Проверка статистических гипотез

Проверка статистических гипотез

Статистические гипотезы

Определения

Пусть в (статистическом) эксперименте доступна наблюдению случайная величина, распределение которой известно полностью или частично. Тогда любое утверждение, касающееся называется статистической гипотезой. Гипотезы различают по виду предположений, содержащихся в них:

• Статистическая гипотеза, однозначно определяющая распределение , то есть , где какой-то конкретный закон, называется простой.

• Статистическая гипотеза, утверждающая принадлежность распределения к некоторому семейству распределений, то есть вида , где — семейство распределений, называется сложной.

На практике обычно требуется проверить какую-то конкретную и как правило простую гипотезу . Такую гипотезу принято называть нулевой. При этом параллельно рассматривается противоречащая ей гипотеза , называемая конкурирующей или альтернативной.

Выдвинутая гипотеза нуждается в проверке, которая осуществляется статистическими методами, поэтому гипотезу называют статистической. Для проверки гипотезы используют критерии, позволяющие принять или опровергнуть гипотезу.

В большинстве случаев статистические критерии основаны на случайной выборке фиксированного объема из распределения . В последовательном анализе выборка формируется в ходе самого эксперимента и потому её объем является случайной величиной.

Пример

Пусть дана независимая выборка из нормального распределения, где — неизвестный параметр. Тогда , где — фиксированная константа, является простой гипотезой, а конкурирующая с ней — сложной.

Этапы проверки статистических гипотез

1. Формулировка основной гипотезы и конкурирующей гипотезы .

2. Задание уровня значимости , на котором в дальнейшем и будет сделан вывод о справедливости гипотезы. Он равен вероятности допустить ошибку первого рода.

3. Расчёт статистики критерия такой, что:

• её величина зависит от исходной выборки ;

• по её значению можно делать выводы об истинности гипотезы ;

• сама статистика должна подчиняться какому-то известному закону распределения, так как сама является случайной в силу случайности .

4. Построение критической области. Из области значений выделяется подмножество таких значений, по которым можно судить о существенных расхождениях с предположением. Его размер выбирается таким образом, чтобы выполнялось равенство . Это множество и называется критической областью.

5. Вывод об истинности гипотезы. Наблюдаемые значения выборки подставляются в статистику и по попаданию (или непопаданию) в критическую область выносится решение об отвержении (или принятии) выдвинутой гипотезы .

Виды критической области

Выделяют три вида критических областей:

• Двусторонняя критическая область определяется двумя интервалами , где находят из условий .

• Левосторонняя критическая область определяется интервалом , где находят из условия .

• Правосторонняя критическая область определяется интервалом , где находят из условия .

Проверка гипотез

1. Постановка задачи

Статистической гипотезой называется непротиворечивое утверждение, касающееся вида распределения имеющейся выборки.

Основная гипотеза, нуждающаяся в проверке называется нулевой или нуль-гипотезой. Любая другая гипотеза, относительно которой проверяют нуль-гипотезу, называется альтернативой. Например: пусть имеется выборка из распределения хи-квадрат с N степенями свободы. Нуль-гипотеза состоит в том, что –

H₀: N=2,

альтернатива –

H₁: N>2.

На практике альтернативу часто опускают, формулируя только нуль-гипотезу.

Гипотеза называется простой, если она однозначно определяет функцию распределения выборки. В противном случае гипотеза называется сложной. В примере: H₀ – это простая гипотеза, а H₁ – это сложная альтернатива.

Гипотезы бывают параметрическими, когда вид распределения известен заранее, с точностью до численных значений его параметров – как в примере выше. Кроме того, гипотезы могут быть непараметрическими.

Например: пусть имеется выборка из неизвестного распределения F. Нуль-гипотеза состоит в том, что –

H₀: F – это равномерное распределение.

2. Проверка гипотез

Метод проверки статистической гипотезы называется статистическим критерием. Он строится на основе имеющейся выборки x=(x₁,…, x_I) с помощью измеримой функции S(x), называемой статистикой критерия. В пространстве значений статистики S(x) выбирается область C, называемая критической. Если S(x) ∈ С, то гипотезу отклоняют (отвергают), в противном случае – принимают.

Статистика S(x) должна быть устроена особым образом – так, чтобы ее распределение не зависело от неизвестных параметров распределения выборки x. Кроме того функция распределения S(x) должна быть табулирована заранее.

В большинстве практических приложений статистика S(x) строится из соображений нормальности.

3. Ошибки 1-го и 2-го родов

Проверка статистической гипотезы не дает ее логического подтверждения или опровержения. Проверка только утверждает, что "имеющиеся данные (не) противоречат» выдвинутому предположению". Поэтому при проверке статистической гипотезы возможны случайные ошибки, которые могут быть двух родов.

Ошибка 1-го рода происходит тогда, когда нуль-гипотеза верна, но отвергается согласно критерию.

Ошибка 2-го рода происходит тогда, когда нуль-гипотеза не верна, но принимается согласно критерию.

Вероятность ошибки первого рода называется уровнем значимости и обозначается α.

Обычно уровень значимости выбирается равным 0.01, 0.05, или 0.1 и по этому значению подбирают критическую область C_α.

4. Пример проверки гипотезы

Пусть имеется выборка x=(x₁,…, x_I) из нормального распределения –

x_i ~ N(m, σ²)

с известной дисперсией σ² и неизвестным средним m.

Проверяется простая нуль-гипотеза –

H₀: m=0.

Альтернативу мы сформулируем позже.

В качестве статистического критерия возьмем функцию

,

которая при m=0 подчиняется стандартному нормальному распределению –

S ~ N(0, 1).

При заданном уровне значимости α критическая область определяется условием –

Pr{|S|> C_α }= α.

Поэтому

C_α = Φ^–1(1– α/2).

Введем теперь альтернативную гипотезу –

H₁: m=a,

и найдем величину ошибки 2-го рода. Ее величина

β=Pr{|S|< C_α | m=a}

рассчитывается при условии

S ~ N(а, 1).

Поэтому,

β=Φ(C_α –a) – Φ(–C_α –a).

На листе Hypothesis приведены расчеты этого примера.

Рис.17 Ошибки 1-го и 2-го родов при проверке гипотез

5. Критерий согласия хи-квадрат

Критерий согласия хи-квадрат проверяет соответствие между теоретическими вероятностями P₁, P₂, …и их эмпирическими частотными оценками I₁/I, I₂/I,…

Для примера рассмотрим выборку x=(x₁,…, x_I) из неизвестного распределения –

x_i ~ F(x).

Нуль гипотеза состоит в конкретизации этого распределения, т.е. в утверждении типа «F – это нормальное распределение с нулевым средним и дисперсией равной 2»

В соответствие с выбранным гипотетическим распределением, область изменения случайной величины X, разбивается на R классов (корзин) и рассчитываются теоретические вероятности P₁, P₂, …, P_R попадания в каждую из корзин. С другой стороны определяется, сколько элементов выборки попало в каждую из этих корзин – I₁, I₂, …, I_R и вычисляются эмпирические вероятности F_r=I_r/I.

Статистикой критерия согласия служит случайная величина

,

(17)

которая при I → ∞ стремится к распределению хи-квадрат с R–1 степенями свободы. Число и размеры корзин надо выбирать так, чтобы

IP_r > 6.

Критическая область на уровне значимости α определяется условием –

S > χ^–2(1–α | R–1).

Критерий согласия хи-квадрат можно применять и в том случае, когда теоретическое распределение F(x | p) известно с точностью до неизвестных параметров p =(p₁,…, p_M). Эти параметры предварительно оцениваются по той же выборке x и подставляются в функцию F(x | p). В этом случае следует изменить число степеней свободы на R–M–1.

6. F-критерий

Этот критерий применяется для проверки нуль-гипотезы о равенстве дисперсий в двух нормальных выборках: x=(x₁,…, x_I) и y=(y₁,…, yJ). Пусть

– суть оценки выборочных дисперсий, найденные по формуле.

Если

,

то обозначим

.

Иначе –

.

Статистикой F-критерия служит случайная величина

,

которая подчиняется распределению Фишера с N1, N2 степенями свободы.

Критическая область на уровне значимости α определяется условием –

S > F^–1(1–α | N₁, N₂).

F-критерий очень чувствителен к нарушению предположения о нормальности распределений выборок, поэтому его не рекомендуется применять в практических приложениях.

3. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ

3.1. Сущность задачи проверки статистических гипотез

Статистическая гипотеза представляет собой некоторое предположение о законе распределения случайной величины или о параметрах этого закона, формулируемое на основе выборки [3, 5, 11]. Примерами статистических гипотез являются предположения: генеральная совокупность распределена по экспоненциальному закону; математические ожидания двух экспоненциально распределенных выборок равны друг другу. В первой из них высказано предположение о виде закона распределения, а во второй – о параметрах двух распределений. Гипотезы, в основе которых нет никаких допущений о конкретном виде закона распределения, называют непараметрическими, в противном случае – параметрическими.

Гипотезу, утверждающую, что различие между сравниваемыми характеристиками отсутствует, а наблюдаемые отклонения объясняются лишь случайными колебаниями в выборках, на основании которых производится сравнение, называют нулевой (основной) гипотезой и обозначают Н0. Наряду с основной гипотезой рассматривают и альтернативную (конкурирующую, противоречащую) ей гипотезу Н1. И если нулевая гипотеза будет отвергнута, то будет иметь место альтернативная гипотеза.

Различают простые и сложные гипотезы. Гипотезуназывают простой, если она однозначно характеризует параметр распределения случайной величины. Например, если l является параметром экспоненциального распределения, то гипотеза Н0 о равенствеl = 10–простая гипотеза. Сложной называют гипотезу, которая состоит из конечного или бесконечного множества простых гипотез. Сложная гипотеза Н0 о неравенствеl > 10 состоит из бесконечного множества простых гипотез Н0 о равенствеl =b_i , где b_i – любое число, большее 10. Гипотеза Н0 о том, что математическое ожидание нормального распределения равно двум при неизвестной дисперсии, тоже является сложной. Сложной гипотезой будет предположение о распределении случайной величины Х по нормальному закону, если не фиксируются конкретные значения математического ожидания и дисперсии.

Проверка гипотезы основывается на вычислении некоторой случайной величины – критерия, точное или приближенное распределение которого известно. Обозначим эту величину через z, ее значение является функцией от элементов выборки z = z (x₁, x₂, …, x_n). Процедура проверки гипотезы предписывает каждому значению критерия одно из двух решений – принять или отвергнуть гипотезу. Тем самым все выборочное пространство и соответственно множество значений критерия делятся на два непересекающихся подмножества S ₀ и S ₁. Если значение критерия z попадает в область S ₀, то гипотеза принимается, а если в область S ₁, – гипотеза отклоняется. Множество S ₀называется областью принятия гипотезы или областью допустимых значений, а множество S ₁ – областью отклонения гипотезы или критической областью. Выбор одной области однозначно определяет и другую область.

Принятие или отклонение гипотезы Н0 по случайной выборке соответствует истине с некоторой вероятностью и, соответственно, возможны два рода ошибок. Ошибка первого рода возникает с вероятностью a тогда, когда отвергается верная гипотеза Н0 и принимается конкурирующая гипотеза Н1. Ошибка второго рода возникает с вероятностью b в том случае, когда принимается неверная гипотеза Н0, в то время как справедлива конкурирующая гипотеза Н1. Доверительная вероятность – это вероятность не совершить ошибку первого рода и принять верную гипотезу Н0. Вероятность отвергнуть ложную гипот езу Н0 называется мощностью критерия. Следовательно, при проверке гипотезы возможны четыре варианта исходов.

Например, рассмотрим случай, когда некоторая несмещенная оценка параметра q вычислена по выборке объема n, и эта оценка имеет плотность распределения f (q).

Области и отклонения гипотезы

Предположим, что истинное значение оцениваемого параметра равно Т. Если рассматривать гипотезу Н0 о равенстве q =Т, то насколько велико должно быть различие между q и Т, чтобы эту гипотезу отвергнуть. Ответить на данный вопрос можно в статистическом смысле, рассматривая вероятность достижения некоторой заданной разности между q и Т на основе выборочного распределения параметра q.

Целесообразно полагать одинаковыми значения вероятности выхода параметра q за нижний и верхний пределы интервала. Такое допущение во многих случаях позволяет минимизировать доверительный интервал, т.е. повысить мощность критерия проверки. Суммарная вероятность того, что параметр q выйдет за пределы интервала с границами q 1–a /2 и q a /2, составляет величину a. Эту величину следует выбрать настолько малой, чтобы выход за пределы интервала был маловероятен. Если оценка параметра попала в заданный интервал, то в таком случае нет оснований подвергать сомнению проверяемую гипотезу, следовательно, гипотезу равенства q =Т можно принять. Но если после получения выборки окажется, что оценка выходит за установленные пределы, то в этом случае есть серьезные основания отвергнуть гипотезу Н0. Отсюда следует, что вероятность допустить ошибку первого рода равна a (равна уровню значимости критерия).

Если предположить, например, что истинное значение параметра в действительности равно Т+ d, то согласно гипотезе Н0 о равенстве q =Т – вероятность того, что оценка параметра q попадет в область принятия гипотезы, составит b.

При заданном объеме выборки вероятность совершения ошибки первого рода можно уменьшить, снижая уровень значимости a. Однако при этом увеличивается вероятность ошибки второго рода b (снижается мощность критерия). Аналогичные рассуждения можно провести для случая, когда истинное значение параметра равно Т – d.

Единственный способ уменьшить обе вероятности состоит в увеличении объема выборки (плотность распределения оценки параметра при этом становится более "узкой"). При выборе критической области руководствуются правилом Неймана – Пирсона: следует так выбирать критическую область, чтобы вероятность a была мала, если гипотеза верна, и велика в противном случае. Однако выбор конкретного значения a относительно произволен. Употребительные значения лежат в пределах от 0,001 до 0,2. В целях упрощения ручных расчетов составлены таблицы интервалов с границами q 1_–a /2 и q a /2 для типовых значений a и различных способов построения критерия.

При выборе уровня значимости необходимо учитывать мощность критерия при альтернативной гипотезе. Иногда большая мощность критерия оказывается существеннее малого уровня значимости, и его значение выбирают относительно большим, например 0,2. Такой выбор оправдан, если последствия ошибок второго рода более существенны, чем ошибок первого рода. Например, если отвергнуто правильное решение "продолжить работу пользователей с текущими паролями", то ошибка первого рода приведет к некоторой задержке в нормальном функционировании системы, связанной со сменой паролей. Если же принято решения не менять пароли, несмотря на опасность несанкционированного доступа посторонних лиц к информации, то эта ошибка повлечет более серьезные последствия.

В зависимости от сущности проверяемой гипотезы и используемых мер расхождения оценки характеристики от ее теоретического значения применяют различные критерии. К числу наиболее часто применяемых критериев для проверки гипотез о законах распределения относят критерии хи-квадрат Пирсона, Колмогорова, Мизеса, Вилкоксона, о значениях параметров – критерии Фишера, Стьюдента.

Типовые распределения

При проверке гипотез широкое применение находит ряд теоретических законов распределения. Наиболее важным из них является нормальное распределение. С ним связаны распределения хи-квадрат, Стьюдента, Фишера, а также интеграл вероятностей. Для указанных законов функции распределения аналитически не представимы. Значения функций определяются по таблицам или с использованием стандартных процедур пакетов прикладных программ. Указанные таблицы обычно построены в целях удобства проверки статистических гипотез в ущерб теории распределений – они содержат не значения функций распределения, а критические значения аргумента z (a).

Для односторонней критической области z (a) = z _1–a, т.е. критическое значение аргумента z (a) соответствует квантили z _1–a уровня 1– a, так как , рис. 3.3.

Односторонняя критическая область

Для двусторонней критической области, с уровнем значимости a, размер левой области a 2, правой a 1 (a 1+a 2=a), рис. 3.4. Значения z (a 2) и z (a 1) связаны с квантилями распределения соотношениями z (a 1)= z _1–a ₁, z (a 2)= z a₂, так как , . Для симметричной функции плотности распределения f (z) критическую область выбирают из условия a 1=a 2=a /2 (обеспечивается наибольшая мощность критерия). В таком случае левая и правая границы будут равны | z (a /2)|.

Двусторонняя критическая область

Нормальное распределение

Этот вид распределения является наиболее важным в связи с центральной предельной теоремой теории вероятностей: распределение суммы независимых случайных величин стремится к нормальному с увеличением их количества при произвольном законе распределения отдельных слагаемых, если слагаемые обладают конечной дисперсией. Так как реальные физические явления часто представляют собой результат суммарного воздействия многих факторов, то в таких случаях нормальное распределение является хорошим приближением наблюдаемых значений. Функция плотности нормального распределения

– унимодальная, симметричная, аргумент х может принимать любые действительные значения.

Плотность нормального распределения

Функция плотности нормального распределения стандартизованной величины u имеет вид .

Вычисление значений функции распределения Ф(u) для стандартизованного неотрицательного аргумента u (u ³0) можно произвести с помощью полинома наилучшего приближения [9, стр. 694]

Ф(u)= 1– 0,5(1 + 0,196854 u + 0,115194 u ² +

+ 0,000344 u ³ + 0,019527 u ⁴)^{– 4}.

Такая аппроксимация обеспечивает абсолютную ошибку не более 0,00025. Для вычисления Ф(u) в области отрицательных значений стандартизованного аргумента u (u <0) следует воспользоваться свойством симметрии нормального распределения Ф(u) = 1 –Ф(– u).

Иногда в справочниках вместо значений функции Ф(u) приводят значения интеграла вероятностей

, u > 0.

Интеграл вероятностей связан с функцией нормального распределения соотношением Ф(u) = 0,5 + F (u).

Распределение хи-квадрат

Распределению хи-квадрат (c 2-распределению) с k степенями свободы соответствует распределение суммы квадратов n стандартизованных случайных величин u_i, каждая из которых распределена по нормальному закону, причем k из них независимы, n ³ k. Функция плотности распределения хи-квадрат с k степенями свободы

, x і0,

где х = c ², Г(k/ 2) – гамма-функция.

Число степеней свободы k определяет количество независимых слагаемых в выражении для c 2. Функция плотности при k, равном одному или двум, – монотонная, а при k >2 – унимодальная, несимметричная.

Плотность распределения хи-квадрат

Математическое ожидание и дисперсия величины c 2 равны соответственно k и 2 k. Распределение хи-квадрат является частным случаем более общего гамма-распределения, а величина, равная корню квадратному из хи-квадрат с двумя степенями свободы, подчиняется распределению Рэлея.

С увеличением числа степеней свободы (k >30) распределение хи-квадрат приближается к нормальному распределению с математическим ожиданием k и дисперсией 2 k. В таких случаях критическое значение c 2(k; a)» u _1– a (k, 2 k), где u _1– a (k, 2 k) – квантиль нормального распределения. Погрешность аппроксимации не превышает нескольких процентов.

Распределение Стьюдента

Распределение Стьюдента (t -распределение, предложено в 1908 г. английским статистиком В. Госсетом, публиковавшим научные труды под псевдонимом Student) характеризует распределение случайной величины , где u ₀, u ₁, …, u_k взаимно независимые нормально распределенные случайные величины с нулевым средним и конечной дисперсией. Аргумент t не зависит от дисперсии слагаемых. Функция плотности распределения Стьюдента

(3.5)

Величина k характеризует количество степеней свободы. Плотность распределения – унимодальная и симметричная функция, похожая на нормальное распределение, рис. 3.7.

Область изменения аргумента t от –Ґ до Ґ. Математическое ожидание и дисперсия равны 0 и k /(k –2) соответственно, при k >2. По сравнению с нормальным распределение Стьюдента более пологое, оно имеет меньшую дисперсию. Это отличие заметно при небольших значениях k, что следует учитывать при проверке статистических гипотез (критические значения аргумента распределения Стьюдента превышают аналогичные показатели нормального распределения). Таблицы распределения содержат значения для односторонней или двусторонней критической области.

Распределение Стьюдента применяется для описания ошибок выборки при k Ј30. При k >100 данное распределение практически соответствует нормальному, для 30 < k < 100 различия между распределением Стьюдента и нормальным распределением составляют несколько процентов. Поэтому относительно оценки ошибок малыми считаются выборки объемом не более 30 единиц, большими – объемом более 100 единиц. При аппроксимации распределения Стьюдента нормальным распределением для односторонней критической области вероятность Р{ t > t (k; a)} = u _1– a (0, k /(k –2)), где u _1– a (0, k /(k– 2)) – квантиль нормального распределения. Аналогичное соотношение можно составить и для двусторонней критической области.

Распределение Фишера

Распределению Р.А. Фишера (F -распределению Фишера – Снедекора) подчиняется случайная величина х =[(y ₁/ k ₁)/(y ₂/ k ₂)],равная отношению двух случайных величин у1и у2, имеющих хи-квадрат распределение с k ₁ и k ₂ степенями свободы. Область изменения аргумента х от 0 до ¥. Плотность распределения

.

В этом выражении k ₁обозначаетчисло степеней свободы величины y ₁ с большей дисперсией, k ₂– число степеней свободы величины y ₂ с меньшей дисперсией. Плотность распределения – унимодальная, несимметричная, рис. 3.8.

Рис. 3.8. Плотность распределения Фищера

Математическое ожидание случайной величины х равно k ₂/(k ₂–2) при k ₂>2, дисперсия т2 = [2 k ₂² (k ₁+ k ₂–2)]/[ k ₁(k ₂–2)²(k ₂–4)] при k ₂ > 4. При k ₁ > 30 и k ₂ > 30 величина х распределена приближенно нормально с центром (k ₁ – k ₂)/(2 k ₁ k ₂) и дисперсией (k ₁ + k ₂)/(2 k ₁ k ₂).

3.3. Проверка гипотез о законе распределения

Обычно сущность проверки гипотезы о законе распределения ЭД заключается в следующем. Имеется выборка ЭД фиксированного объема, выбран или известен вид закона распределения генеральной совокупности. Необходимо оценить по этой выборке параметры закона, определить степень согласованности ЭД и выбранного закона распределения, в котором параметры заменены их оценками. Пока не будем касаться способов нахождения оценок параметров распределения, а рассмотрим только вопрос проверки согласованности распределений с использованием наиболее употребительных критериев.

Критерий хи-квадрат К. Пирсона

Использование этого критерия основано на применении такой меры (статистики) расхождения между теоретическим F (x) и эмпирическим распределением F п(x), которая приближенно подчиняется закону распределения c 2. Гипотеза Н0 о согласованности распределений проверяется путем анализа распределения этой статистики. Применение критерия требует построения статистического ряда.

Итак, пусть выборка представлена статистическим рядом с количеством разрядов y. Наблюдаемая частота попаданий в i -й разряд n_i. В соответствии с теоретическим законом распределения ожидаемая частота попаданий в i -й разряд составляет F_i. Разность между наблюдаемой и ожидаемой частотой составит величину (n i – F_i). Для нахождения общей степени расхождения между F (x) и F п(x) необходимо подсчитать взвешенную сумму квадратов разностей по всем разрядам статистического ряда

.

Величина c 2 при неограниченном увеличении n имеет распределение хи-квадрат (асимптотически распределена как хи-квадрат). Это распределение зависит от числа степеней свободы k, т.е. количества независимых значений слагаемых в выражении (3.7). Число степеней свободы равно числу y минус число линейных связей, наложенных на выборку. Одна связь существует в силу того, что любая частота может быть вычислена по совокупности частот в оставшихся y – 1 разрядах. Кроме того, если параметры распределения неизвестны заранее, то имеется еще одно ограничение, обусловленное подгонкой распределения к выборке. Если по выборке определяются f параметров распределения, то число степеней свободы составит k= y– f –1.

Область принятия гипотезы Н0 определяется условием c 2£ c 2(k; a), где c 2(k; a) – критическая точка распределения хи-квадрат с уровнем значимости a. Вероятность ошибки первого рода равна a, вероятность ошибки второго рода четко определить нельзя, потому что существует бесконечно большое множество различных способов несовпадения распределений. Мощность критерия зависит от количества разрядов и объема выборки. Критерий рекомендуется применять при n> 200, допускается применение при n> 40, именно при таких условиях критерий состоятелен (как правило, отвергает неверную нулевую гипотезу).

Пример 3.1. Проверить с помощью критерия хи-квадрат гипотезу о нормальности распределения случайной величины, представленной статистическим рядом в табл. 2.4 при уровне значимости a = 0,05.

Решение. В примере 2.3 были вычислены значения оценок моментов: m 1=27,51, m ₂ = 0,91, s = 0,96. На основе табл. 2.4 построим табл . 3.2, иллюстрирующую расчеты.

В этой таблице:

n_i – частота попаданий элементов выборки в i- й интервал;

x_i – верхняя граница i- гоинтервала;

F (x_i) – значение функции нормального распределения;

D F_i – теоретическое значение вероятности попадания случайной величины в i -й интервал

F_i = D F_i * n – теоретическая частота попадания случайной величины в i -й интервал;

(n _i – F_i)²/ F_i – взвешенный квадрат отклонения.

Для нормального закона возможные значения случайной величины лежат в диапазоне от – ¥ до ¥, поэтому при расчетах оценок вероятностей крайний левый и крайний правый интервалы расширяются до – ¥ и ¥ соответственно. Вычислить значения функции нормального распределения можно, воспользовавшись стандартными функциями табличного процессора или полиномом наилучшего приближения.

Сумма взвешенных квадратов отклонения c 2 =1,32. Число степеней свободы k= 6–1–2=3 (уклонения связаны линейным соотношением , кроме того, на уклонения наложены еще две связи, так как по выборке были определены два параметра распределения). Критическое значение c 2(3;0,05)= 7,815 определяется по табл. П.3 приложения. Поскольку соблюдается условие c 2 <c ² (3;0,05), то полученный результат нельзя считать значимым и гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности не противоречит ЭД.

Дата добавления: 2015-08-27