Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных	Подтема (основные понятия и теоремы)	Уровень сложности, указания*
1. В некоторой точке плоскости: частные производные непрерывны, единичные вектора и неколлинеарны, . Доказать: эта точка – стационарная.	Производная по направлению, градиент	низкий
2. В точке функция имеет и собственные числа матрицы 2-го дифференциала одного знака. Доказать, что если , то эта точка есть точка условного экстремума при связи .	Условный экстремум	высокий
3. Функция непрерывна дифференцируема в . Вектор , где есть ортогональная матрица. Найти градиент функции в новых переменных и .	Частные производные, свойства градиента	средний
4. Функция на замкнутом множестве имеет . Кривая лежит в , ограничивая область . Доказать, что точка глобального экстремума на является также точкой условного экстремума при связи .	Локальный, глобальный и условный экстремумы	высокий
5. Матрица 2-го дифференциала функции имеет определитель меньший нуля, в замкнутой области , граница которой задается неявной функцией. Доказать, что точки глобального экстремума этой функции на находятся на границе этой области.	Свойства градиента. Глобальный экстремум	средний
6. Функция дважды непрерывно дифференцируема в , все частные производные 3-го порядка равны нулю. Доказать, что матрица 2-го дифференциала этой функции симметрична.	Частные производные 2-го и 3-го порядка	средний
7. Функция дважды непрерывно дифференцируема в , все частные производные 3-го порядка равны нулю. При каком виде функции матрица 2-го дифференциала этого оператора имеет диагональный вид?	Частные производные 2 и 3 порядка	средний
8. Функция дважды непрерывно дифференцируема в , все частные производные 3-го порядка равны нулю. Доказать, что если определитель матрицы 2-го дифференциала меньше нуля, то неявная функция задает гиперболу или пару прямых.	Частные производные 2 и 3 порядка. Кривые 2-го порядка	высокий
9. В неявной функции содержатся две явных: и , где , непрерывно дифференцируемых. Функция непрерывно дифференцируема. Доказать, что точки, где правая или левая производная от и равны нулю, являются стационарными для функции Лагранжа, если параллелен оси .	Условный экстремум	высокий
10. Неявная функция проходит через точку , в которой имеет локальный экстремум. Доказать, что эта точка также стационарная точка функции Лагранжа.	Условный экстремум	высокий
11. В функции сделана замена переменных и получена функция . Матрицы 2-го дифференциала функций и имеют диагональный вид. Найти градиент функции в новых переменных и .	Частные производные 2 порядка. Свойства градиента	средний
12. Матрица 2-го дифференциала функции имеет диагональный вид в области . Доказать, что не зависит от в области .	Частные производные 2 порядка.	высокий
13. С помощью условного экстремума доказать неравенство при .	Условный экстремум	высокий
14. В исходной системе координат функция имеет вид . Найти градиент этой функции в системе координат, повернутой относительной исходной на заданный угол .	Частные производные, свойства градиента	средний
15. Внутри четырехугольника найти точку, сумма квадратов расстояний которой от вершин была бы наименьшей.	Локальный экстремум	средний
16. Доказать, что если полное приращение функции совпадает с полным дифференциалом при , то , где – фиксированные вектора на плоскости.	Полный дифференциал	низкий
17. Матрица 2-го дифференциала функции постоянна, т.е. не зависит от x и y, и вырождена. Определить вид пересечения поверхности с плоскостью .	Частные производные 2 порядка. Кривые 2-го порядка	средний
18. Функция бесконечно дифференцируема в области . В точке все дифференциалы выше 2-го порядка равны нулю. Доказать, что эта функция может иметь не более одного локального экстремума на .	Частные производные 2 и 3 порядка, свойства градиента	средний
19. Матрица 2-го дифференциала функции вырождена и имеет диагональный вид. Доказать, что проекция градиента этой функции на одну из осей постоянна.	Частные производные, свойства градиента	средний