7.1. Забег улитки продолжается ровно пять минут. В конце каждой минуты скорость улитки скачком меняется и всю следующую минуту остается неизменной. Средняя скорость за первые две минуты составляет 1

7класс

7.1. Забег улитки продолжается ровно пять минут. В конце каждой минуты скорость улитки скачком меняется и всю следующую минуту остается неизменной. Средняя скорость за первые две минуты составляет 1 см/мин, за первые три минуты средняя скорость 2 см/мин, за все пять минут – средняя скорость 3 см/мин. Найти среднюю скорость за последние две минуты. Найти среднюю скорость на первой трети пути. Улитка ползет по прямой. Скорости выразить в см/мин.

Всего за 5 минут 3*5=15 см, за первые три минуты 2*3=6, тогда средняя скорость за последние две минуты 9/2= 4,5 см/мин. Треть пути 5 см, они будут пройдены меньше, чем за три первые минуты: 2 см за первые две, 3 см за часть третьей. За всю третью минуту 4 см. тогда время прохождения первых пяти см равно 2+ ¾ = 2,75 мин и средняя скорость 20/11 = 1,8 см/мин.

7.2. Хоккейную шайбу толкают по направлению к бортику, ударившись о бортик, шайба летит назад и проходит через начальную точку. Какая часть пути займет у шайбы больше времени – от начальной точки к бортику, или назад, от бортика до начальной точки?

Скорость шайбы все время уменьшается по величине, вторая часть пути (назад) займет больше времени.

7.3. В коллекции собраны металлические кубики разных размеров: 1% кубиков имеют размер 1 мм, 2% кубиков - размер 2 мм, 4% - размер 4 мм, 8% - размер 8 мм, 16% - размер 16 мм, 32% - размер 32 мм, остальные – имеют размер 64 мм. Найдите среднее значение размера кубика из этой коллекции. Найти среднюю массу кубика из этой коллекции (самый маленький кубик имеет массу 0,01 г). Кубики сплошные, сделаны из одного материала.

На большие кубики приходится 100–1-2-4-8-16-32 = 37% всех кубиков. Удобно взять для расчета 100 кубиков (можно и иначе!). Тогда полная длина уложенный вплотную кубиков 1*1+2*2+4*4+8*8+16*16+32*32+37*64 = 3733 мм, средняя длина ребра 37,33 мм.

Масса кубика пропорциональна кубу его размера, например, масса кубика 8 мм равна 0,01*512=5,12г. Найдем полную массу той же сотни кубиков:

0,01*(1*1+2*8+4*64+8*512+16*4096+32*32768+37*262144) = 108157,61 г.Средняя масса 1081,6 г. Если ошибочно(!) посчитать среднюю массу по среднему размеру, найденному в первой части, получим примерно 520 г.

8 класс

8.1. Два спортсмена двигаются по одной прямой навстречу друг другу, скорость каждого из них 1 м/с. Начальное расстояние между ними 10 м, они перебрасываются мячом, причем первый из них бросает мяч в первый момент. Горизонтальная скорость мяча в полете все время равна по величине 3 м/с, поймав мяч, спортсмен сразу же бросает его обратно. Найти расстояние между спортсменами в тот момент, когда первый из них поймает мяч в третий раз. Сколько всего метров пролетит мяч по горизонтали к этому моменту?

Мяч сближается с встречным спортсменом со скоростью 4 м/с (относительная скорость), тогда второй поймает его через Т= 2,5 с и сразу бросит его обратно. Но к этому времени расстояние между спортсменами уменьшится вдвое (каждый пробежит по 2,5 м), тогда до встречи пройдет 0,5Т. Следующий этап займет 0,25Т и так далее. До момента, когда первый поймает мяч в третий раз пройдет 6 таких этапов, время Тобщ= Т*(1 +0,5+0,25+1/8+1/16+1/32) = 2,5*63/32≈4,9 с. За это время мяч пролетит 3*4,9≈ 15 м. Мяч и игроков мы считали при решении материальными точками – при условиях задачи (быстрое сокращение расстояний между участниками) это не очень-то разумно. Однако, задачу нужно как-то решать…

8.2. Хоккейную шайбу толкают по направлению к бортику, ударившись о бортик, шайба летит назад и проходит через начальную точку. Какая часть пути займет у шайбы больше времени – от начальной точки к бортику, или назад, от бортика до начальной точки?

Смотри 7.2.

8.3. В два стакана налили одинаковые количества воды – в первый горячую при +70⁰С, во второй – холодную, при +20⁰С. Ложку горячей воды перелили в холодную и перемешали. Температура воды в этом стакане оказалась +25⁰С. Перелили две ложки этой воды обратно в стакан с горячей водой и перемешали. Какой стала температура в горячем стакане? Теплоемкостью стакана и ложки можно пренебречь. Теплообмен с окружающей средой не учитывать.

Простой расчет теплового баланса дает объем воды в ложке 1/9 объема воды в стакане. Тогда уравнение теплового баланса для второго этапа дает результирующую температуру в «горячем» стакане примерно +61⁰С.

9 класс

9.1. Статуэтка Буратино весит 20 г, голова сделана из меди (плотность 10 г/куб.см.), остальное – из дерева (плотность 0,8 г/куб.см.). Известно, что фигурка не содержит полостей и не тонет в воде. Один грамм дерева стоит 1 рубль, один грамм меди стоит 20 рублей. Сколько может стоить эта фигурка?

Справка: данная статуэтка художественной ценности не имеет, ее стоимость равна стоимости материалов.

Минимальная цена – меди почти нет, 20 г дерева стоят 20 рублей. Максимальная цена – при наибольшем содержании меди (лишь бы не утонула!). Объем должен быть не меньше 20 см³, тогда масса меди не больше, примерно, 4,35 г, остальное – дерево. При этом цена 4,35*20 + 15,65*1= 102,6 рублей. Стоимость между этими значениями.

9.2. На Венере странная атмосфера – она простирается до высоты 10 км и обладает практически постоянной плотностью. Отпускаем мячик с высоты 5 м – он упадет на поверхность через 1 секунду. С высоты 50 м он падает 3,5 секунды, с высоты 100 м – 5,5 секунд. Сколько времени он будет падать с высоты 200 метров? С какой скоростью он движется в этом случае непосредственно перед падением?

Честным способом девятиклассник тут посчитать ничего не может. Но посмотрим на опыт 2: первые 5 метров займут секунду, значит, остальные 45 метров мяч падает 2,5 с – средняя скорость на этом куске 18 м/с. Теперь опыт 3: первые 50 метров из сотни мяч пролетает за 3,5 с, остальные 50 метров – за 2 секунды. За эти последние 2 секунды средняя скорость составит 25 м/с. Средняя скорость за три секунды увеличилась всего на 8 м/с, ускорение намного меньше 10 м/с² (опыт 1). Можно скорость 25 м/с считать установившейся, можно немного уточнить эту оценку (если считать, что сила сопротивления воздуха пропорциональна квадрату скорости, то нужно еще немного увеличить значение установившейся скорости. Получится примерно 29 м/с. Время падения с высоты 200 м: если не уточнять установившуюся скорость, то получится 5,5 + 100/25 = 9,5 с. Скорость падения около поверхности примем 25 м/с. Если уточнить: 5,5 = 100/27 = 9.2 с, скорость у поверхности 29 м/с.

9.3. Собираясь заварить чай мы решили вначале нагреть специальный небольшой чайник – когда мы налили туда 20 г воды при +90⁰ и «взболтали» для ускорения теплообмена, его температура оказалась равной +55⁰С. Это нас не устроило – у нас есть лишние 100 г воды при +90⁰С, которые мы можем потратить для разогрева чайника. Рассмотрим два варианта: сразу налить туда всю порцию воды, либо вначале налить половину, «взболтать», вылить и только после этого налить вторую половину. В каком случае чайник нагреется сильнее? Сделайте расчет для этих двух случаев. Температура в комнате +20⁰С, теплообменом с окружающей средой при расчете можно пренебречь. А можно ли при помощи этого количества горячей воды нагреть чайник еще сильнее?

Найдем теплоемкость чайника С: С*(55-20)= 4200*0,02*(90-55), С= 84 Дж/град. Нальем в пустой чайник 50 г горячей воды: 84*(Т-20)= 4200*0,05*(90 – Т), отсюда Т= 70⁰С. Наливаем вторую порцию: 84*(Т1-70)= 4200*0,05*(90- Т1), Т1= 84,30С. Если же сразу налить 100 г горячей воды, то получится 78,30С. Можно нагреть и сильнее, если наливать (и выливать) горячую воду маленькими порциями.

9.4. В схеме на рисунке батарейки одинаковые, напряжение каждой из них 1,5 В. Сопротивление нижнего резистора 100 Ом, верхнего 300 Ом. Найти токи через батарейки.

Напряжения между выводами каждого из резисторов по 3 В, ток через 100 Ом составит 30 мА, через 300 Ом 10 мА. Это токи через крайние батарейки. Через среднюю батарейку получается сумма, ток через нее 40 мА(вверх).

Баллы: сложение напряжений – 1 балл, «простые» токи – по одному баллу, «сложный» - два балла.

10 класс

10.1. Три одинаковых резистора соединены последовательно, батарейка 6 В подключена к концам этой цепочки. Два одинаковых вольтметра подключены, как показано на рисунке. Один из приборов показывает 3 В. Что показывает второй прибор? Что он будет показывать, если первый вообще отключить от схемы? Показания приборов считать точными, вольтметры неидеальные.

В силу симметрии схемы сразу можно сказать, что второй вольтметр тоже покажет 3 В, а ток через средний резистор не течет. Ясно, что сопротивление вольтметра такое же, как сопротивление одного резистора. Если отключить один вольтметр, то получится простая схема, где один резистор подключен последовательно с вольтметром, а два последовательно соединенных резистора включены с вольтметром параллельно. Тогда показания вольтметра 2,4 В.

10.2. На гладком горизонтальном столе находится груз массы М, к нему привязана легкая нить, к другому концу нити прикреплен груз массы 2М, нить переброшена через неподвижный, расположенный горизонтально палец так, что один из кусков нити горизонтален (а другой – вертикален). Вначале груз на плоскости удерживают, затем отпускают. Какая 2сила действует на палец со стороны нити до отпускания груза и во время движения грузов? Куда направлена эта сила? Трение нити о палец пренебрежимо мало.

До отпускания грузов сила натяжения с каждой стороны Т= 2Mg, на палец действует сила Т√2 = 2Mg√2 под углом 45⁰ к горизонту. После отпускания грузов силы натяжения нити с двух сторон гладкого пальца одинаковы (как в случае с блоком). Сила натяжения Т₁= 2Mg/3. На палец действует со стороны нити сила Т₁√2 = 2Mg√2/3.

10.3. На гладкой наклонной плоскости с углом α к горизонту может двигаться без трения клин с таким же углом при основании – он расположен так, что его плоская грань наверху и параллельна горизонтальному столу. На этой поверхности находится кубик. При каком коэффициенте трения между кубиком и клином эти тела могут ехать вместе, не проскальзывая друг относительно друга?

При достаточно большом значении коэффициента трения клин и кубик едут вместе, их ускорение направлено вдоль наклонной плоскости и равно g*sin α. Обычный расчет силы трения для этого случая дает «граничный» коэффициент трения μ₀= tg α, тогда μ > μ₀.

10.4. В два стакана налили одинаковые количества воды – в первый горячую при +70⁰С, во второй – холодную, при +20⁰С. Ложку горячей воды перелили в холодную и перемешали. Температура воды в этом стакане оказалась +25⁰С. Перелили ложку этой воды обратно в стакан с горячей водой и перемешали. Какой стала температура в горячем стакане? Сколько раз нужно повторить этот процесс (переливание «туда и обратно» с перемешиванием), чтобы разность температур стала меньше одного градуса? Теплоемкостью стакана и ложки можно пренебречь. Теплообмен с окружающей средой не учитывать.

После первого переливания ложки воды обратно в «горячий» стакан температура воды в нем установится +65⁰С (количество воды вернулось к начальному, общая энергия не изменилась). Теперь разность температур воды в стаканах уменьшилась от начальных 50 градусов до 40 градусов, т.е. в уменьшилась в 1,25 раз. Ясно, что после следующего переливания туда-обратно разность температур уменьшится еще в 1,25 раз (это очевидно, но можно и легко доказать – при помощи уравнения теплового баланса). После n пар переливаний разность температур уменьшится в (1,25)ⁿ раз. Нужно найти такое число n, чтобы полученное выражение оказалось больше 50 (при таком уменьшении разность температур окажется меньше 1 градуса). Можно использовать логарифмы, можно просто «на числах» убедиться (числа там несложные, 1,25 = 5/4), что (1,25)¹⁷ меньше 50, а (1,25)¹⁸ – больше. Итак, ответ: после 18 пар переливаний.

11 класс

11.1. Пружинный маятник состоит из легкой пружины жесткости К и висящего на ней груза массы М. Вначале система неподвижна (груз в равновесии). В некоторый момент точку подвеса начинают двигать вниз с постоянной скоростью V₀. Найти максимальную длину пружины при таком движении. В нерастянутом состоянии пружина имеет длину L.

В начальный момент пружина растянута на l = Mg/K и энергия деформации K* l ²/2 = M²g²/2K. Пусть максимальное растяжение пружины Х, тогда энергия пружины в этом состоянии K*X²/2. Удобно перейти в систему отсчета, которая едет вниз со скоростью V₀. В этой системе точка подвеса неподвижна, работа силы, действующей на подвес со стороны пружины равна нулю и энергия окружающих тел не меняется. Максимальное растяжение пружины соответствует нулевой скорости груза, начальная скорость груза в этой системе V₀. Закон сохранения механической энергии:

M*V₀²/2 + M²g²/2K + Mg*(X- l) = K*X²/2. Отсюда X= l + (MV₀²/K)^0,5. Можно записать и условие для скорости – при большой скорости V₀ может получиться X>L и пружина не все время будет подчиняться закону Гука (груз ударится о подвес). Максимальная длина пружины L+X.

11.2. На гладком горизонтальном столе находится тележка массы М, к ней привязана легкая нить, к другому концу нити прикреплен груз массы М/3, нить переброшена через неподвижный, расположенный горизонтально палец так, что один из кусков нити горизонтален (а другой – вертикален). Вначале тележку удерживают, затем отпускают. В тот же момент палец начинают двигать по горизонтали навстречу тележке с ускорением g/3. Найти ускорение тележки сразу после начала движения, пока груз сдвинулся совсем немного. Трение нити о палец пренебрежимо мало.

Обозначим ускорение тележки буквой b, тогда ускорение груза в начальный момент (a+b). Если сила натяжения нити Т, тогда T= M*b и Mg/3 – T = M(g/3 + b)/3. (Сразу после начала движения привязанный к грузу кусок нити вертикален!). Отсюда ускорение тележки b= g/6.

11.3. В холодильнике замораживают литровую банку воды, ее температура 0⁰С. За какое время эта вода может превратиться в лед, если температура в комнате +20⁰С, механическая мощность компрессора холодильника 50 Вт. Удельная теплота плавления льда при 0⁰С равна 330 Дж/г.

Идеальная тепловая машина, работающая при температуре нагревателя 293 К и температуре холодильника 273 К может иметь к.п.д. η= 20/293 (как цикл Карно). При работе в холодильном (обращенном) режиме компрессор совершает работу А, при этом в комнату отдается тепло А*293/20= 14,65*А, а от холодного тела отнимается тепло 14,65*А – А = 13,65*А. Для замораживания 1 кг льда от него нужно отнять 330 кДж, для этого нужно совершить работу 330000/13,65 = 24176 Дж, при мощности компрессора 50 Вт на это понадобится примерно 8 минут (конечно, эта оценка сильно занижена, мощность компрессора и ПОЛЕЗНАЯ механическая мощность – не одно и то же, а цикл изрядно отличается от обращенного цикла Карно, но других формул в школьной программе нет;)

11.4. Производят расчет «атома водорода», в котором минимальное расстояние между протоном и электроном составляет d= 1∙10^-6 м, а максимальное в 3 раза больше. Какой будет максимальная скорость электрона в таком «атоме»? Заряд электрона q=1,6∙10^-6 кг, масса электрона 9∙10^-31 кг, электрическая постоянная в уравнении закона Кулона k=9∙10⁹ Н∙м²/Кл².

При минимальном расстоянии между ядром (протоном) и электроном скорость электрона максимальна, а при максимальном – минимальна (она меньше максимальной в 3 раза – можно сослаться на «2-ой закон Кеплера, не зря ведь школьникам говорят про планетарную модель атома, можно применить и закон сохранения момента импульса). Тогда из закона сохранения энергии получим (R= d/2): mV²/2 – kq²/R = m(V/3)²/2 – kq²/3R. Отсюда найдем максимальную скорость электрона V: V= (1,5*(1,6*10^-19)²/(9*10^-31*1*10^-6))^0,5 = 20 км/с. Конечно, это относится только к описанному в условии «атому».

11.5. В глубинах космоса, вдали от всех других тел висит неподвижно тонкостенная непроводящая сфера радиуса R и массы М. На ее поверхности равномерно «размазан» заряд Q. Издали на сферу налетает очень маленький шарик массы m заряженный таким же зарядом Q, начальная скорость шарика V₀ направлена в центр сферы, в стенках сферы сделаны две маленькие дырки так, чтобы шарик при большой его скорости мог проскочить сквозь сферу. Сколько времени шарик летит внутри сферы?

Внутри сферы поля от ее зарядов нет, шарик летит равномерно. Энергию шарика внутри сферы проще всего посчитать, когда он в центре: mV²/2 = mV₀²/2 – kQ²/R. V= (V₀²- 2kQ²/Rm)^0,5. Время внутри сферы Т= 2R/V. Ясно – при какой минимальной скорости вдали шарик вообще сможет влететь в сферу.

Дата добавления: 2015-08-28