Кафедра высшей математики

Кафедра высшей математики	ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ	С^о
Ряд называется функциональным, если члены его являются функциями от х, т.е. . Совокупность Х значений х, при которых функциональный ряд сходится, называется областью сходимости функционального ряда. Сумма функционального ряда . Остаток функционального ряда . Для сходящегося в области Х ряда при всех . рядом называется функциональный ряд вида , (1) где - постоянные числа, называемые коэффициентами степенного ряда; - фиксированная точка на числовой оси. При = 0 степенной ряд имеет вид (2) Если ряд (2) сходится, а расходится, то интервал называется интервалом сходимости степенного ряда (2). Число R называют радиусом сходимости степенного ряда (2). Определение радиуса сходимости степенного ряда через его коэффициенты: или . Замечание 1. Возможны случаи, когда или . Замечание 2. Интервалом сходимости степенного ряда (1) является интервал .	Замечание 3. Для определения области сходимости степенного ряда необходимо исследовать cходимость данного ряда на концах интервала сходимости. Замечание 4. Внутри интервала сходимости степенной ряд можно интегрировать и дифференцировать почленно. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ Если функция является аналитической в окрестности точки , то имеет место разложение функции в ряд Тейлора. Разложение функции в ряд Маклоренa (при ) Основные разложения	РЯДЫ ФУРЬЕ Теорема Дирихле. Функция f(x), удовлетворяющая на интервале (-π;π) условиям Дирихле (т.е. функция ограничена, имеет не более чем конечное число точек разрыва 1 рода и точек строгого экстремума) во всякой точке этого интервала, в которой она непрерывна, разлагается в тригонометрический ряд Фурье = , (3) где коэффициенты Фурье определяются по формулам: ; ; Неполные ряды Фурье Если функция - четная, то коэффициенты ряда (3): , (n = 0,1,2,...) Если функция - нечетная, то коэффициенты ряда (3): , (n = 1,2,..) Ряды Фурье периода Если функция , удовлетворяет условиям Дирихле в интервале (-ℓ;ℓ) длины 2ℓ, то в точках непрерывности функции, принадлежащих этому интервалу, справедливо разложение = , где (n = 0,1,2,…), (n = 1,2,…).

Дата добавления: 2015-08-28