Развитие понятия «величина»

РАЗВИТИЕ ПОНЯТИЯ «ВЕЛИЧИНА»

Все оттенки смысла умное число передает.

Н. Гумилев

«Величина» — одно из основных математических понятий, смысл которого с развитием математики неоднократно менялся, становясь все более общим. Первоначально понятие величины свя­зывали с различными системами чисел (целых, положительных, рациональных, действительных, комплексных). К более широкому пониманию величин привели новые числовые системы (кватерни­оны, гиперкомплексные числа), а также и новые математические объекты (матрицы, тензоры, спиноры).

Целые положительные числа в Древнем мире

Единственный естественный предмет математи­ческой мысли есть целое число.

А. Пуанкаре

Арифметикой называют область знаний о числах и операциях в числовых множествах. Предметом арифметики являются рассмо­трение вопросов о происхождении и развитии понятия числа, при­емы и средства вычислений, исследование операций с числами раз­личной природы, анализ математической структуры числовых мно-

жеств, свойства чисел. Частью арифметики, изучающей свойства целых чисел, является теория чисел [65].

Представление о понятии числа, сложившееся у математиков какой-либо эпохи, всегда свидетельствует о том теоретическом уровне, которого достигла к тому времени математика, и определяет границы их арифметико-алгебраической практики.

Первыми целые числа исследовала группа философов, интере­сующихся математикой. Они называли себя пифагорейцами в честь своего руководителя и вдохновителя Пифагора, который был вы­дающимся мистиком и ученым. Исследуя свойства чисел, пифаго­рейцы разбивали их на классы. Одни их термины используются и сейчас, другие вышли из употребления. У пифагорейцев числа раз­делялись на четные и нечетные, четно-четные и нечетно-четные, простые и составные, совершенные, дружеские, треугольные, ква­дратные, пятиугольные и т. д.

Треугольные числа выражают числа шаров, уложенных в ви­де треугольника. Их последовательность 1, 3, 6, 10,..., п(п + +1)/2,... (рис. 14).

О

О о о

О О О ООО

Рис. 14. Треугольные числа

Квадратные числа соответствуют числу шаров, уложенных в ви­де квадрата. Их последовательность 1,4, 9,16,..., п²,... (рис. 15).

О о О о ООО о О О о

ОО ООО о о о О

о ОО ООО оооо

Рис. 15. Квадратные числа

В общем случае fc-угольные (фигурные) числа выражают числа шаров, уложенных в виде правильного А:-угольника. Их последова­тельность 1, к,..., п + (к — 2)п(п — 1)/2,...

Тетраэдрические числа соответствуют числу шаров, уложенных в виде тетраэдра (правильной треугольной пирамиды). Их последо­вательность 1, 4, 10, 20,..., п(п + 1)(п + 2)/6,... (рис. 16).

Рис. 16. Тетраэдрические числа

Пифагорейцы исследовали свойства чисел и сделали числа основой своей философии Вселенной, пытаясь свести все соот­ношения к числовым соотношениям («всё есть число»).

Относительно скрытого значения чисел есть достаточно пред­положений. В этой сфере сделано много интересных открытий, но можно согласиться с тем, что со смертью Пифагора великий ключ к этой науке был утерян. Уже 2500 лет философы всех народов пыта­ются размотать «клубок Пифагора», но никто из них полностью не преуспел в этом. И хотя сохранившиеся фрагменты учения Пифаго­ра позволяют прикоснуться к сокровенному знанию, надо сказать, что основные секреты никогда не записывались, а передавались из уст в уста, от поколения к поколению, открывались немногим из­бранным ученикам. А те не смели передать свои тайны непосвя­щенным, и тайны умерли вместе с ними.

Пифагор был выдающимся предсказателем, многие его после­дователи пытались раскрыть секреты чисел, основываясь на его учении. Появилась целая оккультная наука — «нумерология».

В «Энциклопедии нумерологии» есть алгоритм «Формула Пи­фагора» для анализа информации о человеке, заключающейся в дате его рождения [114]. В соответствии с этим алгоритмом проводятся следующие действия:

1) записывается дата рождения (число, месяц, год);

2) суммируются все цифры даты рождения;

3) суммируются цифры итогового числа, если в п. 2 получилось двузначное число;

4) определяется разность между итоговым числом по п. 2 и удво­енной первой цифрой (цифрой, не числом!) даты рождения по п. 1;

5) определяется сумма цифр итогового числа по п. 4.

Нули вычеркиваются, записывается полный набор из получен­ных итоговых чисел и подсчитывается число отдельных цифр в пол­ном наборе.

Пример. Допустим Вы родились 16 ноября 1989 г. Получаем:

1) 16 11 1989; 2) 1 + 6 + 1+ 1 + 1+ 9 + 8 + 9 = 36; 3)3 + 6 = 9; 4) 36 - 2 • 1 = 34;

5)3 + 4 = 7.

Полный набор итоговых чисел: 16111989 36 9 34 7. Число от­дельных цифр в наборе: «1» — 4, «2» — 0, «3» — 2, «4» — 1, «5» — 0, «6» — 2, «7» — 1, «8» — 1, «9» — 3.

Далее расшифровывается полученный результат.

Число цифр «1» (единиц) дает информацию о силе характера.

Число цифр «2» (двоек) — о силе биополя.

Число цифр «3» (троек) — о внутреннем складе человека.

Число цифр «4» (четверок) — о здоровье.

Число цифр «5» (пятерок) — об уровне интуиции.

Число цифр «6» (шестерок) — о степени «заземленности».

Число цифр «7» (семерок) — об уровне приближения к Богу.

Число цифр «8» (восьмерок) — об уровне чувства долга.

Число цифр «9» (девяток) — об интеллекте.

Суммарное количество цифр «1», «4», «7» характеризует жиз­ненный стержень.

Суммарное количество цифр «2», «5», «8» — качество семья­нина.

Суммарное количество цифр «3», «6», «9» — социальную устой­чивость.

Суммарное количество цифр «1», «2», «3» — здравомыслие.

Суммарное количество цифр «4», «5», «6» — целеустремлен­ность.

Суммарное количество цифр «7», «8», «9» — талантливость.

Суммарное количество цифр «3», «5», «7» — уровень любви к людям.

Суммарное количество цифр «1», «5», «9» — уровень боже­ственной миссии.

Чем больше получится число цифр или суммарное количество цифр, тем ярче в человеке выражена соответствующая черта.

Дальнейшее развитие теории целых и рациональных чисел

Первое известное нам логически последовательное изложение теории целых чисел содержится в книгах VII, VIII и IX «Начал» Евклида, где были подведены итоги развития математики на тот пе­риод. В книге VII излагается теория пропорций, совершенно отлич­ная от построенной в книге V. В книге VII определяется равенство отношений целых чисел, или, с точки зрения современных матема­тиков, строится теория рациональных чисел. Эта теория, как пока­зал нидерландский математик Ван-дер-Варден, разработана ранни­ми пифагорейцами (первая половина V в. до н. э.), тогда как теория пропорций, изложенная в книге V, была создана Евдемом из Кинда (середина IV в. до н. э.).

При аксиоматическом построении математики вначале вводят­ся неопределимые понятия, которые являются простейшими и не могут быть определены через другие понятия. В геометрии и тео­рии чисел избегают неопределимых понятий, пытаясь всем поняти­ям дать определения. Несмотря на это, древние греки считали, что теория целых чисел обоснована весьма удовлетворительно. Рассма­тривали они и отношения целых чисел (у последующих поколений математиков такие отношения получили название дробей).

В дошедших до нас рукописях Диофанта можно найти действия со степенями, показатели которых не превосходят шести, и некото­рые приемы операций с вычитаемыми. В неявной форме это опе­рации с отрицательными числами. Сформулированные Диофантом правила применялись им только к рациональным числам.

Развитие арифметики в Европе связано с распространением индийской десятичной позиционной системы и арабских цифр.

Употребление арабских цифр в Европе ввел в Хв. н.э. монах - бенедектинец Герберт из Орийака, который был сначала воспита­телем, затем советником императора Оттона III, а впоследствии — Папой Римским Сильвестром II (с 999 г. и. э.). Он путешествовал в Испании между 967 и 969 гг. и, посетив там арабские школы, по­знакомился с индо-арабской системой счисления. Во Франции в то время еще считали на пальцах или с помощью системы жетонов. Герберт построил счетную доску — абак. Метод абацистов, про­пагандистом которого был Герберт, давал упрощения, аналогичные использованию позиционной системы, для сложения и вычитания, тогда как умножение и особенно деление оставались еще очень сложными. Абацистов сменили алгоритмики, которые использова­ли нуль и арабский метод деления и извлечения квадратного корня.

Усиление контактов между государствами, развитие торговли и банковской системы требовали простой в обращении и легкой в применении арифметики для обучения торговцев, банкиров, ре­месленников и др. Появились первые учебники. Большое влияние оказал труд «Сумма» (1494) итальянского математика Луки Пачо- ли, настоящий свод математических знаний той эпохи. В нем была полностью воспроизведена «Книга абака» (1202) итальянского ма­тематика Леонардо Пизанского (Фибоначчи).

Первые шаги в направлении применения десятичных дробей были сделаны в XV в., но широкое распространение эти дроби получили только в XVI в. после выхода сочинений нидерландско­го математика и инженера Симона Стевина. В течение более 200 последующих лет десятичные дроби употреблялись лишь в астро­номической вычислительной практике. Усилиями многих крупней­ших французских математиков (Лагранж, Лаплас, Монж и другие) в период 1790—1799 гг. была разработана единая десятичная ме­трическая система. Она была введена во Франции 24 апреля 1799 г. С тех пор аппарат десятичных дробей нашел повсеместное при­менение. В XIX в. по мере перехода на десятичную систему новых государств этот аппарат сделался частью школьной математической подготовки.

В XV—XVI вв., да и позже, предлагались разные схемы для умножения и деления многозначных чисел, эти схемы различались, в сущности, только характером записи промежуточных вычисле­ний. Общепринятый в настоящее время способ умножения ввел А. Ризе в XVI в.

Иррациональные числа

На иррациональные числа (так же, как и на вся­кие другие) можно смотреть, как на чистые зна­ки, которые могут быть и действительно бывают весьма полезны, между прочим, по той причине, что этими знаками удобно выражаются реальные свойства вещей.

С. О. Шатуновский

Пифагорейцы первыми обнаружили, что отношения некоторых отрезков (например, гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника к катету) нельзя представить в виде отношения целых чисел. Это их удивило и озадачило. Такие отношения отрезков по­лучили название несоизмеримых. Примером несоизмеримого отно­шения является иррациональное число л/2. Пифагорейцы доказали изобретенным ими методом от противного, что если доказать со­измеримость числа л/2, то придем к противоречию. Их доказатель­ство было таким. Пусть л/2 = а/Ъ, где а и b — взаимно простые числа. Тогда а² = 2Ь², следовательно, а² — четное число. Число а тоже четное, так как квадрат нечетного числа может быть толь­ко нечетным, а Ъ нечетно. Если а четное, то его можно представить в виде а = 2с, поэтому а² = 4с², т. е. 4с² = 2Ь² или Ь² = 2с², т. е. Ь² четно и Ь четно. Следовательно, Ь является одновременно и четным, и нечетным числом, что невозможно. Этим доказано, что л/2 — иррациональное число.

Открытие иррациональных чисел привело к постановке пробле­мы, ставшей центральной для древнегреческой математики. Платон в своих «Законах» призывал к познанию несоизмеримых величин. Евдокс, ученик Платона, предложил понятие величины трактовать геометрически. При этом принципиальное различие между рацио­нальными и иррациональными величинами сглаживалось.

Вместо применения формулы для решения квадратных урав­нений решалась задача на построение отрезка, удовлетворяюще­го уравнению. Это направление в математике получило название геометрической алгебры. Превращение всей математики, за ис­ключением теории целых чисел, в геометрию привело к нескольким важным последствиям. Несоизмеримые величины целиком принад­лежали юрисдикции геометрии — арифметике (теории чисел) они были «не подсудны». Геометрия стала основой всей «строгой» ма­тематики. Мы до сих пор называем х² «икс квадратом», х ’ «икс кубом», а не соответственно «во второй» и «в третьей» степени, потому что некогда под х² и х³ понимался лишь геометрический смысл этих величин.

В греческой цивилизации на смену эпохе высокой классики (афинский период) в III в. до н. э. пришла эпоха эллинизма (алек­сандрийский период), сложившаяся в результате слияния классиче­ской греческой культуры с культурами Египта и Вавилона. Наибо­лее выдающиеся математики александрийского периода Архимед и Аполлоний следовали образцу аксиоматической, дедуктивной геометрии «Начал» Евклида. Но под влиянием прагматичных еги­птян и вавилонян александрийцы начали использовать математику и для удовлетворения запросов практики. Герон Александрийский в своем сочинении «Метрика» привел формулу для вычисления площади треугольника S = у/р(р — а)(р — Ь)(р — с), где а, Ъ, с — длины сторон треугольника, р — его полупериметр.

Вычисление площади треугольника по формуле Герона нередко приводит к иррациональным числам. Во многих чистых и приклад­ных науках, развитых греческими учеными александрийского пери­ода, — составление календаря, измерение времени, навигационные расчеты, оптика, география и гидростатика — иррациональные чи­сла находили самое широкое применение.

Индийцы и арабы, подхватившие эстафету развития математи­ки после окончательного уничтожения арабами эллинистической (александрийской) греческой цивилизации, использовали целые числа и дроби, но, не колеблясь, оперировали и иррациональными числами. Они ввели новые, верные, правила сложения, вычитания, умножения и деления иррациональных чисел.

В конце Средневековья и в эпоху Возрождения европейцы озна­комились с существующим уровнем достижений математики. Ча­стично это были уцелевшие рукописи на греческом языке, а в основ­ном — работы греческих авторов на арабском языке и исследования арабских математиков. По мнению европейцев, настоящей матема­тикой была только дедуктивная геометрия греков. Но в то же вре­мя они не могли и не хотели отрицать полезность и эффективность арифметики и алгебры, которые были значительно усовершенство­ваны по сравнению с Античностью.

Первая проблема, с которой столкнулись европейцы, сводилась к старому вопросу о том, как следует относиться к иррациональным числам. До XV—XVI вв. под иррациональными числами понима­лись только квадратные корни. Все же Леонардо Пизанский рассма­тривал вопрос о приближенном вычислении не только квадратных, но и кубических корней. Ферро и Тарталья при решении уравне­ния третьей степени стали употреблять кубические корни. Вплоть до XVIII в. при обосновании операций над иррациональными чи­слами ограничивались величинами, выражаемыми в радикалах.

Операции с иррациональными числами не вызывали затрудне­ний, но математиков беспокоила проблема, можно ли считать эти числа настоящими. Немецкого монаха и профессора математики Михаэля Штифеля беспокоило то, что для записи иррационального числа в десятичной системе требуется бесконечно много знаков. Он считал, что, подобно тому как не является числом бесконечность, иррациональные числа также не являются истинными числами, а как бы скрыты от нас в облике бесконечности. Далее Штифель до­бавлял, что настоящие числа — это либо целые числа, либо дроби, а поскольку иррациональные числа не принадлежат ни к тем, ни к другим, их нельзя считать настоящими числами.

Столетие спустя Паскаль и английский математик, филолог и богослов Исаак Барроу утверждали, что иррациональные числа не более чем символы, не существующие независимо от геометриче­ских величин, и что логика арифметических операций, произво­димых над иррациональными числами, должна быть обоснована с помощью теории величин Евклида (иррациональные числа — от­ношение несоизмеримых отрезков).

Настоящими иррациональные числа признавали нидерланд­ский математик Симон Стевин и английский математик Джон Вал­лис, но они не привели никаких логических аргументов в под­тверждение своего мнения. Создатели аналитической геометрии

Декарт и Ферма не имели ясного представления об иррациональ­ных числах, но неявно допускали их существование.

Иррациональные числа нашли широкое применение с появле­нием логарифмов — одного из новых достижений математики эпо­хи Возрождения. И хотя логарифмы большинства положительных чисел иррациональны (предложенный Непером метод вычисления логарифмов основан на свободном обращении с иррациональны­ми числами), все математики приветствовали полезное изобрете­ние, избавившее их от излишнего труда.

Отрицательные числа

Отрицательные величины алгебры реальны лишь постольку, поскольку они соотносятся с положи­тельными величинами, реальны лишь в рамках своего отношения к последним; взятые вне этого отношения, сами по себе, они носят чисто вообра­жаемый характер.

Ф. Энгельс

Первым ввел в обращение отрицательные числа индийский ма­тематик и астроном Брахмагупта. Используя отрицательные числа для обозначения денежных долгов, или пассива, индийцы преумно­жили и без того многочисленные логические трудности математи­ков (положительные числа при таком подходе должны означать на­личность, или актив).

Индийский математик и астроном Бхаскара обратил внимание на то, что квадратный корень из положительного числа имеет два значения — положительное и отрицательное. Он также рассмотрел вопрос о квадратном корне из отрицательных чисел и пришел к вы­воду, что такой корень не существует, так как иначе его квадрат дол­жен был бы быть отрицательным числом, а отрицательное число не может быть квадратом. Далеко не все индийцы восприняли ново­введение Бхаскары. Тем не менее отрицательные числа, вскоре по­сле того как они были введены, начали распространяться все шире.

В Европе отрицательные числа стали известны из арабских текстов. Большинство европейских математиков XVI—XVII вв. не считали отрицательные числа настоящими или утверждали, что отрицательные числа не могут быть корнями уравнений. Карда­но включал отрицательные числа в число корней рассматривае­мых им уравнений, но полагал, что отрицательные корни — это просто символы, не имеющие реального смысла. Отрицательные корни уравнений он называл фиктивными и противопоставлял их действительным, т. е. положительным, корням. Виет полностью от­вергал отрицательные числа. Декарт принимал их лишь с опреде­ленными оговорками. Отрицательные корни уравнений он называл ложными на том основании, что они якобы представляют собой числа, которые меньше, чем ничто. Паскаль считал, например, вы­читание числа 4 из числа 0 операцией, лишенной всякого смысла. В его «Мыслях» есть выразительное признание: «Я знаю людей, которые никак не могут понять, что если из нуля вычесть четыре, то получится нуль» [95, с. 34].

Интересный довод против отрицательных чисел выдвинул близ­кий друг Паскаля теолог и математик Антуан Арно. Он утверждал, что для двух неравных чисел отношение большего числа к меньше­му всегда больше отношения меньшего числа к большему. Так как

г г -^{1 1}

— 1 < 1, он считал равенство — = —- противоречащим здравому

смыслу. Лейбниц, признав правильность возражения Арно, указал, что такого рода пропорции вполне допустимо использовать в вычи­слениях, ибо по форме они правильны. Кроме того, Лейбниц пред­ложил называть мнимыми (несуществующими) все величины, не имеющие логарифмов. По его мнению, число —1 не существует, так как положительные логарифмы соответствуют числам ббльшим J, а отрицательные логарифмы соответствуют числам, заключенным между 0 и 1. Следовательно, для отрицательных чисел логарифмов просто «не хватает» [95]. Действительно, если бы нашлось какое- нибудь число, соответствующее log(—1), то половина его, как сле­дует из теории логарифмов, соответствовала бы log л/—1, а \/—1 заведомо не имеет логарифма.

В целом можно сказать, что немногие математики XVI—XVII вв. свободно обращались с отрицательными числами или легко воспри­нимали их введение. По поводу отрицательных чисел среди мате­матиков бытовали самые нелепые предрассудки. Так, Валлис при­держивавшийся прогрессивных для своего времени взглядов и не отвергавший отрицательных чисел, был убежден в том, что отрица­тельные числа больше, чем бесконечность, и в то же время меньше

нуля. В «Арифметике бесконечно малых» из неравенства----------------- <

п + 1

< — для натуральных чисел он заключил, что п

¹¹¹¹¹ ---<2<2<Y<0< ‘’ ^или •••<¹<⁰⁰<-¹<---

Отрицательные числа беспокоили математиков гораздо сильнее, чем иррациональные. Возможно, это объяснялось тем, что отрица­тельные числа не имели столь очевидного геометрического смы­сла и правила операций над ними выглядели менее привычно. Хотя примерно с середины XVII в. отрицательные числа использовались весьма широко, они были лишены строгого определения и логиче­ского обоснования, и многие математики либо пытались каким-то образом восполнить этот пробел, либо оспаривали само примене­ние отрицательных чисел. В статье «Отрицательное», написанной для знаменитой французской «Энциклопедии», один из величай­ших мыслителей «века разума» Даламбер утверждал: «Если задача приводит к отрицательному решению, то это означает, что какая-то часть исходных предположений ложна, хотя мы и считаем ее истин­ной. <... > Если получено отрицательное решение, то это означа­ет, что искомым решением служит дополнение к [соответствующе­му положительному] числу» [44, с. 140].

На протяжении XVIII в. против отрицательных чисел выдвига­лось немало возражений. Английский математик Фрэнсис Мазер в работе «Рассуждение о применении в алгебре знака минус» писал об отрицательных корнях: «... насколько я могу судить, они служат лишь для того, чтобы внести замешательство во всю теорию урав­нений и сделать смутным и загадочным то, что по самой своей при­роде особенно ясно и просто...» [44, с. 141].

Практическое применение для обработки результатов научных исследований отрицательных и иррациональных чисел приводило к превосходному согласию с результатами наблюдений и экспери­ментов. Какие бы сомнения ни испытывали математики, применяя отрицательные числа в естественно-научных исследованиях, они отбрасывали все сомнения, как только окончательный результат оказывался физически правильным: ведь математики заботились главным образом о естественно-научных приложениях и все, что доказывало свою полезность на деле, принималось ими без особого разбора.

Комплексные числа

При рассмотрении квадратных уравнений математики разных эпох, начиная с индийских математиков, встречались с комплекс­ными числами. Однако мнимые решения отбрасывались как несу­ществующие. В XVI в., так и не преодолев трудностей, связанных с иррациональными и отрицательными числами, европейцы еще бо­лее увеличили свое и без того тяжкое бремя, когда набрели на новое открытие, значение которого они осознали далеко не сразу, — ком­плексные числа.

Кардано в трактате «Великое искусство» (1545) поставил и ре­шил следующую задачу: разделить число 10 на две части, произве­дение которых равно 40. Эта на первый взгляд нелепая задача до­пускает решение в виде сопряженных комплексных чисел 5 + \/—15 и 5 — л/—15. Относительно полученных значений Кардано заметил, что эти «сложнейшие величины бесполезны, хотя и весьма хитро­умны». Еще раз он столкнулся с комплексными числами в связи с алгебраическим методом решения кубических уравнений. Хотя Кардано искал и отбирал только действительные корни, приведен­ная им в книге формула давала и комплексные корни (если уравне­ние их допускало).

Бомбелли также рассматривал комплексные числа как решения кубического уравнения и сформулировал (практически в современ­ном виде) правила выполнения четырех арифметических операций над комплексными числами, однако считал их бесполезной и не­нужной выдумкой. Декарт тоже был среди тех, кто отвергал ком­плексные корни. Именно он ввел в употребление термин «мнимое число».

Даже Ньютон не придавал особого значения комплексным кор­ням, вероятнее всего потому, что в его время комплексные корни еще не имели физического смысла. Он считал, что задачи, которые не допускают решений, имеющих физический или геометрический смысл, должны иметь комплексные корни.

У Лейбница тоже не было ясности в вопросах, связанных с ком­плексными числами. Желая хоть как-то обосновать те применения, которые он сам и Иоганн Бернулли нашли комплексным числам в математическом анализе, Лейбниц высказал надежду, что вреда от этого не будет.

Несмотря на отсутствие ясного понимания природы комплекс­ных чисел в XVI—XVII вв., алгоритмическая сторона вычислений, производимых с действительными и комплексными числами, усо­вершенствовалась и расширялась.

С 1712г. развернулась острая дискуссия о смысле комплексных чисел, и в частности о логарифмах отрицательных и комплексных чисел, в которой участвовали своими статьями и письмами Лейб­ниц, Иоганн Бернулли и Эйлер. Переписка между Лейбницем и Иоганном Бернулли о логарифмах отрицательных чисел была весь­ма обширной, но — увы! — большинство утверждений, на которых настаивали обе стороны, были неверными. Считая комплексные числа несуществующими, они с их помощью получали в анализе совершенно правильные формулы интегрирования: промежуточ­ные выкладки, казалось бы, не имели смысла, но окончательный результат был верен.

В 40-х годах XVIII в. Даламбер и Эйлер доказали, что всякое выражение, содержащее мнимые величины, приводится к виду а + +/3г, где а и /3 — действительные числа.

Правильное решение проблемы логарифмов отрицательных чи­сел нашел великий Леонард Эйлер. Свой результат он изложил в работе «Исследования о мнимых корнях уравнений» (1751). Совре­менники Эйлера не поняли и не оценили эту его замечательную ра­боту. Еще до выхода книги Эйлер о своих результатах сообщил Да- ламберу в письме от 15 апреля 1747 г. Ни обширная переписка, ни работа Эйлера не убедили Даламбера, и в своей заметке «О лога­рифмах отрицательных величин» он выдвинул всевозможные ме­тафизические, аналитические и геометрические аргументы против существования таких логарифмов.

Производя операции над комплексными числами, Эйлер порой и ошибался. Так, в его «Алгебре» фигурирует равенство у/—1 \/—4 " = у/4 = 2, выписанное по аналогии с тождеством у/а y/b = y/ab, справедливым для положительных а и Ъ, т. е. для действительных корней.

Все участники острой полемики, развернувшейся вокруг про­блемы расширения понятия числа, мыслили непоследовательно. Было принято считать, что некоторые операции над комплексны­ми числами, например операция возведения комплексного числа в комплексную степень, могут привести к числам совершенно новой природы. Даламбер установил, что все операции, производимые над комплексными числами, порождают только комплексные числа. Однако, сознавая непоследовательность и даже противоречивость собственных представлений о комплексных числах, Даламбер даже не упомянул о них в «Энциклопедии», которую он вместе с Дидро редактировал и для которой им написано много математических статей.

Несмотря на множество принципиальных возражений против комплексных чисел, на протяжении XVIII в. их широко использо­вали, свободно применяя к ним правила арифметических действий над действительными числами. Так математики получали практи­ческие навыки в обращении с комплексными числами. В тех случа­ях, когда комплексные числа применялись лишь на промежуточных стадиях математических доказательств, полученные с их помощью окончательные результаты всегда оказывались верными, что не мог­ло не произвести благоприятного впечатления. Тем не менее мате­матиков не оставляли сомнения в правильности такого рода доказа­тельств, а иногда даже и получаемых с их помощью результатов.

Коши, возглавлявший французскую математическую школу первой половины XIX в., усиленно занимался установлением ста­туса комплексных чисел, начиная со своего «Курса анализа» (1821). Он считал, что теория комплексных чисел покоится на «принципах, которым недостает ясности». Для него комплексное число есть не­кое «символическое выражение», само по себе не имеющее смысла, но подчиненное некоторым «фиксированным правилам» по неким «установленным соглашениям». Он стал явным сторонником гео­метрического представления комплексных чисел лишь в 1847 г., познакомившись с принципами векторного исчисления.

Первым математиком, имевшим совершенно четкое представле­ние о статусе комплексных чисел, был Гаусс. Идея их геометри­ческого представления появилась у него в 1799 г., когда в своей диссертации он изложил очень красивое чисто топологическое рас­суждение, примененное в доказательстве основной теоремы алге­бры. В своем знаменитом письме Бесселю, датированном 1811 г., Г аусс со всей определенностью писал о соответствии между точка­ми плоскости и комплексными числами.

Изучение переписки Гаусса и его заметок, опубликованных лишь после его смерти, приводит к выводу, что он хорошо понимал ценность геометрического представления с педагогической точки зрения и что его можно причислить к сторонникам определенного геометрического реализма. Гаусс, бесспорно, первым предвидел ту роль, которую должно было сыграть в дальнейшем геометриче­ское представление комплексных чисел как методическое средство в области анализа, и предугадал, какую пользу сумеют извлечь из него математики XIX в.

В 20-х годах XIX в. Гаусс и Коши ввели и обосновали опе­рации над числами вида а ± вг, предложили термин «комплекс­ное число», нашли «модуль» (Коши, 1821), или «норму» (Гаусс, 1828), комплексного числа, определили понятие сопряженности комплексных чисел. Положение комплексных чисел в математике существенно упрочилось, и они вошли в алгебру. Однако математи­кам пришлось смириться с тем, что не все свойства действительных чисел справедливы для комплексных. Так, нельзя сказать, какое из двух комплексных чисел больше, а какое меньше. Общепринятая трактовка понятия бесконечно удаленной точки также весьма свое­образна.

Г аусс никогда не спешил опубликовать полученные им резуль­таты, особенно тогда, когда предчувствовал возможность развития теории, которой еще недостаточно овладел. Он излагает свои идеи, касающиеся геометрического представления комплексных чисел, лишь начиная с 1830 г. и особенно ясно говорит о них в работе «Теория биквадратных вычетов» (1831).

К концу 40-х годов XIX в. геометрическое представление было принято повсеместно и привело к бурному развитию теории функ­ций комплексного переменного, комплексного интегрирования и т. д., которое увенчалось гениальным обобщением Римана, заста­вившего комплексное переменное принимать значения не на одной плоскости, а на поверхности, состоящей из налагающихся друг на друга листов.

Векторы

Для описания физической реальности математикам стало недо­ставать рассмотренных типов чисел. Чтобы иметь возможность для некоторых величин указывать не только их числовое значение, но и направление, было введено понятие вектора как направленного отрезка. Следовательно, вектор — абстракция математических объ­ектов, характеризующихся модулем и направлением. Примерами физических векторных величин являются перемещение, скорость, ускорение, напряженность электрического или магнитного поля. Любой отрезок однозначно определяется его концами, поэтому од­но из двух возможных направлений для данного отрезка можно задать, указав, от какого конца отрезка надо начать движение в за­данном направлении, чтобы, двигаясь по отрезку, попасть в другой его конец. Это позволяет определить геометрический вектор как упорядоченную пару точек.

Сам термин «вектор» (от лат. vector — несущий) впервые по­явился у Гамильтона в 1845 г. в работах по построению числовых систем, обобщающих комплексные числа. Гамильтону принадле­жат также термины «скаляр», «скалярное произведение», «вектор­ное произведение».

После введения понятия вектора были более детально разрабо­таны правила операций над векторами, что привело к появлению сначала векторной алгебры, а затем и векторного анализа. Вектор­ная алгебра изучает простейшие операции над векторами. Она ста­ла своеобразным языком аналитической геометрии. Векторный ана­лиз изучает векторные и скалярные поля. Основными понятиями векторного анализа являются «градиент», «дивергенция», «ротор» («вихрь»)и «лапласиан».

Многие результаты векторного исчисления получены Грассма- ном и английским математиком Уильямом Клиффордом. Оконча­тельный вид векторная алгебра и векторный анализ приобрели в трудах американского физика и математика Джозайи Уилларда Гиббса, который в 1901 г. опубликовал обширный учебник по век­торному анализу.

Следует отметить, что в ясно очерченном виде векторная алге­бра появилась примерно на 30 лет позже первых работ по теории кватернионов, о которых речь пойдет ниже [41 ]. Гиббс показал связь векторной алгебры с теорией кватернионов и алгеброй Грассмана и был большим энтузиастом распространения векторного исчисления в различных областях точных наук.

Введение новых понятий заставило математиков отказаться от некоторых свойств, справедливых для понятий, рассматриваемых ранее. При введении операции векторного произведения пришлось отказаться от коммутативности произведения. Понятие вектора мо­жет быть введено аксиоматически, тогда вектор будет пониматься как элемент векторного пространства. Развитием понятия «вектор» можно считать понятия «кватернион», «матрица» и «тензор».

Кватернионы

Для представления пространственных векторов и выполнения операций над ними было бы естественно ввести «трехмерные чи­сла», если считать обычные действительные числа «одномерны­ми», а комплексные числа — «двумерными».

Как и в случае комплексных чисел, допустимые операции над трехмерными числами должны были бы включать сложение, вы­читание, умножение и деление. Чтобы над этими числами можно было беспрепятственно и эффективно производить алгебраические операции, они должны обладать обычными свойствами действи­тельных и комплексных чисел. Многие математики принялись за поиски «трехмерных комплексных чисел». Впечатляющие резуль­таты были получены Гамильтоном. С 1833 г. он все более и более углубляется в рассмотрение сущности алгебраической алгорифми- ки и пытается создать для пространства такие же числа, какими для плоскости являются комплексные числа.

Известно, что открытия часто приходят к математикам внезап­но. Так случилось и с Гамильтоном. В течение 15 лет он пытался разработать «трехмерные комплексные числа», а 16 октября 1843 г. на пути домой, переходя Королевский мост, он изобрел кватерни­оны. Гамильтон внезапно понял, что в арифметической системе не обязательно должен выполняться коммутативный закон и что числа должны быть не трехкомпонентные, а четырехкомпонент­ные. Рассказывают, что эта мысль настолько поразила Гамильтона, что он остановился на мосту как вкопанный и нацарапал основные формулы алгебры кватернионов на каменных перилах. «Высечен­ные в камне», эти формулы и поныне украшают исторический мост [22, с. 8].

Кватернионы — это числа, каждое из которых определяет вели­чину и направление в пространстве. Они могут быть представлены в виде а + bi + cj + dk, где г² = j² = к² = — 1. Чтобы произведение кватернионов было кватернионом и чтобы кватернион сохранил как можно больше свойств действительных и комплексных чисел, Га­мильтон вынужден был ввести такие правила умножения: jk = г, kj = —г, Ы = j, гк = —j, ij = к, ji = —к. Кватернион можно счи­тать точкой или радиус-вектором четырехмерного пространства.

С момента открытия кватернионов до конца своих дней Га­мильтон занимался их исследованием и пытался внедрить их в различные разделы математики и физики. Он считал, что к каждой точке пространства приложен кватернион, т. е. скаляр и вектор, и это позволяет одновременно рассматривать пространство и вре­мя. В высших учебных заведениях Ирландии по кватернионам был установлен специальный экзамен, и без их знания немыслимо было окончание колледжа. Такое насильственное внедрение кватернио­нов вызвало противодействие со стороны многих математиков, про­должавшееся до тех пор, пока кватернионы не нашли применения в физике, в первую очередь в динамике.

Надо сказать, что построение теории функций кватернионов в будущем может привести к открытиям общематематического зна­чения. Сейчас кватернионы успешно применяются в теории отно­сительности.

Гиперкомплексные числа

С введеним кватернионов задачи пространственной геометрии стали решаться так же легко, как с помощью комплексных чисел ре­шаются задачи на плоскости. Влияние идей Гамильтона было весь­ма значительным: они подготовили почву для целой серии работ

об ассоциативных алгебрах, завершившихся доказательством ряда важных теорем о строении таких алгебр.

Кватернионы являются частным случаем гиперкомплексных чисел. Важными для практического применения являются те ги- перкомплексные числа, для которых определена операция деления: действительные и комплексные числа, кватернионы и октавы. Эти математические объекты связаны последовательно проводимыми операциями удвоения. Комплексные числа получаются процедурой удвоения действительных чисел. Кватернионы получаются удвое­нием комплексных чисел. Октавы получаются путем удвоения ква­тернионов. Алгебру октав разрабатывал В.Я. Фридман [103], а в настоящее время интересные результаты в алгебре октав получе­ны доцентом МГТУ им. Н. Э. Баумана Сергеем Владимировичем Галкиным [21].

Во второй половине XIX в. обычные комплексные числа широко применяли в теории функций и даже в теории чисел. В то же время разработка проблем n-мерной геометрии и методов математической физики потребовала дальнейшего обобщения понятия числа, пере­хода к комплексным числам с п мнимыми единицами. Комплексны­ми и гиперкомплексными числами стали представлять исследуемые реальные величины — векторы в пространстве R_n\ ответ на задачу, выраженный комплексным или гиперкомплексным числом, имел в этой области объективный смысл. Объявлять комплексные (и ги- перкомплексные) числа ложными, воображаемыми, как это делали математики XVII—XVIII вв., стало невозможным.

Арифметика комплексных чисел показала, что переход к но­вой, более широкой области чисел, во-первых, требует обобщения определения операций, выполняемых в исходной области чисел, и, во-вторых, сопровождается потерей некоторых свойств, присущих исходной области чисел. При переходе от действительных чисел к комплексным пришлось отказаться от связывания их знаками < (меньше), > (больше). В арифметике кватернионов дополнитель­но пришлось отказаться от закона коммутативности умножения. Законы счета, которые в понимании математиков XVII—XVIII вв. составляли основу неизменной сущности понятия числа, оказались законами с ограниченной областью действия. Чисто формальное подведение новых видов чисел под все законы известных чисел было окончательно дискредитировано.

С учетом общих тенденций развития способов обоснования ма­тематики стало ясно, что для обоснования арифметики какого угод­но вида чисел, объективность которых уже доказана, достаточно перечислить основные понятия, определения и посылки, выяснить, какие законы счета выполняются в обосновываемой области чисел, а все остальные утверждения несложно получить методом дедук­ции. На этом пути удалось обосновать арифметику целых, рацио­нальных, комплексных, гиперкомплексных чисел.

Матрицы

Если рассматривать вектор как элемент векторного простран­ства, то развитием понятия «вектор» является математическое по­нятие «матрица».

Матрица — это прямоугольная таблица вида

/ ап	«12	0-1 п ^
		• &2п
\^ат1	0-т2	(Ьтп /

состоящая из т строк и п столбцов, элементы a,_:j которой принад­лежат некоторому множеству К. В наиболее важных случаях в каче­стве К выступают поле действительных чисел, поле комплексных чисел и т. д.

По своей природе эта таблица является символом, используе­мым при записи системы линейных уравнений

&11%1 + ^а12%2 + ' ' ' + Ч\_пХ_п = bi, а₂1Х1 + 0.22X2 Н Ь а_2пх_п = Ь₂,

(ац	012 •	Ol п ^		{ Х1_\		(ЬЛ
0-21	022 •	02 п	, Х =	Х2	, ъ =	ь2
\Oml	От2	Отп/		\хп)		\Ът)

От 1^1 + dm2X2 Н^- ' ' ' О_тпХ_п — Ь_ш

Линейные уравнения описывают процессы, приводящие к за­дачам, в которых рассматриваются малые величины. Такие задачи возникают при описании геометрических деформаций тел, в теории электричества и магнетизма, в аэро- и гидродинамике.

Матрицы встречаются во многих разделах чистой математики. Используются матрицы в теории кривых и поверхностей второго порядка при записи квадратичных форм, в теории дифференциаль­ных уравнений, в теории групп, в теории вероятностей и в других разделах математики. Матричному исчислению обязана своим раз­витием квантовая теория. В целом матричная алгебра — наиболее убедительный пример того, как одна и та же закономерность встре­чается при самых различных обстоятельствах.

Понятие «матрица» впервые появилось в середине XIX в. в ра­ботах Гамильтона и Кэли (см. гл. 15). Фундаментальные результа­ты в теории матриц принадлежат Вейерштрассу, французскому ма­тематику Камилю Жордану, немецкому математику Георгу Фробе- ниусу.

Тензоры

В течение XIX в. в разных областях математики стали использо­вать системы с индексами. Это квадратичные формы в алгебре, ква­дратичные дифференциальные формы в геометрии. В конце XIX в. удалось понять внутреннее единство формул, содержащих системы с индексами, и найти новый математический аппарат, сделавший операции с ними компактными и удобными.

Создать математический аппарат, распространивший векторное исчисление на системы с произвольным числом индексов, удалось итальянскому математику Дж. Риччи. Он получил основополага­ющие результаты в дифференциальной геометрии n-мерных про­странств. Исчисление, созданное Риччи, оказало настолько сильное влияние на геометрию и физику, что некоторое время даже назы­валось исчислением Риччи. В теории упругости и кристаллофизике его применял немецкий ученый Фойгт, который и ввел в обраще­ние термин «тензор» (от лат. tensus — напряженный) для описания механических напряжений. Термин был принят не только в теории упругости, но и в геометрии и физике.

Тензоры являются обобщением векторов и матриц, так как век­торы можно рассматривать как частный случай тензора, а матрицы

— как представление тензоров второго ранга. Для сложных тензо­ров третьего ранга и более компоненты могут располагаться в виде многомерной таблицы чисел, своеобразной многомерной матрицы.

Тензорное исчисление — раздел математики, изучающий тензоры и тензорные поля, — разделяется на тензорную алгебру и тензорный анализ. Оно было создано для изучения свойств ани­зотропных сред и постепенно проникло во все области физики. С середины XIX в. тензоры используют в механике при описании упругих деформаций (тензор напряжений, тензор деформаций). С начала XX в. аппарат тензорного исчисления систематически применяют в релятивистской физике. Эйнштейн для математиче­ского аппарата теории относительности выбрал тензорное исчи­сление как наиболее подходящее. Он не только полностью овладел этим математическим аппаратом, но и ввел некоторые упрощения в записи тензорных преобразований. Тензорное исчисление в XX в. развивали итальянский математик Леви-Чивита, голландский мате­матик Скоутен, немецкие математики Г. Вейль, Веблен и другие.

Изучение пьезоэлектрических свойств кварца требует исполь­зования громоздкого математического аппарата. Методы тензорной алгебры значительно упрощают исследования. Вообще тензорное исчисление позволяет упростить изучение кристаллических сред, в большинстве случаев анизотропных (например, при исследова­нии диэлектрических свойств кристалла используется тензор ди­электрической проницаемости).

С середины XX в. активно разрабатывается теория нелиней­ных тензорных функций и функционалов, позволяющая описывать такие нелинейные свойства сред, как эффекты анизотропной пла­стичности, ползучести, нелинейной вязкости, нелинейной диффу­зии, нелинейные оптические свойства и др.

Метод применения тензорного исчисления к исследованию электрических цепей разработан американским математиком Га­бриэлем Кроном.

В современном тензорном исчислении используются три фор­мы записи соотношений: компонентная, безындексная и матрич­ная. Тензорное исчисление тесно связано с другими разделами ма­

тематики: теорией инвариантов, теорией групп, теорией представ­лений [35].

Спиноры

Спиноры впервые были рассмотрены в 1913 г. французским ма­тематиком Эли Картаном в его исследованиях по теории представ­лений непрерывных групп.

Теорией групп в XIX в. занимались многие математики, в том числе и Дедекинд. Его интересовала проблема определителя груп­пы. Когда он почувствовал, что не сможет решить эту проблему, он в марте 1896 г. обратился к Фробениусу, который был моложе его на 18 лет, с просьбой разобраться в этом вопросе. В ответном письме от 12 апреля 1896 г. Фробениус описал свои идеи. Этот день приня­то считать днем рождения теории представлений конечных групп. Развивая эту теорию, Картан и ввел в рассмотрение спиноры. Они были вновь открыты в 1929 г. Ван-дер-Варденом в исследованиях по квантовой механике. Им было обнаружено, что явление спина электрона и других элементарных частиц описывается физически­ми величинами, не принадлежащими к известным ранее типам ве­личин (тензоры, псевдотензоры и т. д.). Например, они определя­ются лишь с точностью до знака, и при повороте на угол 2-7Г вокруг некоторой оси все компоненты этих величин меняют свой знак. Но­вые математические объекты и были названы спинорами.

Спинорное исчисление нашло широкое применение во многих разделах математики и позволило решить ряд трудных задач алге­браической и дифференциальной топологии.

Дата добавления: 2015-08-28