Одна из задач статистики – изучение, как изменяются статистические показатели во времени. Например, как изменяется год за годом изменяется оплата труда, каковы колебания численности населения и есть

§4. Динамические ряды

Одна из задач статистики – изучение, как изменяются статистические показатели во времени. Например, как изменяется год за годом изменяется оплата труда, каковы колебания численности населения и есть ли тенденции роста или снижения показателей. На такие вопросы можно ответить, изучая динамический ряд статистических показателей.

Динамический ряд (ДР) – это значения статистических показателей, которые представлены в определенной хронологической последовательности

ДР состоит обычно из двух строк: в первой строке отмечаются промежутки или моменты времени, во второй строке – значения статистического показателя. Если в ДР представлено несколько статистических показателей, ДР называется комплексным, если один показатель – имеем индивидуальный ДР.

Пример. Комплексный ДР количество учащихся, принимавших участие в районных олимпиадах (чел):

Предмет
Математика
Русский язык
Химия

Рассмотрим основные задачи, которые возникают при анализе ДР.

4.1. Показатели интенсивности ДР

Интенсивность изменения во времени значений ДР характеризуется следующими показателями:

1) абсолютный прирост

2) коэффициент роста

3) темп роста

4) темп прироста

5) абсолютное значение одного процента прироста

В случае, когда сравнение проводится с начальным периодом (моментом) времени, получают базовые (базисные) показатели. Если сравнение производится с предыдущим периодом, то получают цепные показатели.

Абсолютный прирост: равен разности двух уровней ряда динамики в единицах измерения исходной информации. АП может иметь и отрицательный знак, показывающий, насколько уровень изучаемого периода ниже базисного.

Между цепными и абсолютными приростами имеется связь: сумма цепных абсолютных приростов равна базисному абсолютному приросту последнего ряда динамики, а разность последующего и предыдущего базисных абсолютных приростов равна соответствующему цепному абсолютному приросту.

АП_n(б) = АП₁(ц) + АП₂(ц) +... + АП_n(ц) = SАП_i(ц)

АП_k(б) – АП_k–1(б) = АП_k(ц).

Распространенными статистическими показателями динамики являются темп роста и темп прироста. Эти два показателя в расчетах опираются на коэффициент роста.

Коэффициент роста характеризует отношение двух уровней ряда.

Если коэффициент роста больше единицы, то это показывает на увеличение изучаемого уровня по сравнению с принятым за базу. Коэффициент роста, равный единице, показывает, что уровень изучаемого периода по сравнению с базисным не изменился. Коэффициент роста, меньший единицы, показывает на уменьшение уровня изучаемого периода по сравнению с базисным. Коэффициент роста всегда положителен.

Между базисными и цепными коэффициентами роста имеется взаимосвязь: произведение последовательных цепных коэффициентов роста равно базисному коэффициенту роста, а частное от деления последующего базисного коэффициента роста на предыдущий равно соответствующему цепному коэффициенту роста.

Кр(ц)₁ · Кр(ц)₂ ·... · Кр(ц)_k = Кр(б)_k

= Кр(ц)_k

Коэффициент роста, выраженный в процентах, называют темпом роста.

Темп прироста характеризует абсолютный прирост в относительных величинах (процентах). Темп прироста показывает, насколько процентов изменился сравниваемый уровень с уровнем, принятым за базу сравнения. Если уровни ряда динамики сокращаются, то соответствующие показатели темпа прироста будут отрицательными, т.к. они характеризуют относительное уменьшение прироста уровня ряда динамики.

Формулы расчета показателей интенсивности ДР приведем в таблице:

Показатель	Базисный	Цепной
Абсолютный прирост (АПi)	АПi(б) = Yi – Y1	АПi(ц) = Yi – Yi-1
Коэффициент роста (Кр)	Кр(б) = Yi / Y1	Кр(ц) = Yi / Yi-1
Темп роста (Тр = Кр · 100%)	Тр(б) = (Yi / Y1) · 100%	Тр(ц) = (Yi / Yi-1) · 100%
Темп прироста (Тпр)	Тпр(б) = Тр(б) – 100%	Тпр(ц) = Тр(ц) – 100%
Абсолютное значение 1% прироста (А)	–	А = АПi(ц)/ Тпр(ц)

Пример. Расчет показателей интенсивности ДР.

Имеются данные об объемах продаж учебных пособий по математике за 5 месяцев. Рассчитать показатели интенсивности ДР.

Месяцы	Июль	Август	Сентябрь	Октябрь	Ноябрь
Объем продаж, т.р.	710,0	1602,6	651,8	220,8	327,7
Абсолютный прирост, баз. цепной		892,6 892,6	–58.2 –950,8
Коэффициент роста, баз. цепной		2,257 2,257	0.918 0,407
Темп роста, %, баз. цепной		225,7 225,7	91.8 40,7
Темп прироста, %, баз. цепной		125,7 125,7	–8.2 –59,3
Абсолютное значение 1% прироста (цепной)		7,10	16,03

4.2. Определение среднего уровня и средних показателей ДР

Существуют несколько подходов к определению среднего уровня динамического ряда.

В общем случае средний уровень ряда определяется по формуле простого среднего:

`у = (4.1)

где n – число уровней динамического ряда.

Эта формула обычно используется для вычисления среднего уровня интервального динамического ряда (когда имеются данные по годам, месяцам, декадам...).

В случае моментных динамических рядов (уровни характеризуют состояние явления на определенные моменты времени, даты – на начало года, на первое число месяца и т.д.) используется формула средней хронологической:

`у = (4.2)

где n – число уровней динамического ряда.

Пример 1. Имеются данные о количестве беспризорных детей за 5 лет по области. Найти среднегодовой уровень количества беспризорников.

Год
Кол-во детей, тыс.чел.	2,6	3,1	3,8	3,4	4,6

Данный ряд – интервальный. Среднее значение в этом случае рассчитывается по формуле простой средней:

`у = (2,6 + 3,1 + 3,8 + 3,4 + 4,6)/ 5 = 3,5 (т.чел.)

Пример 2. Имеются данные о количестве высших учебных заведений на начало учебного года. Определить среднее число учебных заведений.

Годы	1992/93	1993/94	1994/95	1995/96
Число ВУЗов

Приведенный динамический ряд – моментный, следовательно, нахождение его среднего уровня производится по средней хронологической:

`у = = 551.

Еще один подход рассмотрим на примере.

Пример 3. За январь произошли следующие изменения в списочном составе воспитанников школы-интерната:

По списку на 1/1 342

Выбыло с 5/1 4

Зачислено с 12/1 5

Зачислено с 26/1 2

Требуется определить среднедневную численность воспитанников за январь.

Для решения этой задачи необходимо разбить рассматриваемый месяц на периоды, в течение которых количество воспитанников не изменялось, найти длины (в днях) этих периодов и вычислить вспомогательную величину, с помощью которой и будет найдено искомое среднее значение.

Составим вспомогательную таблицу:

Календарные периоды января	Число воспитанников	Длина периода в днях, T	T * Y (число человеко*дней)
1 – 4
5 – 11
12 – 25
26 –31
Итого:

Yср = = 342 (чел.)

Для нахождения среднегодовых темпов роста и прироста используется среднегодовой коэффициент роста:

`Кр = = , (4.3)

`Тр = `Кр · 100%, `Тпр = `Тр – 100%.

Среднегодовой абсолютный прирост находится по формуле:

= = = , (4.4)

где n – число уровней ряда.

Пример 4. В условиях примера 2 найти среднегодовые темпы роста и прироста и среднегодовой прирост.

= = 11,3 (ед.); `Кр = = 1,021 => `Тр = 102,1% => `Тпр = 2,1%.

Таким образом, за рассматриваемый период в среднем количество ВУЗов составляло 551 учебное заведение. В среднем за год количество ВУЗов увеличивалось на 2,1%, что составляло 11,3 учебных заведения в год.

4.3. Определение общей тенденции развития в ДР

При изучении в ДР общей тенденции развития применяют различные методы.

1. Метод укрупнения интервалов.

Пример. Имеются данные о выпуске продукции школьной мастерской за год (т.р.):

Январь	23,2	Май	24,5	Сентябрь	26,3
Февраль	19,1	Июнь	27,5	Октябрь	29,1
Март	22,3	Июль	28,4	Ноябрь	30,3
апрель	25,1	Август	24,1	Декабрь	26,5

Для выявления четкой тенденции роста выпуска продукции произведем укрупнение интервалов – рассчитаем выпуск продукции по кварталам:

1 кв. –64,6; 2 кв. – 77,1; 3 кв. – 78,8; 4 кв. – 85,9.

В результате укрупнения интервалов общая тенденция роста выпуска продукции выступает отчетливо: 64,6 < 77,1 < 78,8 < 85,9.

2. Метод скользящей средней.

Метод заключается в последовательном расчете среднего уровня из определенного числа первых по счету уровней ряда, затем из того же числа уровней, но начиная со второго элемента, затем с третьего и т.д. Лучше брать нечетное число уровней (обычно берут 3, 5 или 7).

Например, расчет скользящих средних для 3-х уровней:

Ā₁ = (y₁ + y₂ + y₃) / 3; Ā₂ = (y₂ + y₃ + y₄) / 3; Ā₃ = (y₃ + y₄ + y₅) / 3 и т.д.

Полученные средние обычно относятся к середине уровня: Ā₁ к y₂, Ā₂ к y₃ и т.д.

Аналогично для пяти уровней:

Ā₁ = (y₁ + y₂ + y₃ + y₄ + y₅) / 5; Ā₂ = (y₂ + y₃ + y₄ + y₅ + y₆) / 5 и т.д.

(Ā₁ относится к y₃, Ā₂ к y₄ и т.д).

Пример. Динамика ВП школьной мастерской по рабочим дням месяца.

Рабочие дни месяца	Выпуск продукции (т.р.)	Āi (3-х дневные)	Āi (5-ти дневные)
	3,7	–	–
	4,2	3,7	–
	3,3	4,0	4,3
	4,5	4,5	4,7
	5,8	5,3	4,9
	5,5	5,6	5,7
	5,6	6,0	6,2
	7,0	6,5	6,5
	6,9	7,1	6,8
	7,4	7,1	7,4
	7,1	7,7	7,4
	8,6	7,6	7,9
	7,0	8,3	7,7
	9,2	7,7	8,2
	6,8	8,4	8,1
	9,3	8,1	8,5
	8,1	8,8	8,5
	8,9	8,8	9,2
	9,4	9,5	9,5
	10,3	10,2	27,7
	10,9	40,1	48,1
	99,0	73,6	–
	111,0	–	–

4.4. Статистические индексы

В статистике индекс – это относительная величина, показывающая во сколько раз один статистический показатель больше другого. Индексы выражают в коэффициентах или в процентах.

Индексы в статистике подразделяют:

1) индексы динамики (при сравнении элементов ДР);

Ik,m = Yk/Ym

Если Ik,m = 1,05, то это означает, что Yk > Ym на 5%

Если Ik,m = 0,98, то Yk < Ym на 2%

2) территориальные индексы (при сравнении статистических показателей по регионам; например, продолжительность жизни в разных странах);

3) индекс планового задания (плановый уровень сравнивают с уровнем предыдущего периода).

Существует два способа расчета индексов: цепной и базисный.

Цепным индексом называется отношение последующего элемента ДР к предыдущему:

I_k+1,k = I_k+1,k / I_k– цепной индекс

Базисный индекс – отношение любого элемента ДР к элементу, выбранному в качестве базового (обычно это первый элемент ДР):

I_k,1 = I_k,k / I₁ – базовый индекс

Пример. Имеются данные об успеваемости за 6 лет.

Рассчитать цепные и базисные индексы.

Годы
Кол-во учащихся
Из них Кол-во отличников
Кол-во хорошистов
Кол-во имеющих тройки
Кол-во неуспевающих

Расчет индексов по общему количеству учащихся.

Годы
Кол-во учащихся
Цепные индексы		0,927	0,933	0,984	0,952	0,935
%		92,7	93,3	98,4	95,2	93,5
Базисные индексы		0,927	0,865	0,852	0,811	0,758
%		92,7	86,5	85,2	81,1	75,8

Приведенные данные по успеваемости несопоставимы, так как общее количество учащихся изменяется. Можно использовать два подхода: сравнить удельные веса каждой группы по успеваемости или привести данные к сопоставимым.

Рассмотрим второй подход, т.е. сначала приведем данные к сопоставимым (по последнему году рассматриваемого периода).

Годы
Кол-во учащихся
Коэффициент перевода	0,758	0,818	0,876	0,890	0,935
Сопоставимые данные Всего учащихся
Кол-во отличников
Кол-во хорошистов
Кол-во имеющих тройки
Кол-во неуспевающих

Рассчитаем для примера индексы для хорошистов

Годы
Кол-во хорошистов
Цепные индексы		1,112	1,041	0,994	1,000	1,006
%		111,2	104,1	99,4	100,0	100,6
Базисные индексы		1,112	1,158	1,151	1,151	1,158
%		111,2	115,8	115,1	115,1	115,8

Замечание. Существует отличие между коэффициентами роста и индексами. При расчете коэффициентов роста сравниваются два фактических значения, при расчете индексов можно сравнивать два фактических значения, а можно фактическое значение сравнивать с так называемым рекомендуемым значением.

Упражнения

1. Имеются данные о количестве детей, посещающих занятия, организованные домом творчества. Определите: 1) абсолютные приросты, темпы роста и прироста (цепные и базисные); 2) абсолютное содержание 1% прироста; 3) среднегодовые темпы роста и прироста количества за 5 лет; 4) средний уровень ряда и среднегодовой прирост количества детей. Изобразите динамический ряд на графике. Сделайте выводы.

Год	Количество детей (чел.)

2. Имеются данные о количестве заявок на посещение группы продленного дня в сентябре (чел). Определить среднее детей, посещавших группу в течение сентября.

Заявлений на 1/9 50

5/9 поступило новых заявлений 10 15/9 уехали с родителями 1

8/9 отпросились по болезни 6 20/9 выздоровели 2

12/9 выздоровели 4 26/9 отпросились до конца месяца 7

3. Имеется динамика посещения учащимися дополнительных занятий за учебный год. Рассчитать скользящие средние.

Месяцы	Количество учащихся (человек)	Āi (3-х месячные)	Āi (5-ти месячные)
сентябрь
октябрь
ноябрь
декабрь
январь
февраль
март
апрель
май
июнь

4. Имеются данные об успеваемости за 6 лет.

Рассчитать цепные и базисные индексы по отличникам, троечникам и неуспевающим.

Годы
Кол-во учащихся
Из них Кол-во отличников
Кол-во хорошистов
Кол-во имеющих тройки
Кол-во неуспевающих

Дата добавления: 2015-08-28