С помощью правила множителей Лагранжа решить задачу:

С помощью правила множителей Лагранжа решить задачу:

,

,

.

Решение.

1. Функция Лагранжа имеет вид

.

2. Необходимые условия:

- согласования знаков

, ,

- дополняющей нежесткости

,

- стационарности

,

.

3. Если l₀ = 0, то из условий стационарности получим, что l₁ = l₂ = 0, т.е. все множители Лагранжа равны нулю.

Положим l₀ = 1. Предположим, что l₂ ¹ 0. Тогда из условия дополняющей нежесткости следует, что . Выразим x и y из условия стационарности через l₁ и l₂

.

Затем подставим полученные выражения в уравнения и . В результате получили систему уравнений

Решим данную систему. Из первого уравнения имеем

,

подставив которое во второе уравнение системы получим квадратное уравнение

.

Дискриминант этого уравнения . Следовательно,

.

Отсюда

.

Из условия согласования знаков . Поэтому

, .

Следовательно,

,

.

Значение целевой функции

.

Пусть теперь l₂ = 0. В этом случае решений нет, так как x и y в условии стационарности будут отсутствовать.

Ответ: , , .

Дата добавления: 2015-08-28