1.3. Методы расчета линейных электрических цепей

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЦЕПЕЙ

ЧАСТЬ 1

(Сокращённый вариант)

1.3. Методы расчета линейных электрических цепей

Рассчитать электрическую цепь – это значит определить токи во всех ветвях цепи и определить напряжения на всех элементах цепи.

В дальнейшем будут анализироваться линейные электрические цепи, поэтому и методы расчета будут рассматриваться такие, которые приемлемы для этих цепей. Некоторые из ниже рассматриваемых методов приемлемы для расчета и нелинейных цепей, но об этом будет сказано в соответствующем разделе.

Каждый расчет начинается с расстановки условно–положительных направлений токов и напряжений, которые обозначаются с помощью стрелок (рис. 1.14).

Эти направления токов и напряжений называются условно–положительными, т. к. заранее, как правило, мы не знаем действительного направления тока и напряжения. Поэтому установка направлений может быть произвольной. Однако, после расчета цепи, там, где значения токов и напряжений будут положительными, означает, что мы правильно показали их направления, а там, где значения будут отрицательными – необходимо изменить направления токов и напряжений в схеме на противоположные. Конечно, целесообразно сразу, если это возможно, правильно расставить токи и напряжения, исходя из понимания электрических процессов в цепи.

При расстановке стрелок, указывающих положительные направления токов и напряжений, целесообразно напротив элемента ставить стрелку напряжения, а стрелку тока лучше ставить рядом с проводником ветви (рис. 1.14). Ставить стрелки в самом элементе или в токоведущем проводнике недопустимо, т. к. это искажает начертание схемы, а в ряде случаев может ввести в заблуждение при разборе схемы.

Необходимо помнить, что направление напряжения на элементе совпадает с направлением тока.

Основные законы, на которых строится расчет любых цепей – это закон Ома и два закона Кирхгофа. Обычно к началу прохождения данного курса студенты знакомы с этими законами и в различной степени ими владеют. Напомним эти законы.

Закон Ома – падение напряжения на элементе равно произведению величины сопротивления этого элемента на величину тока, протекающего через него.

Первый закон Кирхгофа – сумма токов, втекающих в узел, равна сумме токов, вытекающих из узла.

Второй закон Кирхгофа – в замкнутом контуре алгебраическая сумма напряжений источников электрической энергии равна алгебраической сумме падений напряжений на элементах контура. При обходе контура в произвольно выбранном направлении значения напряжений берутся с плюсом, если направление обхода контура и направления напряжений совпадают и берутся с минусом, если этого совпадения нет.

1.3.1. Расчет методом эквивалентного преобразования

Этот метод применяется для не очень сложных пассивных электрических цепей, такие цепи встречаются довольно часто, и поэтому этот метод находит широкое применение. Основная идея метода состоит в том, что электрическая цепь последовательно преобразуется ("сворачивается") до одного эквивалентного элемента, как это показано на рис. 1.13, и определяется входной ток. Затем осуществляется постепенное возвращение к исходной схеме ("разворачивание") с последовательным определением токов и напряжений.

Последовательность расчёта:

1. Расставляются условно–положительные направления токов и напряжений.

2. Поэтапно эквивалентно преобразуются участки цепи. При этом на каждом этапе во вновь полученной после преобразования схеме расставляются токи и напряжения в соответствии с п. 1.

3. В результате эквивалентного преобразования определяется величина эквивалентного сопротивления цепи.

4. Определяется входной ток цепи с помощью закона Ома.

5. Поэтапно возвращаясь к исходной схеме, последовательно находятся все токи и напряжения.

Рассмотрим этот метод на примере (рис. 1.15). В исходной схеме расставляем условно–положительные направления токов в ветвях и напряжений на элементах. Нетрудно согласиться, что под действием источника E с указанной полярностью направление токов и напряжений такое, какое показано стрелками. Для удобства дальнейшего пояснения метода, обозначим на схеме узлы а и б. При обычном расчете это можно не делать.

Исходные данные: R₁=R₄=25 Ом; R₂=R₃=100 Ом; Е=10 В.

Далее осуществляем последовательно эквивалентное преобразование схемы. Вначале объединяем параллельно соединенные элементы, и находим (рис. 1.15, б):

.

Подставляя численные значения, находим: R_2,3= 50 Ом.

Затем, объединяя все последовательно соединенные элементы, завершаем эквивалентное преобразование схемы (рис. 1.15, в):

.

Находим: R_Экв= 100 Ом.

В последней схеме (рис. 1.15, в) находим ток I ₁:

.

Ток будет равен: I₁= 0,1 А.

Теперь возвращаемся к предыдущей схеме (рис. 1.15, б). Видим, что найденный ток I ₁ протекает через R ₁, R _2,3, R ₄ и создает на них падение напряжения. Найдем эти напряжения:

.

Возвращаясь к исходной схеме (рис. 1.15, а), видим, что найденное напряжение U _аб прикладывается к элементам R ₂ и R ₃.

Значит, можем записать, что U ₂ = U ₃ = U _а,б = 5 В.

Токи в этих элементах находят из совершенно очевидных соотношений:

.

Итак, схема рассчитана.

1.3.2. Расчет с помощью законов Кирхгофа

Этот метод наиболее универсален и применяется для расчета любых цепей. При расчете этим методом первоначально определяются токи в ветвях, а затем напряжения на всех элементах. Токи находятся из уравнений, полученных с помощью законов Кирхгофа. Так как в каждой ветви цепи протекает свой ток, то число исходных уравнений должно равняться числу ветвей цепи. Число ветвей принято обозначать через n. Часть этих уравнений записываются по первому закону Кирхгофа, а часть – по второму закону Кирхгофа. Все полученные уравнения должны быть независимыми. Это значит, чтобы не было таких уравнений, которые могут быть получены путем перестановок членов в уже имеющемся уравнении или путем арифметических действий между исходными уравнениями. При составлении уравнений используются понятия независимых и зависимых узлов и контуров. Рассмотрим эти понятия.

Независимым узлом называется узел, в который входит хотя бы одна ветвь, не входящая в другие узлы. Если число узлов обозначим через К, то число независимых узлов равно (К –1). На схеме (рис. 1.16) из двух узлов только один независим.

Независимым контуром называется контур, который отличается от других контуров хотя бы одной ветвью, не входящей в другие контура. В противном случае такой контур называется зависимым.

Если число ветвей цепи равно n, то число независимых контуров равно [ n – (К –1)].

В схеме (рис. 1.16) всего три контура, но только два независимых контура, а третий – зависим. Выделять независимые контура можно произвольно, т. е. в качестве независимых контуров можно выбрать при первом расчете одни, а при втором расчете (повторном) – другие, которые раньше были зависимыми. Результаты расчета будут одинаковыми.

Если по первому закону Кирхгофа составить уравнения для (К –1) независимых узлов, а по второму закону Кирхгофа составить уравнения для [ n – (К –1)] независимых контуров, то общее число уравнений будет равно:

(K –1) + [ n – (K –1)] = n.

Это означает, что для расчёта имеется необходимое число уравнений.

Последовательность расчёта:

1. Расставляем условно – положительные направления токов и напряжений.

2. Определяем число неизвестных токов, которое равно числу ветвей (n).

3. Определяем число независимых узлов и контуров и выбираем их на схеме.

4. С помощью первого закона Кирхгофа составляем (К –1) уравнений для независимых узлов.

5. С помощью второго закона Кирхгофа составляем [ n – (К –1)] уравнений для независимых контуров. При этом напряжения на элементах выражаются через токи, протекающие через них.

6. Решаем составленную систему уравнений и определяем токи в ветвях. При получении отрицательных значений для некоторых токов, необходимо их направления в схеме изменить на противоположные, которые и являются истинными.

7. Определяем падения напряжений на всех элементах схемы.

Рассмотрим последовательность расчета на примере схемы, приведенной на рис. 1.16.

Исходные данные: R₁= 50 Ом; R₂=R₃= 100 Ом; Е = 10 В.

Учитывая направление источника E, расставляем условно–положительные направления токов и напряжений. В схеме три ветви, поэтому нам необходимо составить три уравнения. В схеме два узла, следовательно, из них только один независимый. В качестве независимого узла выберем узел 1. Для него запишем уравнение по первому закону Кирхгофа:

I ₁ = I ₂ + I ₃.

Далее необходимо составить два уравнения по второму закону Кирхгофа. В схеме всего три контура, но независимых только два. В качестве независимых контуров выберем контур из элементов E – R ₁– R ₂ и контур из элементов R ₂– R ₃. Обходя эти два контура по направлению движения часовой стрелки, записываем следующие два уравнения:

E = I ₁, R ₁ + I ₂ R ₂,

0 = – I ₂ R ₂ + I ₃ R ₃ .

Получаем систему уравнений

I ₁ = I ₂ + I ₃,

E = I ₁ R ₁ + I ₂ R ₂,

0 = – I ₂ R ₂ + I ₃ R ₃ .

Решаем полученные три уравнения и определяем токи в ветвях. Решение уравнений можно выполнить, например, методом последовательного исключения. Затем через найденные токи по закону Ома определяем падения напряжений на всех элементах цепи.

Результаты расчёта будут такими:

I₁ = 0,1 А; I₂ = I₃ = 0,05 А; U₁ = 5 В; U₂ = U₃ = 5 В.

1.3.3. Расчет методом контурных токов

Сложные схемы характеризуются наличием значительного числа ветвей. В случае применения предыдущего метода это приводит к необходимости решать систему из значительного числа уравнений.

Метод контурных токов позволяет заметно уменьшить число исходных уравнений. При расчёте методом контурных токов используются понятия независимого контура и зависимого контура, которые нам уже известны. Кроме них в этом методе используются ещё следующие понятия:

– собственный элемент контура – элемент, относящийся только к одному контуру;

– общий элемент контура – элемент, относящийся к двум и более контурам цепи.

Обозначаем, как и раньше, через К число узлов, а через n число ветвей цепи. Тогда число независимых контуров цепи определяется по уже известной формуле [ n – (К –1)].

Метод основывается на предположении, что в каждом независимом контуре течёт собственный контурный ток (рис. 1.17), и вначале находят контурные токи в независимых контурах. Токи в ветвях цепи определяют через контурные токи. При этом исходят из того, что в собственных элементах контура токи совпадают с контурным током данного контура, а в общих элементах ток равен алгебраической сумме контурных токов тех контуров, к которым принадлежит данный элемент.

Последовательность расчёта:

1. Определяется число ветвей (n) и число узлов (К) цепи. Находится число независимых контуров [ n – (К –1)].

2. Выбирается [ n – (К –1)] не зависимых контура.

3. Выбирается условно–положительное направление контурных токов в каждом из независимых контуров (обычно показывается стрелкой).

4. Для каждого из независимых контуров составляется уравнение по второму закону Кирхгофа. При этом падение напряжения на собственных элементах определяется как произведение контурного тока на величину сопротивления, а на общих элементах – как произведение алгебраической суммы всех контурных токов, протекающих через данный элемент, на величину его сопротивления. Обход контура производится, как правило, в направлении собственного контурного тока.

5. Решается система из [ n – (К –1)] уравнений и находятся контурные токи.

6. Токи в ветвях схемы находятся следующим образом:

– в собственных элементах контура ток равен контурному току;

– в общих элементах контура ток равен алгебраической сумме токов, протекающих через данный элемент.

Рассмотрим применение этого метода для расчёта схемы, приведенной на рис. 1.17.

Исходные данные: R₁= 50 Ом; R₂= R₃= 100 Ом; Е = 10 В.

В этой схеме три ветви и два узла, следовательно, в ней только два независимых контура. Выбираем эти контура и показываем в них направления (произвольно) контурных токов I _к1 и I _к2. Составляем два уравнения по второму закону Кирхгофа:

.

Решив эту систему уравнений, находим контурные токи I _к1 и I _к2.

I _к1 = 0,1 А; I _к2 = 0,05 А.

Затем определяем токи в ветвях:

I ₁ = I _к1 = 0,1 А; I ₃ = I _к2 = 0,05 А; I ₂ = I _к1 – I _к2 = 0,1 – 0.05 = 0.05 А.

По найденным токам определяем падения напряжений на резисторах:

U₁ = 5 В; U₂ = U₃ = 5 В.

Правильность расчётов можно установить путём проверки выполнения законов Кирхгофа для рассчитанной цепи. Так для верхнего узла должен выполняться первый закон Кирхгофа:

I ₁ = I ₂ + I ₃.

Подставляем численные значения:

0,1 = 0,05 + 0,05.

Видим, что 1-ый закон Кирхгофа выполняется. Проверим выполняется ли второй закон Кирхгофа. Для первого контура он имеет вид:

E = I ₁ R ₁ + I ₂ R ₂.

Подставляем полученные результаты расчёта:

Видим выполнение 2-ого закона Кирхгофа для этого контура. Проверьте самостоятельно выполнение этого закона для второго контура и для общего контура E – R₃ – R₁.

1.3.5. Расчет методом эквивалентного

источника напряжения

Этот метод расчета иногда называют методом эквивалентного генератора. Он применяется в тех случаях, когда необходимо определить ток только в одной ветви схемы. Токи в остальных ветвях не представляют интереса. Так, при эксплуатации какого–либо устройства нас интересует часто, какой ток (мощность) будет в нагрузке и (или) какой ток (мощность) будет на входе этого устройства. Известно, что при уменьшении требований к количеству определяемых величин упрощается и сам расчет.

Расчет методом эквивалентного источника напряжения основывается на теореме об эквивалентном источнике напряжения:

«Ток в любой ветви линейной электрической цепи не изменится, если электрическую цепь, к которой подключена данная ветвь, заменить эквивалентным источником напряжения. ЭДС этого источника должна быть равна напряжению на зажимах разомкнутой ветви, а внутреннее сопротивление источника должно равняться входному сопротивлению пассивной электрической цепи со стороны зажимов подключения ветви при разомкнутой ветви».

Опуская доказательство теоремы (желающим ознакомиться с доказательством рекомендуем [1, стр.95]), рассмотрим последовательность расчета на основании этой теоремы. Исходная схема представлена на рис. 1.19, а.

Здесь выделена только интересующая часть схемы – ветвь а–б, а остальная часть представлена активным двухполюсником А с клеммами а–б. Отсоединяем интересующую нас ветвь а–б (рис. 1.19, б) и, осуществляя расчет оставшейся цепи (двухполюсник А), находим напряжение U _аб на клеммах а–б. Затем в этой же оставшейся схеме (двухполюсник А) (рис. 1.19, б) убираем источники ЭДС, заменяя их на резисторы, сопротивления которых равны внутренним сопротивлениям этих источников или перемычками, если источники идеальны и определяем сопротивление цепи относительно клемм а–б, которое обозначаем через R ₀. Величина R ₀ определяется методом эквивалентного преобразования. Затем эта часть схемы (двухполюсник А) (рис. 1.19, б) заменяется последовательно соединенными источником ЭДС с нулевым внутренним сопротивлением и ЭДС, равной найденному U _а,б , и резистором с сопротивлением, равным R _0, а к клеммам а–б подключается интересующая ветвь (рис. 1.19, в). Ток в интересующей цепи определяется из очевидного соотношения:

.

Последовательность расчета:

1. Отсоединить от схемы интересующую ветвь, клеммы подсоединения которой обозначить через а–б.

2. Рассчитать оставшуюся часть цепи и определить напряжение на клеммах а–б (U _аб).

3. В оставшейся части цепи заменить источники ЭДС перемычкой или резистором, сопротивление которого равно внутреннему сопротивлению источника ЭДС.

4. Определить сопротивление этой цепи относительно клемм а–б, которое обозначим R ₀.

5. Оставшуюся часть цепи заменить последовательно соединёнными источником ЭДС с напряжением U _аб и резистором с сопротивлением R ₀. Эту цепь подсоединить к клеммам а–б.

6. К клеммам а–б подсоединить интересующую ветвь и определить ток, протекающий через нее.

Определим ток в ветви а–б схемы (рис. 1.20, а) методом эквивалентного источника напряжения.

Исходные данные: Е = 15 В; R₁ = R₂ = 100 Ом; R₃ = R₄ = 50 Ом.

Отключаем ветвь а–б (рис. 1.20, б) и находим напряжение на клеммах а–б:

.

Подставляем численные значения и находим U_аб = 7,5 В.

Далее исключаем у оставшейся схемы источник E, заменяем его перемычкой, считая, что его внутреннее сопротивление равно нулю (рис. 1.20, в) и определяем сопротивление цепи относительно клемм а–б:

.

Подставляем численные значения и находим R₀ =100 Ом.

Теперь составляем схему (рис. 1.20, г) и находим ток в ветви а–б:

.

Подставляем в это выражение найденные выше значения и получим:

I_Н = 0,05 А.

Величина напряжения на нагрузке находится по закону Ома:

На этом расчет закончен.

Дата добавления: 2015-08-28