III Кубок Первоуральска по математике. 26 марта – 29 марта 2013 года

III Кубок Первоуральска по математике. 26 марта – 29 марта 2013 года

Игра «Домино». 6-7 класс. Решения. 26.03.2013.

0–0. Год проведения нынешнего Кубка делится на его номер: 2013:3=671. Найдите последний номер нашего Кубка (если он и дальше будет проводиться ежегодно), для которого это свойство тоже будет выполнено. (2010. Пусть N - номер Кубка. Тогда год его проведения равен (2013−3)+ N =2010+ N. Пусть год проведения делится на номер, т.е. 2010+ N делится на N. Значит, 2010 делится на N. Тогда наибольшее возможное N равно 2010.)

0–1. Приведите пример слова русского языка, в записи которого одна из букв повторяется не менее пяти раз. (В слове обороноспособность присутствует даже 7 одинаковых букв «о».)

0–2. Если Петя захочет купить 4 карандаша, то ему не хватит 3 рублей, а если захочет купить 3 карандаша, то у него останется 6 рублей. Сколько у Пети сейчас денег? (33 рубля. Составим уравнение 4 x -3=3 x +6, где x – цена карандаша. Из этого уравнения и найдём x =9, тогда у него было 4×9-3=33 рубля.)

0–3. Дано верное равенство: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45. Замените только один из знаков сложения на знак умножения так, чтобы, не добавляя никаких скобок и не убирая других знаков, значение выражения стало равным 100. (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8×9 = 100)

0–4. Из полного набора костяшек домино выкинули все дупли и кости с 0 («пустышки»). Какое наибольшее число доминошек нового комплекта можно выложить в ряд по стандартным правилам? (13. Рассмотрим граф, где вершины – цифры от 1 до 6, а рёбра – доминошки. Этот граф будет полным, степень каждой вершины будет равна 5. Теперь заметим, что выложенный по стандартным правилам ряд – это некоторый (возможно, самопересекающийся по вершинам) путь в нашем графе. Но любой путь имеет не более двух вершин, которые содержат нечётное количество рёбер из этого пути, так как это могут быть только его концы. Таким образом, если наш путь проходит через k (≥2) вершин, то не менее чем через (k -2) вершины он проходит чётное количество раз, то есть не более 4. Таким образом, количество «концов всех рёбер» нашего пути не более (4∙4+5+5)/2=13. Осталось построить пример: 12-23-34-45-56-61-13-35-51-14-46-62-24.)

0–5. Разрежьте фигуру, изображённую на рисунке, на две одинаковые части. (см.рис.)

0–6. Расставьте 32 королей на шахматной доске так, чтобы каждый бил ровно двух других. (например, см. расстановку на рисунке – отмечены клетки для королей)

1–1. Какое наименьшее число детей может быть в семье, если у каждого ребёнка в семье есть хотя бы одна сестра и хотя бы один брат? (4. В семье есть дети обоих полов, но тогда каждого пола хотя бы по два ребёнка.)

1–2. Что нужно поставить вместо знака вопроса: собака – 3, лошадь – 5, свинья – 3, баран – 2, петух – 8, корова – 2, утка –? (3. Шуточная задача «для самых маленьких». Собака – «гав», лошадь – «игого», свинья – «хрю», баран – «бе», петух – «кукареку», корова – «му», утка – «кря»; цифра указывает количество букв в соответствующем звукоподражании.)

1–3. Числа a и b изображены на числовой оси. Сколько из неравенств ab > 0; a + b < 0; a/b < 0; a – b > 0 верны? (3 – все, кроме первого)

1–4. Найдите какое-нибудь решение ребуса . (Одинаковые буквы – одинаковые цифры, разные буквы – разные цифры.) (Решений нет, т.к. в ребусе использованы 11 различных букв, а различных цифр, как это ни удивительно, только 10:J.)

1–5. Все ученики математического кружка для 5-7-х классов, кроме пятерых, учатся в 5 классе, все, кроме шестерых, учатся в шестом классе, и все, кроме семерых, семиклассники. Сколько всего человек занимается в этом кружке? (9. Т.к. в шестом и седьмом классе в сумме учатся 5 кружковцев, в пятом и седьмом – 6, в пятом и шестом – 7, то удвоенное количество кружковцев равно 5+6+7=18.)

1–6. В ряд выписаны натуральные числа 1, 2, 3, …, 2012, 2013. За одну операцию можно поменять местами любые два соседних числа, если их сумма меньше 3000. Укажите наибольшее число, которое в результате таких операций может оказаться на первом месте. (1500. Проводя по очереди операции с числом 1500 и его левым соседом, можно поставить число 1500 на первое место. Большего числа, чем 1500, на первом месте получить нельзя. Для того чтобы большее число попало на первое место, одна из операций должна поменять местами его с числом 1500. Но такая операция невозможна, поскольку сумма участвующих в ней чисел будет больше 3000.)

2–2. Сколько различных значений может принимать дробь ? (разные буквы – разные цифры, а одинаковые буквы – одинаковые цифры) (1. Всего используется ровно 10 цифр, значит, обязательно среди них есть цифра 0 и она в числителе, тогда данная дробь может принимать только 1 значение – 0.)

2–3. Обычные механические часы отстают каждый день на 6 минут. Через сколько дней они будут опять показывать верное время? (через 12×60/6= 120 дней, т.к. часы должны отстать ровно на полсуток)

2–4. За круглым столом сидят 2013 рыцарей и лжецов, причём есть и те, другие. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут. Каждый заявил, что среди его соседей один рыцарь и один лжец. Сколько лжецов могло быть за круглым столом? (671 лжец. Из высказывания рыцарей (которые есть) следует, что у рыцаря соседи разного вида – рыцарь и лжец, значит, рыцари сидят парами. Но тогда из высказывания сидящих рядом с ними лжецов следует, что около этих лжецов могут сидеть либо два лжеца (что невозможно – один из соседей уже рыцарь), либо два рыцаря, что и должно выполняться. Значит, рассадка циклически повторяется РРЛРРЛРРЛ…, тогда лжецы составляют ровно треть от общего количества – 2012:3=671.)

2–5. Какое наименьшее число королей можно поставить на шахматную доску так, чтобы они били все незанятые ими клетки? Приведите ответ и пример. (9 королей. На рисунке показано требуемое расположение девяти королей. Докажем, что меньшим числом нельзя обойтись. Действительно, в противном случае хотя бы в одной из девяти прямоугольных зон, выделенных на рисунке жирными линиями, не окажется ни одного короля. Но тогда клетка в этой зоне, отмеченная крестиком, очевидно, не будет побита ни одним королем, находящимся в другой зоне.)

2–6. Выпишите все десять различных цифр в некотором порядке так, что для любого натурального n (где 1£ n £10) сумма первых n цифр будет делиться на n. (Невозможно, т.к. сумма всех десяти цифр равна 45 и не делится на 10.)

3–3. Доктор Айболит раздал четырём заболевшим зверям 66 чудодейственных таблеток. Носорог получил на одну больше, чем крокодил, бегемот на одну больше, чем носорог, а слон - на одну больше, чем бегемот. Сколько таблеток придётся съесть слону? (18 таблеток. Пока звери не съели лекарство, заберём одну таблетку у носорога, две у бегемота и три у слона. Теперь у всех четверых поровну. Забрали мы 6 таблеток, то есть осталось 60 - по 15 у каждого. У слона забрали 3 таблетки, то есть Айболит прописал слону 18 таблеток.)

3–4. Сколькими способами можно выбрать два натуральных числа из первой сотни, разность которых равна 3, а произведение делится на 4? (49 способов. При разности 3 одно из чисел будет нечётным, а другое – чётным, тогда чётное число должно делиться на 4. Для каждого из 24-ти первых таких чисел первой сотни (4, 8, …, 96) парное число, отличающееся на 3, можно выбрать двумя способами (меньшее и большее), а для числа 100 парное число можно выбрать только одним способом (97), значит, всего 24×2+1=49 способов выбора нужной пары чисел.)

3–5. Расставьте все целые числа от 1 до 7 по кругу так, чтобы каждое из них делилось на разность своих соседей. (например, см. рис.)

3 – 6. Коля и Миша разрезали два одинаковых прямоугольника. У Коли получились 2 прямоугольника периметром 40 см каждый, а у Васи 2 прямоугольника периметром 50 см каждый. Какой периметр имели первоначальные прямоугольники? (60 см. Заметим, что, разрезая прямоугольники, Миша и Коля делали разрезы вдоль разных сторон, иначе их прямоугольники имели бы одинаковые периметры. Заметим также, что, используя стороны, полученные при разрезе (2 пары отрезков), можно составить еще один прямоугольник равный первоначальным. Значит, общий периметр новых четырёх прямоугольников (2×40+2×50=180) равен периметру трёх первоначальных прямоугольников. Тогда периметр первоначального прямоугольника равен 180/3=60 см.)

4–4. Отец и сын катаются на коньках по кругу. Время от времени отец обгоняет сына. После того, как сын переменил направление своего движения на противоположное, они стали встречаться в 5 раз чаще. На сколько процентов скорость отца больше скорости сына? (На 50%. Если количество кругов, которые пробегал сын до встречи, равнялось n, то отец за то же самое время пробегал n +1 круг (он догонял сына). После смены направления движения отец и сын стали встречаться, когда в сумме пробегают целый круг, и это в 5 раз чаще, чем раньше. Значит, до этого они встречались, когда в сумме пробегали 5 кругов. Отсюда n +(n +1) = 5, значит n =2, n +1=3, и скорость отца больше скорости сына на 50%.)

4–5. Дед звал внука к себе в деревню: «Вот посмотришь, какой я необыкновенный сад посадил! У меня там растут груши и яблони, причём яблони посажены так, что на расстоянии 10 метров от каждой яблони растут ровно две груши». _ «Ну и что тут интересного, - ответил внук. - У тебя, значит, яблонь вдвое меньше, чем груш». «А вот и не угадал, - улыбнулся дед. - Яблонь у меня в саду вдвое больше, чем груш.» Нарисуйте, как могли расти яблони и груши в саду у деда. (Например, сад может выглядеть так, как показано на рисунке.)

4–6. Зачеркните все шестнадцать точек, изображённых на рисунке, замкнутой шестизвенной ломаной, не проводя звеньев по линиям сетки. (пример см. на рисунке)

5–5. Пять футбольных команд провели однокруговой турнир - каждая команда сыграла с каждой по разу. За победу начислялось 3 очка, за ничью - 1 очко, за проигрыш очков не давалось. Четыре команды набрали соответственно 1, 2, 5 и 7 очков. А сколько очков набрала пятая команда? (12 очков. Каждая команда провела 4 игры. Ясно, что первая команда один раз сыграла вничью, а остальные игры проиграла. Вторая имеет две ничьи и два поражения. Третья команда пять очков на одних ничьих набрать не могла, стало быть, она один раз выиграла, кроме того, у неё две ничьи и поражение. Четвёртая команда победила два раза (если бы один, то ей пришлось бы набрать в трёх играх на одних ничьих 4 очка, что невозможно). Также у этой команды есть ничья и поражение. В итоге первые четыре команды выиграли 3 раза, а проиграли 7 раз. Однако число побед должно равняться числу поражений. Значит, 4 раза они проиграли пятой команде, и у той 12 очков. Нетрудно привести пример турнира, где такое распределение очков возможно. Пусть пятая команда выиграла у всех, четвёртая - у первой и второй, третья - у первой, а все остальные игры закончились вничью. Тогда у каждой команды будет названное число очков.)

5–6. Представим, что все натуральные числа выписали в ряд друг за другом: 1234567891011... Какая цифра стоит на 34788-м месте? (7. Среди чисел, которые будут выписаны до 34788-ой цифры включительно будут 9 однозначных, 90 двузначных, 900 трёхзначных – всего 9+90∙2+900∙3=2889 цифр, и, значит, (34788-2889)/4=7974,75 четырёхзначных. То есть будут выписаны 7974 четырёхзначных числа от 1000 до 8973 и три цифры следующего – 8974. Таким образом, интересующая нас цифра – это третья цифра числа 8974, то есть 7.)

6–6. Натуральный делитель натурального числа называется собственным, если он не равен этому числу и единице. Найдите все натуральные числа, у которых самый большой собственный делитель в три раза больше самого маленького. (12 и 27. Пусть 1= d ₁< d ₂<…< d_{k -1}< d_k = n - упорядоченный список делителей числа n, тогда n = d ₂× d_{k -1} и d_{k -1}=3 d ₂. Кроме того, 3 очевидным образом является делителем числа n, значит, d ₂£3. Разобрав оба возможных значения для d ₂ (2 и 3), получим, что n =2×6=12 или n =3×9=27.)

Дата добавления: 2015-08-28