Скалярное и векторное поля. Градиент функции. Дивергенция и ротор векторного поля

Скалярное и векторное поля. Градиент функции. Дивергенция и ротор векторного поля

Рассмотрим статью тесно пересекающуюся с физикой: скалярное поле, векторное поле. В ней мы также приведем основные операторы теории поля: градиент скалярного поля,дивергенция и ротор векторного поля. Немного расскажем об операторе Гамильтона. Для лучшего восприятия и понимания данной статьи советуем сначала ознакомиться со следующими статьями: Производная функции, Практическое использование понятия: производная функции.

Скалярное поле, векторное поле

Определение 1: Если в каждой точке M(x,y,z) некоторой области V пространства (или плоскости) определена скалярная функция u = u(M), то говорят, что в области V заданоскалярное поле u = u(M) = u(x,y,z).

Примерами скалярных полей являются: поле температуры T внутри тела, поле потенциала электрического заряда, поле плотности тела и т.д.

Определение 2: Если в каждой точке M(x,y,z) некоторой области V пространства (или плоскости) определен вектор

то говорят, что в области V задано векторное поле .

Примерами векторных полей являются: поле скоростей текущей жидкости, поле электрической напряженности , поле магнитной напряженности и т.д.

Градиент скалярного поля. Дивергенция и ротор векторного поля

Важнейшими характеристиками скалярных и векторных полей являются градиент (grad)скалярного поля, дивергенция(div) и ротор(rot) векторного поля.

Определение 3: Градиентом дифференцируемого скалярного поля u(M)=u(x,y,z) называется вектор

Т.е. сумма частных производных умноженных на соответствующие единичные вектора. О производных функии мы писали в предыдущих статьях: Производная функции,Практическое использование понятия: производная функции.

Определение 4: Дивергенцией (или расходимостью) дифференцируемого векторного поля называется скаляр

Определение 5: Ротором (или вихрем) дифференцируемого векторного поля называется вектор

который с помощью символической записи удобно представить в виде векторного произведения

Операторы grad, div,rot называются основными операторами теории поля.

В качестве примеров использования операторов градиента скалярного поля, дивергенции иротора векторного поля приведем формулу связи напряженности и потенциала электростатического поля: и систему уравнений Максвелла для стационарного электромагнитного поля:

1)

2)

3)

4)

В математической и особенно физической литературе наряду с введенными операторами широко используется символический векторный дифференциальный оператор набла(оператор Гамильтона)

. Правила работы с оператором Гамильтона такие же, как и с обычными векторами. Выразим операторы поля через оператор Гамильтона. Вычисляя произведение вектора на скалярную функцию u, скалярное и векторное произведения вектора на вектор , получим формулы

Дата добавления: 2015-08-28