Мощность множества.
Определение:
Множества A и B – равномощные (обозначение 
), если существует взаимно однозначное отображение A на B.
, если существует разнозначное отображение 
.
, если существует разнозначное отображение 
.
Предложение:
Отношение равномощности множеств – отношение эквивалентности.
Док-во:
- взаимно однозначное 
- взаимно однозначное.
Предложение:
Если и 
- разнозначны, то 
- разнозначно.
Предложение:
Отношение 
– предпорядок.
Док-во:
Рефлексивность. 
- очевидно.
Транзитивность. 
- из предыдущего предложения.
Теорема Кантора-Бернштейна.
Если 
.
Док-во:
1. 
Пусть 
Нужно показать, что 
.
2. Обозначим через 
Докажем, что 
- взаимно однозначно.
Пусть 
и 
.
- разнозначно.
.
Значит 
.
Пусть 
и 
и 
.
Значит 
.
Следовательно 
.
Значит - взаимно однозначное.
3. Пусть 
. Докажем, что 
- взаимно однозначно.
Покажем, что 
-разнозначно.
Пусть 
Рассмотрим 3 случая:
Очевидно, что 
. Очевидно, что
(т.к. 
- взаимно однозначно).
Значит
Следовательно -разнозначно.
4. Покажем, что - отображение «на».
Если 
, то 
или 
.
Рассмотрим 2 случая:
Тогда, в силу того, что 
взаимно однозначно 
Следовательно h-отображение «на».
Значит h – взаимно однозначное и 
. Теорема доказана.
Замечание:
Из теоремы и предложения следует, что - линейный порядок.
Теорема Кантора.
Мощность любого множества меньше мощности множества всех его подмножеств (
).
Док-во:
. 
f – разнозначно (т.к. если 
).
Значит .
Пусть 
.
Значит 
- взаимно однозначное.
Элемент 
- “хороший” 
.
Если 
- противоречие.
Если 
- противоречие.
Таким образом, мы доказали, что такого h не существует.
Значит .
Следствие:
Бесконечных мощностей бесконечное количество.
Парадокс Кантора:
, но 
- множество 
Но .
Парадокс Рассела:
Определение:
Множество A – бесконечное, если 
Множество A – счетное, если 
Предложение:
.
Док-во:
Нужно установить взаимно однозначное соответстие 
:
Предложение:
Множество целых чисел счетно 
Док-во:
Нужно установить взаимно однозначное соответстие 
:
Предложение:
Множество рациональных чисел счетно 
Док-во:
Установим соответствие методом диагонализации (по вертикали N, по горизонтали Z = (0,1,-1,2,-2…)).
Предложение:
, то 
. и 
, то 
.
Док-во: методом диагонализации.
Предложение:
, то 
.
если 
, то 
.
Док-во: по индукции из предыдущего предложения.
Предложение:
, то 
(мощность всех конечных слов конечного (счетного) алфавита счетно).
Предложение:
.
Тогда 
(множество конечных подмножеств множества - счетно).
Предложение:
Пусть - бесконечное множество. Тогда 
(у любого бесконечного множества существует счетное подмножество).
Док-во:
- бесконечно 
Пусть 
- бесконечно 
Пусть 
- бесконечно 
…
Тем самым мы построим счетное подмножество 
Предложение:
Если - бесконечно, 
, то 
.
Док-во:
-бесконечно 
можно построить взаимно однозначное соответстиве B с N.
- взаимно однозначно.
. 
Следствие:
-бесконечно; 
- конечно; 
.
Предложение:
Теорема о несчетности множества R (интервала (0,1)):
Док-во:
Пусть 
взаимно однозначное отношение с N.
Пусть 
; 
.
Таким образом мы пронумеровали все числа на этом интервале:
Пусть 
; 
.
Значит 
Но 
(
- непронумеровано) нельзя построить взаимно однозначное соответствие. Противоречие.
Определение:
Множество - континуально, если 
Следствие:
Континуум-гипотеза (КГ):
Не существует такого 
(
).
Теорема:
Док-во:
Будем строить 
таким образом:
;
; 
.
-разнозначное.
; 
Построение получилось. Теорема доказана.
Обобщенная КГ:
Не существует такого 
бесконечное 
.
Определение:
Ординальные числа (ординалы):
Определение:
- непредельный, если 
- предельный, если 
Определение:
Ординал - кардинал, если 
ординала 
.
Замечание:
Ординал – порядок; кардинал – мощность.
.
Дата добавления: 2015-08-28; просмотров: 33 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая лекция | | | следующая лекция ==> |
| Общего и профессионального образования | | | Мощность, крутящий момент, скорость. Что же все это такое? |