.е. М 0 - точка условного максимума, .
4.5. Метод наименьших квадратов
Пусть в результате опыта установлено, что значениям величины х равным соответствуют значения величины у: . Требуется установить вид функции , которая наилучшим образом описала бы полученную из опыта зависимость.
В функциональную зависимость общего вида, которая определяется из сути опыта, включим параметры: а, b, с, …, которые подберём таким образом, чтобы сумма квадратов разностей значений экспериментально полученных и вычисленных по формуле была наимень-шей, т.е.
Необходимые условия:
дают систему для определения параметров а, b, с, ….
Рассмотрим случай, когда аппроксимация (приближение) эксперимен-тальных данных осуществляется линейной зависимостью .
Тогда
и
т.е. система для определения коэффициентов а, b принимает вид
(9)
Если ввести обозначения:
то система (9) приводится к виду
(10)
Решая систему (10), получим
. (11)
Пример 3. В результате опыта получены следующие результаты
x | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,4 | |
y | 0,95 | 1,25 | 1,42 | 1,50 | 1,85 |
Определить зависимость величины y от x, считая её линейной.
Здесь
Тогда по формулам (11) получаем
Дата добавления: 2015-08-28; просмотров: 32 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая лекция | | | следующая лекция ==> |
Найти экстремумы функций: | | | VI. Исследовать функцию на экстремум . |