зивистерстео кы'яззх-о и среднего специального образования УССР Украинок як институт инженеров водного хозяйства

зивистерстео кы'яззх-о и среднего специального образования УССР Украинок як институт инженеров водного хозяйства

онс*-аз

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к спецкурсу и спецсеминару "Автоматизированное „ проектирование систем водоснабжения и канализации и для дипломного проектирования студентов специальности 2908 всех Форм обучения

Утверждены на заседании методической комиссии строительного факультета

Протокол К»гЬт 17 октябри 1986 г.

V'

таиных кафедрами института. Эта часть МО постоянно развивается по мере создания и совершенствования САПР.

Г Инвариантная часть включает методы и алгоритмы; слабо связанные о особенностями конкретной области проектирования и ее математиче­скими моделями. Это относится к методам и алгоритмам многовариант­ного анализа и параметрической оптимизации. Мы вкратце перечислим эти методы и дадим только их обдую характеристику, достаточную для представления о возможностях и роли этой части МО.

Основными видами многовариантного анализа в проектировании яв­ляются анализ чувствительности и статистический анализ. Следует от­метить, что в практике проектирования объектов водоенабиеная и ка­нализации многовартантвыВ анализ» настоящее время не применяется, но это вызвано не его беополвзвостья в данной облаоти, а отсутствием разработанных практических методик к определенной слабостьп матема­тической интерпретации ароцесоо» функционирования проектируемых си­стем водоснабжения и каяализапик..

цель анализа чувствительности соотоит в определении так называ-; емих коэффициентоввлияйийЛял» коэффициентов чувствительности), которые позволяют проектировщику доказательно и математически стро- ^: го отделить параметры, существенно влияющие на процесс, от иаловли- яющих, определить предпочтительные изменения внутренних параметров процеооа Xj для улучшения его выходных параметров, оце­нить допустимые отклонения внутренних Х^ и внешних ^ пара­метров для сохранения' заданной точности допустимого отклонения вы­ходных у і параметров. Результаты анализа чувствительности ис­пользуются для решения таких важных задач проектирования как рас­чет допусков и оценка точности выходных параметров, параметричес­кой оптимизации. Применительно к онстемам шщ, анализ чу ветви те ль-• яоети позволяет, в частности для очистных сооружении, установить •. наиболее слабое их звено, требующее особого овйиманй-.с точки Зрения •лоддержания заданных режимов.его^аботы; - указывает -возможный по-- •'■

- z- -

следствия в изменении режима работы элементов сооружении или харак­теристик поступающей стичний воды и реагентов, используемих а їех- нологии; определяет путь борьбы с вероятными отклонениями в режи­мах функционирования очистных сооружений.

Коэффициенты влияния определяются из уравнении:

где:

/7,; л • - абсолютный и относительный коэффициенты чувствитель-

^JL > ^u3i,

пости¹ выходного параметра 'у, к изменении внутреннего пара­метра Xj., н f

у" - номинальные значения параметров.

Аналогичным образом может быть представлена чувствительность при изучении влияния внешних параметров. Разумеется, анализ чувст­вительности возможен если внешние и внутренние параметры являются непрерывными величинами и представленная ими функция выходных ве­личин является дифференцируемой.

Анализ чувствительности может реализовываться одним из следую­щих методов:

1. Методом приращений, как основным методом анализа чувстви­тельности, представляющим собой практически метод численно­го дифференцирования. Основное достоинство метода - в его универсальности: он Применим к любым непрерывным математи­ческим моделям, прост в программной реализации, но имеет не­высокую точность, что в целом характерно для операций чис­ленного диффереяцировения, и большую трудоемкость вычисле­ний из-за большого количества обращений к модели.

2. Прямой и вариационный методы, основанные на интегрировании специальных систем обыкновенных диыыеренциальных уравнений. Эти методы менее универсальны, чем метод приращений, но имеют большую точность и позволяют снизить затраты машинно- - 24 -

і

го времени.

3. Регрессионный метод.в котором коэффициенты чувствительнос­ти отождествляются с коэффициентами регрессии, рассчитывае­мыми в процессе статистического (см. далее) анализа по мето­ду Монте-Карло. Этот метод требует выполнения очень большо­го объема вычислений и его применение выгодно, если в про­цессе проектирования нужно решать задачи как статистическо­го анализа, так и анализа чувствительности. Тогда затраты времени, дополнительные к затратам на статистический ана­лиз, будут пренебрежимо малы.

Следует отметить, что опыт проведения анализа чувствительности применительно к системам водоснабжения и канализации практически отсутствует, поэтому не представляется возможным определить реко­мендуемые условия применения того или иного из рассмотренных мето­дов. Можно только предложить начинать этот анализ с метода прира­щений, как самого универсального, и, по мере накопления опыта, og- паивать и другие методы анализа чувствительности. Определенный ин­терес представляет также использование уравнений регрессии, полу­ченных статистической обработкой результатов планируемого экспери­мента при изучении отдельных процессов, очистки сточных и природ­ных вод.

Цель статистического анализа состоит в получении оценок рас­сеяния выходных параметров у^ и вероятностей выполнения задан­ных условий работоспособности для проектируемого объекта. Причина­ми рассеяния выходных параметров i^j являются нестабильность внешних параметров Cfri и случайный характер внутренних пара­метров 3C.J о результатами статистического анализа могут быть гистограммы выходных параметров, оценки математических ожиданий и среднеквадратичных отклонений <3~j каждого из виход- аых параметров ^ „ максимально возможные отклонения & fjj.параметров ^ от номинальных значений,. Щенки.коэффициентов

- 25 -

корреляции между параметрами ^ и. Реально

статистический анализ дает возможность оценить процент отклонения выходных показателей от их нормативных заданных значений (процент брака), а при наличии исходных данных по старению внутренних пара­метров, их изменению в процессе эксплуатации или хранения, резуль­таты статистического анализа могут быть непосредственно использо­ваны для оценки надежности системы.

В качестве исходных данных статистического анализа фигурируют статистические сведения о рассеянии внутренних параметров и данные * технического задания о допустимых диапазонах изменения или законах распределения внешних параметров.

В САПР получили распространение следующие методы статистичес­кого анализа:

- метод наихудшего случая, по которому все параметры принимают самые неблагоприятные значения. Анализ методов наихудшего случая включает следующие этапы:

1. Аналий чувствительности с определением коэффициентов влияния.

2. Задание параметрам модели самых неблагоприятных зна­чений.

3. Выполнение анализа объекта в наихудшем случае»

Каждому выходному параметру соответствует свой наихудший слу­чай. Поэтому если система характеризуется /М выходными и /"2 внутренними параметрами, то этапы 2 и 3 алгоритма анализа повторя­ются ttl раз и всего требуется выполнить /72■+■ 1 ва­риантов обращений к модели системы. Преимущество метода в том, что для его применения достаточно знать лишь допуски по внутренним па­раметрам и нет необходимости выявлять законы их распределения. Не­достатком является значительное избыточное резервирование системы, так как вероятность принятого в расчете сочетания б системе самых неблагоприятных параметров пренебрежимо мала.

~ метод статистических испытаний (метод Монте-Карло), который позволяет получить более полные статнотические сведения о вы­ходных параметрах исследуемой системы. Алгоритм этого метода реализуется в следующей последовательности:

1. Задание случайным образом значений внутренних и внеш­них параметров в очередном статистическом испытании.

2. Расчет выходных параметров.

3. Накопление статистических сумм.

4. Обработка накопленных сумм для получения результатов статистического анализа.

Этапы I - 3 выполняются в каждом испытании, этап Ч является завершающим статистический анализ. Задание значений случайных пара­метров выполняется в соответствии с их законами распределения, ко­торые предварительно необходимо знать. Возможность выработки псев­дослучайных чисел для величин, распределенных по таким широкорас- п устраненным законам как нормальный, равномерный, экпоненциальный предусматривается составом инвариантной части МО большинства ЭВМ. Однако в практике проектирования могут встретиться задачи с корре­лированными исходными данными, имеющими любое распределение, что усложняет выбор случайных значений параметров.

Реализация преимуществ метода статистических испытаний (универ­сальность, возможность всестороннего статистического испытания си­стемы) требует довольно полных статистических сведений о парамет­рах. Определенным недостатком метода является большой объем требу­ющихся вычислений для получения приемлемой точности статистическо-; го анализа.

Реализации задачи параметрической оптимизации начинается с пре­образования физических представлений о назначении и степени полез­ности объекта (в нашем случае системы водоснабжения и: канализации' или ее отдельных элементов) в математическую формулировку экстре­мальной задачи, BK^at^it^

лизацию понятия оптимальности. Цель оптимизации выражается крите­рием оптимальности - правилом предпочтения сравниваемых вариантов. Основу критерия оптимальности составляет целевая функция, аргумен­там! которой являются управляемые параметры, которыми обычно при­нимаются все ил» некоторая часть внутренних парадов оотия»«Л- емого объекта. Целевая функция должна быть такой, чтобы по ее зна­чениям можно ОИЛо определить степень достижения цели. Например, ес­ли лучшии вариант характеризуется большими значениями целевой функ­ции, то оптимизация будет заключаться в поиске решения с максималь­ным значением т.» функции.» равной мере возможны целевые функций, требующие минимизации, но, в общем случае, минимизация монет быть представлена максимизацией путем изменения знака целевой функции. Аналогично можно іфелстасіп ь максимизацию через минимизацию.

В практике проектирования систем ВИ традиционно применяются экономические криіерау., а имеем функция представка приведенны­ми затратами или приведенным доходом, в первом случае оптимизация заключается в минимизации целевой функции, м> втором - в максими­зации.

Кроме целевой функции и перечня управляемых параметров в по­становку задачи оптимизации систек ВИС зачастую входят ограничения на пределы изменения параметров, продиктованные физическими, тех­нологическими или иными соображениями. При наличии ограничений за­дача параметрической оптимизации именуется задачей условной опти­мизации и экстремальное значение, полученное с учетом всех ограни­чений, называется условным. При отсутствии ограничений будет ре­шаться задача безусловной оптимизации с получением безусловного экстремуму.

в практике проектирования используется большое количество раз­личных методов поиска оптимального решения. Основные требования к методу поиска - надежность и приемлемая точность нахождения экс­тремума, а также малые потери на поиск, определяемые количеством

- 28 -

обращений к модели объекта (количеством вычислений значений целе­вой функции). Потери на поиск и точность определения экстремума зависят от особенностей конкрзтной задачи и выбранного метода по­иска, сущность которого определяется тем, как выбирается направле­ние поиска, т_;о есть направление изменения управляемых параметров.

Методы поиска традиционно классифицируются по следующим приз- ' накам:

1. В зависимости от характеристик экстремума, на поиск которо­го ориентирован метод, райличают методы условной и безусловной, локальной и глобальной оптимизации. Большинство методов непосред­ственно применяются для поиска безусловных локальных экстремумов. Использование этих методов в задачах условной оптимизации не вызы­вает принципиальных возражений, так как существуют апробированные приемы сведения задач условной оптимизации к безусловной. Поиск глобального (наилучшего) экстремума из нескольких или множества экстремальных значений целевой функции (локальных экстремумов, поиск которых весьма-затруднен) представляет большие трудности, и

в настоящее время отсутствуют надежные методы, позволяющие находит» глобальный экстремум с приемлемыми потерями на поиск.

2. В зависимости от количества управляемых параметров различав it методыодномерного и многомерного поиска. Одномерный аоиск, как правило, редко встречается в задачах проектирования, где количест­во управляемых параметров может быть от нескольких единиц до нес­кольких десятков. Но даже в этих условиях одномерный поиск может кспользоваться как вспомогательный для определения величины опти­мального шага поиска в выбранном направлении.

3. В зависимости от характера информации, используемой для вы­бора направления поиска, различают методы нулевого, первого и вто­рого порядка.;В методах первого порядка используют первые произ­водные целевой функции по управляемым параметрам. В методах второ­го порядка, кроме того, используют вторые производіше. В методах

- 29 -

нулевого порядка производные не используются,

В данных методических указаниях ограничимся только перечисле­нием наиболее известных методов поиска экстремума.

Методы безусловной оптимизации:

1. Метод наискорейшею спуска.

2. Метод градиента.

3. Метод Ньютона.

1. Метод сопрямэ иных градиентов

Ъ. Метод переменном метрики.

6. Метод покоординатного спуска (метод Гаусха-Зейделя;,

7. Метод Розенорока ^улучшенный метод покоординатного спуска).

8. Методы случайного поиска,

9. Методы одномерной оптимизации (золотого сечения, чисел Фи­боначчи И Др...

Методы условной оптимизации.

1. Метод штрафных функций,

2. Метод проекции вектор-градиента.

3. Проекционный метод.

В инвариантной части. МО САПР могут быть и другие коьлоненты, требуемые для задач проектирования, технология которого постоянно совершенствуется в соответствии с ростом требований к полноте и глубине проработки проектных решений.

5. ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ

Информационное обеспечение САПР предназначено для обслуживания автоматизированных процедур проектирования и представляет собой библиотеку или базу данных, в которой хранится проектная информа­ция в виде текстовых и графических документов, таблиц и т.п.

При разработке информационной базы необходимо определить ее структуру, т.е. состав информации, форму ее хранения в памяти ЭВМ,

Дата добавления: 2015-08-28