Предел и непрерывность функции

Предел и непрерывность функции

0. Введение.

1. Понятие предела.

1.1. Окрестность точки.

1.2. Предел последовательности.

1.3. Предел функции на бесконечности.

1.4. Предел функции в точке.

2. бмв

3. ббв

4. Стандартные способы вычисления пределов.

4.1. Неопределенности.

4.2. Замечательные пределы.

4.3. Алгоритм вычисления пределов.

5. Понятие непрерывности функции.

6. Точки разрыва функции.

6.1. Точки разрыва первого рода.

6.2. Точки разрыва второго рода.

7. Свойства непрерывности.

8. Предел функции в экономике.

9. Литература.

1.1.

Абсолютной величиной (или модулем) действительного числа х называется само число х, если х неотрицательно, и противоположное число – х, если х – отрицательно.

Например, |5|=5; |-1,5|=1,5.

Из определения абсолютной величины числа следует: -│х│≤ х ≤ │х│. Пусть │х│< ε, можно написать: -ε<х<ε, т.е. значения х лежат на открытом интервале (-ε, ε).

Рассмотрим неравенства │х-А│<ε (где ε>0). Решениями этого неравенства будут точки открытого интервала (А–ε, А+ε), или А- ε< х <А+ε.

Всякий интервал, содержащий точку А называется окрестностью этой точки.

Интервал (А–ε, А+ε), т.е. множество точек х таких, что │х-А│<ε (где ε>0), называется ε – окрестностью точки А (ε(А)).

Рис. 1.

а – ε а а+ε

Интервал с центром в точке х₀ и радиусом δ называют δ окрестности точки х₀ – δ(х₀)

Рис. 2.

x₀ – δ x₀ x₀ + δ

1.2.

Рассмотрим небольшой пример. Пусть в тире тренировались два стрелка: хороший - назовем его "Снайпер", и плохой - "Мазила".

Рис. 3.

Если внимательно посмотреть на результаты этой тренировки, то нетрудно заметить, что последовательность выстрелов "Снайпера" (последовательность А) вся находится не только внутри мишени, но и, более того, как бы "стремится" к центру мишени ("яблочко"). А вот у "Мазилы" дела плохи (последовательность В)- выстрелы разбросаны по всей мишени в абсолютном беспорядке, несколько даже оказались в "молоке".

Число А называется пределом последовательности {x_n}, при n → ∞, если для любого ε > 0 существует N, что выполняется неравенство | x_n – а | < ε для любых n, |n| > N.

Если число a есть предел последовательности x = { x_n }, то говорят, что x_n стремится к a, и пишут или x_n® A при n® ¥

Запишем неравенство из определения в виде

Это неравенство означает, что все элементы последовательности с номерами n>N должны лежать в интервале (a – ε; a+ ε).

Следовательно, постоянное число a есть предел числовой последовательности { x_n }, если для любой малой окрестности с центром в точке a радиуса ε (ε – окрестности точки a) найдется такой элемент последовательности с номером N, что все последующие элементы с номерами n>N будут находиться внутри этой окрестности.

Рис. 4.

Рассмотрим пример - последовательность вещественных чисел:

X_n = (-0,29; -0,2; -0,01; 0,001; 0,05; 0,1). Эта последовательность состоит из 6 элементов (членов последовательности). Пределом этой последовательности является число "ноль". Действительно, если изобразить эту последовательность на числовой оси, то мы увидим, что все остальные члены последовательности как бы стремятся "слипнуться" с нулем:

Рис. 5.

1. Пусть переменная величина x последовательно принимает значения

Докажем, что предел этой числовой последовательности равен 1. Возьмем произвольное положительное число ε. Нам нужно найти такое натуральное число N, что при всех n>N выполняется неравенство |x_n - 1| < ε. Действительно, т.к.

то для выполнения соотношения |x_n - a| < ε достаточно, чтобы или . Поэтому, взяв в качестве N любое натуральное число, удовлетворяющее неравенству , получим что нужно. Так если взять, например, то, положив N=6, для всех n>6 будем иметь

2. Используя определение предела числовой последовательности, доказать что . Возьмем произвольное ε>0.

Рассмотрим . Тогда , если или , т.е. . Поэтому выберем любое натуральное число, удовлетворяющее неравенству .

3. Пусть x_n = 1/n, покажем, что lim_{n® ¥}1/n = 0. Для этого запишем определение: " e>0 $ N: " n>N |x_n|<e. То есть 1/n<e при n>N=[1/e].

4. x_n = . Доказать, что lim_{n ® ¥} = 1. " e >0 $ N: " n > N | -1| < e. 1/n < e Þ n > 1/e N = [1/e]. Если e = 1/10, то N=10 и при n > 10 следует выполнение нужного неравенства.

Предел последовательности обладает свойствами:

Теорема 1. Предел последовательности, если он существует, единственен.

Действительно, предположим, что x_n → a и одновременно x_n → b. Возьмем любое и отметим окрестности точек a и b радиуса ε (см. рис.). Тогда по определению предела, все элементы последовательности, начиная с некоторого, должны находиться как в окрестности точки а, так и в окрестности точки b, что невозможно.

Рис. 6.

Теорема 2. Последовательность в некоторой окрестности предельной точки ограничена.

Теорема 3. Если все элементы числовой последовательности принимают одно и то же постоянное значение x_n = c, то предел этой последовательности будет равен самой постоянной.

Действительно, при любом ε всегда выполняется неравенство | x_n - c |=| c - c |=0<ε.

Теорема 4. Предел суммы (разности) двух последовательностей, имеющих пределы, равен сумме (разности) пределов.

Если существуют пределы последовательностей {x_n}, {y_n}, т.е. lim x=a, lim y_n= b,

n→∞ n→∞

то lim (x_n ± y_n) = lim x_n ± lim y_n = a ± b

n→∞ n→∞ n→∞

Следствие. Д анная теорема выполняется для любого конечного числа последовательностей.

Теорема 5. Предел произведения двух последовательностей, имеющих пределы, равен произведению пределов.

Если существуют пределы последовательностей {x_n}, {y_n}, т.е. lim x_n= a, lim y_n = b,

n→∞ n→∞

то lim (x_n * y_n) = lim x_n * lim y_n = a * b

n→∞ n→∞ n→∞

Следствие 1. Д анная теорема выполняется для любого конечного числа последовательностей.

Следствие 2. Вынесение постоянного множителя за знак предела.

Если существует последовательности {x_n},, т.е.. lim x_n= a

n→∞

то lim k* x_n =k* lim x_n = k * b

n→∞ n→∞

Следствие 3. Предел степени (корня) последовательности, имеющей предел, равен степени (корню) предела этой последовательности.

lim x_n^k =(lim x_n)^k

Теорема 6. Предел отношения двух последовательностей, имеющих пределы, равен отношению пределов.

Если существуют пределы функций последовательностей {x_n}, {y_n},

т.е. lim x_n= a, lim y_n = b ≠ 0

n→∞ n→∞

то lim (x_n / y_n) = lim x_n / lim y_n = a / b

n→∞ n→∞ n→∞

Следствие. Данная теорема выполняется для любого конечного числа последовательностей.

Теорема 7. Если lim_{n ® ¥}x_n = A, lim_{n ® ¥}y_n = B, и A<B, то $ N: " n>N x_n<y_n.

Теорема 8. Даны последовательности {x_n}, {y_n}, {z_n} и известно, {x_n} ≤ {y_n) ≤ {z_n}, где lim {x_n}= lim {z_n} = a, то отсюда lim {y_n} = a

n→∞ n→∞ n→∞

Доказательство. Согласно определению предела " e > 0 $ N ₁: " n>N ₁выполняется A- e < x_n < A+ e " e > 0 $ N ₂: " n > N ₂, A- e < z_n < A+ e Если N = max(N ₁ ,N ₂), тогда при n>N получим A-e<x_n £ y_n £ z_n < A+ e. Следовательно, |y_n-A|< e.

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся.

Замечание 1. Не следует думать, что каждая числовая последовательность имеет предел.

Пусть, например, переменная величина принимает значения . Несложно заметить, что эта последовательность не стремится ни к какому пределу.

Замечание 2. Если предел отдельных последовательностей не существует, то это не значит, что не существует общий предел, применяются другие теоремы.

Число А называется пределом последовательности {x_nk} (подпоследовательность последовательности {x_n}), при n→ ∞, если для любого ε > 0 существует N, что выполняется неравенство | x_nk – A | < ε для любых n_k, |n_k| > N, т.е. если начиная с некоторого номера N при n_k = N+1, N+2... элементы последовательности лежат в интервале (А-ε;А+ε), lim x_nk = A

n _k→∞

Предел любой подпоследовательности, если он существует, называется частичным пределом данной последовательности.

Если последовательность сходится, то и любая ее подпоследовательность будет сходится, а если подпоследовательность сходится, то не всегда последовательность имеет предел.

1.3.

Вспомним, однако, что числовая последовательность может рассматриваться как функция целочисленного аргумента. Т.е. можно говорит не только о пределах последовательностей (т.е. пределах функции целочисленного аргумента), но и о пределе функций вообще.

Число А называется пределом f(x) при х → ∞, если для любого ε > 0 существует N, что выполняется неравенство | f(x) – A | < ε для любых х, |х| > N.

Рис. 7.

Обозначают lim f(x) = A

x→∞

1. Используя определение, доказать, что

Нужно доказать, что при произвольном ε будет выполняться неравенство как только |x|>M, причем число М должно определяться выбором ε. Записанное неравенство эквивалентно следующему которое будет выполняться, если |x|>1/ε=M. Это и значит, что

Рис. 8.

2. Несложно заметить, что

3. не существует.

Предел функции на бесконечности обладает свойствами:

Теорема 1. Предел функции, если он существует, единственен.

Действительно, предположим, что f(x)→ a и одновременно f(x) → b. Возьмем любое и отметим окрестности точек a и b радиуса ε (см. рис.). Тогда по определению предела, все х, начиная с некоторого, должны находиться как в окрестности точки а, так и в окрестности точки b, что невозможно.

Рис. 9.

Теорема 2. Если и b – конечное число, то функция f(x) ограничена при x→¥.

Теорема 3. Если все х принимают одно и то же постоянное значение x = c, то предел этой функции будет равен самой постоянной.

Действительно, при любом ε всегда выполняется неравенство | x - c | = | c - c |=0 <ε.

Теорема 4. Предел суммы (разности) двух функций, имеющих пределы, равен сумме (разности) пределов этих функций.

Если существуют пределы функций f(x), g(x), т.е. lim f(x) = a, lim g(x) = b,

x→∞ x→∞

то lim (f(x) ± g(x)) = lim f(x) ± lim g(x) = a ± b

x→∞ x→∞ x→∞

Следствие. Данная теорема выполняется для любого конечного числа последовательностей.

Теорема 5. Предел произведения двух функций, имеющих пределы, равен произведению пределов этих функций.

Если существуют пределы функций f(x), g(x), т.е. lim f(x) = a, lim g(x) = b,

x→∞ x→∞

то lim (f(x) * g(x)) = lim f(x) * lim g(x) = a * b

x→∞ x→∞ x→∞

Следствие 1. Данная теорема выполняется для любого конечного числа последовательностей.

Следствие 2. Вынесение постоянного множителя за знак предела.

Если существует предел функции f(x), т.е. lim f(x) = a,

x→∞

то lim k*f(x) =k* lim f(x) = k * b

x→∞ x→∞

Следствие 3. Предел степени (корня) последовательности, имеющей предел, равен степени (корню) предела этой последовательности.

lim f(x) ^k =(lim f(x))^k

x→∞ x→∞

Теорема 6. Предел отношения двух последовательностей, имеющих пределы, равен отношению пределов.

Если существуют пределы функций f(x), g(x), т.е. lim f(x) = a, lim g(x) = b ≠0,

x→∞ x→∞

то lim (f(x) / g(x)) = lim f(x) / lim g(x) = a / b

x→∞ x→∞ x→∞

Следствие. Данная теорема выполняется для любого конечного числа последовательностей.

Теорема 7. Если lim f(x) = А, lim g(x) = В, и A<B, то $ N: " х>N f(x) ≤ g(x).

x→∞ x→∞

Теорема 8. Даны функции f(x), g(x), h(x) и известно, h(x) ≤ f(x) ≤ g(x), где

lim h(x) = lim g(x) = a, то отсюда lim f(x) = a

x→∞ x→∞ x→∞

Замечание 1. Не следует думать, что каждая функция имеет предел.

Замечание 2. Если предел отдельных последовательностей не существует, то это не значит, что не существует общий предел, применяются другие теоремы.

Пусть теперь функция f (x) определена на полубесконечном промежутке
(–¥; х ₀). Число А называется пределом функции f (x) при х, стремящемся к минус бесконечности: ,

если для любого положительного числа e можно найти такое положительное число M (зависящее от e), что для всех чисел х, меньших, чем – М, выполняется условие:

½ f (x) – A ½ < e.

1.4

Рассмотрим функцию y = x ² в точке x ₀ = 2. Значение функции в этой точке равно 4.

Отметим одну особенность поведения функции в этой точке. Можно

выбрать какое-либо поло­жительное число eи построить e - окрестность точки y ₀ = 4. Очевидно, что найдется такая окрестность точки x ₀ = 2 (на рисунке 1 эта окрестность имеет радиус d), что если x будет лежать в этой окрестности, то соответствующее значение y, равное x ², попадет в e - окрестность точки y ₀ = 4. Это заключение справедливо для любого, сколь угодно малого числа e. Здесь точка x ₀ = 2 выбрана произвольно. Можно было бы для данной функции выбрать любую другую точку и сделать подобное заключение.

Рассмотрим функцию . Эта функция не определена в точке x ₀ = 2. При x ₀ ¹ 2 её можно преобразовать: .

График функции представлен на рисунке 2. Хотя исходная функция не определена в точке x ₀ = 2 и естественно не равна 3 в этой точке, точка y ₀ = 3 имеет характерную особенность. Выбрав положитель­ное число e, можно утверждать, что если рассматривать значения x, расположенные достаточно близко к точке x ₀ = 2 (или лежащие в некоторой окрестности точки x ₀ = 2, причем радиус этой окрестности зависит от e), то соответствующие значения y попадут в e-окрестность точки y ₀ = 3. Всё сказанное остаётся справедливым независимо от того, насколько малым выбрано положительное число e.

Тогда, можно ввести следующее понятие. Функция f(x) имеет в точке х₀ пределом число А, если для любого ε > 0 существует δ > 0 / | f(x) – A| < ε, для любого х, удовлетворяющего неравенству |x – x₀| < δ, x ≠ x₀ (x є δ(x₀)), т.е. lim f(x) = A

x→x₀

Проиллюстрируем это определение на графике функции.

Точка X₀, к которой стремится независимая переменная X, называется ее предельной точкой.

Так как неравенство |x – x₀| < δ равносильно двойному неравенству x₀ – δ < x < x₀ + δ, а неравенство | f(x) – A| < ε – A – ε < f(x) < A + ε, то определение предела функции в точке можно дать в такой форме: число А есть предел функции f(x) при x→x₀, если, какова бы ни была ε –окрестность точки А, найдется такая δ -окрестность точки х₀, что для любого значения x ≠ x₀, принадлежащего δ -окрестности точки х₀, значение f(x) принадлежит ε –окрестности точки А.

Следует обратить внимание, что в этом определении не требуется, чтобы функция была задана и в предельной точке (т.е. чтобы существовало значение f(X₀)). Достаточно чтобы функция бала определена в какой-нибудь окрестности (например, δ-окрестности) предельной точки, но не обязательно в самой точке.

Рассмотрим функцию . Очевидно, что если x > 0, то y = 2 ^x; если x < 0, то y = – 2 ^x; при x = 0 функция не определена.

График функции изображен на рисунке 13. Легко убедиться в том, что, согласно приведенному выше определению предела, эта функция в точке x = 0 предела не имеет.

1. Найти предел функции y=2x+1 при x → 1.

Используя график функции, можно увидеть,

что если x → 1 с любой стороны, то соответствующие точки M(x, y) графика стремятся к точке M(1, 3), т.е. можно предположить, что .

Докажем это. Зададим произвольное число ε > 0. Нам нужно, чтобы выполнялось неравенство |(2x+1) – 3|<ε или |2x–2| < ε, откуда |x– 1| < ε. Таким образом, если положить δ = ε/2, то при всех x, удовлетворяющих неравенству |x– 1|<δ, будет выполняться неравенство |y – 3| < ε. По определению предела это и означает, что 3 есть предел функции y=2x+1 при x → 1.

2. Найти предел функции y=e^x+1 при x → 0.

.

3. Докажем

Возьмем любое ε и будем искать число δ>0, так чтобы если |x-6|<δ |(2x-5)-7|<ε |2x-5-7|<ε 2|x-6|<ε |x-6|<ε/2, положив δ=ε/2>0, мы видим, что для всех х, удовлетворяющих неравенству |x-6|<δ, выполняется |(2x-5)-7|<ε и следовательно

Несложно заметить, что предел функции должен обладать теми же свойствами, что и предел числовой последовательности, а именно:

Теорема 1. предел функции, если он существует, единственен.

Действительно, предположим, что f(x)→ a и одновременно f(x) → b. Возьмем любое и отметим окрестности точек a и b радиуса ε (см. рис.). Тогда по определению предела, все х, начиная с некоторого, должны находиться как в окрестности точки а, так и в окрестности точки b, что невозможно.

Теорема 2. Если и b – конечное число, то функция f(x) ограничена при x→a.

Доказательство. Т.к. , то при любом ε>0 найдется такое число δ>0, что при вех значениях х, удовлетворяющих неравенству |x-a|< δ, выполняется неравенство |f(x) –b|< ε. Воспользовавшись свойством модуля |f(x) – b|≥|f(x)| - |b|, последнее неравенство запишем в виде |f(x)|<|b|+ ε. Таким образом, если положить M=|b|+ ε, то при x→a |f(x)|<M.

Теорема 3. Если все х принимают одно и то же постоянное значение x = c, то предел этой функции будет равен самой постоянной.

Действительно, при любом ε всегда выполняется неравенство | x - c | =| c - c |=0 < ε.

Теорема 4. Предел суммы (разности) двух функций, имеющих пределы, равен сумме (разности) пределов этих функций.

Если существуют пределы функций f(x), g(x), т.е. lim f(x) = a, lim g(x) = b,

x→x₀ x→x₀

то lim (f(x) ± g(x)) = lim f(x) ± lim g(x) = a ± b

x→x₀ x→x₀ x→x₀

Следствие. Данная теорема выполняется для любого конечного числа последовательностей.

Теорема 5. Предел произведения двух функций, имеющих пределы, равен произведению пределов этих функций.

Если существуют пределы функций f(x), g(x), т.е. lim f(x) = a, lim g(x) = b,

x→x₀ x→x₀

то lim (f(x) * g(x)) = lim f(x) * lim g(x) = a * b

x→x₀ x→x₀ x→x₀

Следствие 1. Данная теорема выполняется для любого конечного числа последовательностей.

Следствие 2. Вынесение постоянного множителя за знак предела.

Если существует предел функции f(x), т.е. lim f(x) = a,

x→x₀

то lim k*f(x) =k* lim f(x) = k * b

x→x₀ x→x₀

Следствие 3. Предел степени (корня) последовательности, имеющей предел, равен степени (корню) предела этой последовательности.

lim f(x) ^k =(lim f(x))^k

x→x₀ x→x₀

Теорема 6. предел отношения двух последовательностей, имеющих пределы, равен отношению пределов.

Если существуют пределы функций f(x), g(x), т.е. lim f(x) = a, lim g(x) = b ≠0,

x→x₀ x→x₀

то lim (f(x) / g(x)) = lim f(x) / lim g(x) = a / b

x→x₀ x→x₀ x→x₀

Следствие. Данная теорема выполняется для любого конечного числа последовательностей.

Теорема 7. Если lim f(x) = А, lim g(x) = В, и A<B, то $ N: " х>N f(x) ≤ g(x).

x→x₀ x→x₀

Теорема 8. Даны функции f(x), g(x), h(x) и известно, h(x) ≤ f(x) ≤ g(x), где

lim h(x) = lim g(x) = a, то отсюда lim f(x) = a

x→x₀ x→x₀ x→x₀

Замечание 1. Не следует думать, что каждая функция имеет предел.

Замечание 2. Если предел отдельных последовательностей не существует, то это не значит, что не существует общий предел, применяются другие теоремы.

Пусть f(x) задана на множестве Е. Тогда число А является пределом функции f(x), если для любого для любого ε > 0 существует δ > 0 / | f(x) – A| < ε, для любого х, удовлетворяющего неравенству |x – x₀| < δ, x ≠ x₀, хє Е, т.е. lim f(x) = A

x→x₀, хє Е

- частичный предел.

Введем определения так называемых “односторонних пределов”.

Число B называется пределом функции f (x) в точке a справа (это записывается в виде формулы ), если для любого поло­жительного числа e найдется положительное число d, такое что из из условия 0 < x – a < d будет следовать ê B –f (x) ê < e.

Согласно приведенному определению . Отметим, что обыкновенного предела функция в точке x = 0 не имеет.

Число С называется пределом функции f (x) в точке b слева (это записывается в виде формулы ), если для любого поло­жительного числа e найдется положительное число d такое, что из условия 0 < b – x < d будет следовать ê C – f (x)ê < e.

Очевидно, что функция (её график, изображен на рисунке 13) имеет два односторонних предела в точке x = 0:

; .

2.

Последовательность {α_n} бесконечно малая величина (бмв), если ее предел равен нулю при n→∞ или более подробно с учетом определения предела " e>0 $ N: " n>N |x_n| < e Þ x_n.

Функция f(x) бесконечно малая величина (бмв), если ее предел равен нулю при x→x₀.

Пример бесконечно малой величины: пусть при n →∞. Зададим n=1001 , .

Свойства бесконечно малых величин:

Теорема 1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая.

Теорема 2. Произведение ограниченной или постоянной последовательности или функции на бесконечно малую величину является бесконечно малой величиной.

Теорема 3. Произведение конечного числа бесконечно малых величин является бесконечно малой величиной.
Даны бмв – α (х) и β(х), тогда предел их отношения имеет следующие значения:

0, то α (x) более высокого порядка, чем β(x)

если Lim α (x)/β(x) = ∞, то α (x) более низкого порядка, чем β(x)

x→x₀ k, то α (x) и β(x) одинакового порядка

1, то α (x) и β(x) эквивалентны

, Бесконечно малая величина в два раза быстрее стремится к нулю, чем бесконечно малая величина.

α (x) ~ β(x) – эквивалентность

sin x ~ x

tg x ~ x

1 – cos x ~ ½ x²

√1 + x - √1 – x ~ x

3.

Рассмотрим теперь случай, когда функция y=f(x) стремится к бесконечности при некотором способе изменения аргумента.

Функция f(x) стремится к бесконечности при x → a, т.е. является бесконечно большой величиной, если для любого числа М, как бы велико оно ни было, можно найти такое δ > 0, что для всех значений х ≠ a, удовлетворяющих условию | x-a | < δ, имеет место неравенство | f(x) | > M.

Если f(x) стремится к бесконечности при x→a, то пишут или f(x) →∞ при x→a. Можно сформулировать аналогичное определение для случая, когда x →∞.

Если f(x) стремится к бесконечности при x→a и при этом принимает только положительные или только отрицательные значения, соответственно пишут или .

Бесконечно большая величина (ббв) является обратной к бесконечно малой величине (бмв).

Для последовательности x_n = 1/α_n – ббв. Для функции f(x) = 1/α(x) – ббв.

1.

2.

3.

4. Функция при x→0 не стремится ни к какому пределу (см. рис.).

5. Иногда ббв может не иметь предела:

x_n = (-1)ⁿ*n

Свойства бесконечно больших величин:

Теорема 1. Если f(x) ббв и φ(х) ограниченная функция, то lim f(x)/φ(x) = ббв

x→x₀

Теорема 2. Если f(x) ббв и φ(х) имеет бесконечный или конечный предел, то

lim f(x)*φ(x) = ббв

x→x₀

Теорема 3. Если α(x) бмв и φ(х) имеет бесконечный или конечный предел не равный нулю, то lim φ(x)/α(x) = ббв

x→x₀

Бесконечность – это не число, ее можно добавить ко множеству вещественных чисел R в качестве нового элемента ∞. После этого числовая прямая превращается в так называемую расширенную прямую.

4.1.

Есть особые случаи, когда предел суммы, произведения или частного нельзя найти, зная только пределы слагаемых, сомножителей или делимого и делителя. Такие случаи называются неопределенностями.

Выделяют неопределенности двух типов:

Арифметические неопределенности (0/0); (∞ / ∞); (∞ - ∞); (0*∞).

Степенно-показательные неопределенности (1^∞); (∞⁰); (0⁰).

Эти записи не являются операциями над числами и ∞, они представляют собой только деловые обозначения.

В случае неопределенности предел может быть равен нулю, конечному числу, бесконечности или не существовать. Для нахождения предела (раскрытие неопределенности) надо исследовать каждый случай отдельно. Существуют стандартные методы для раскрытия неопределенностей каждого вида.

4.2.

Для раскрытия неопределенностей используются не только различные приемы преобразования функций, но и так называемые замечательные пределы.

·

х→ 0

Первый замечательный предел lim sin x / x = 1,

он раскрывает неопределенность (0/0).

· Второй замечательный предел. lim (1+ 1/x)^x = e,

x→∞

где ℮=2, 7 …иррациональное «непперово» число.

· lim (1+x)^1/x = e

x→0

· lim ln(1 + α) / α = 1

α→0

· lim log_a(1 + x) / x = log_ae

x→0

· lim (e^α – 1) / α = 1

α→0

· lim (a^x – 1) / x = 1/ log_ae (a > 1)

α→0

· lim ln(1 + α(x)) / β(x) = lim α(x) / β(x), α(x) →0, β(x)→0

x→x₀ x→x₀

· lim ln(1 + α(x)) / ln(1 + β(x)) = lim α(x) / β(x), α(x) →0, β(x)→0

x→x₀ x→x₀

4.3.

Решение примеров на нахождение пределов функций начинается с выяснения вопроса: есть неопределенность или ее нет. Если ее нет, то в функцию вместо переменной х подставляют предел, к которому х стремится, производят соответствующие алгебраические действия, результат которых и будет решением примера.

Алгоритм решения задач на нахождение пределов:

проверка предела на определенность

определенность неопределенность

предел равен избавление от неопределенности:

значению функции

(последовательности)

в данной точке - тождественные преобразования:

1) вынесение общего множителя за скобки;

2) группировка;

3) ФСУ;

4) разложение на множители…

- правило (при n →∞):

если функция (последовательность) представлена в виде отношения многочленов, то сравниваются наибольшие степени многочленов числителя (n) и знаменателя (m):

1) если n > m, то предел равен ∞;

2) если n = m, то предел равен отношению коэффициентов членов многочлена при наибольших степенях;

3) если n < m, то предел равен 0;

- эквивалентность бмв (см. 3.3.);

- замечательные пределы (см. 5);

- логарифмирование (вида – f(x) =φ(x)^g(x)):

lim f(x) = e^{ln lim f(x)} = e^{lim ln f(x)};

x→x₀

- правила Лопиталя (см.

дифференциальное исчисление)

Пример 1. Найдем предел функции f(x)=(x³-3x+1)/(x-4)+1 при x → 0. Для этого последовательно воспользуемся теоремами 1, 2,3,4:

Учтем теперь, что пределом постоянной величины является сама постоянная величина, т.е.: . А, затем, подставим в качестве значений независимой переменной число 0, к которому та стремится. Тогда наше решение продолжится следующим образом:

Пример 2.

Пример 3. Рассмотрим функцию f(x) = (4x²-1)/(2x-1). Она определена во всех точках, кроме x = 1/2, т.к. в этой точке (при x = 1/2) знаменатель дроби 2x-1 = 2*1/2-1 = 1-1 = 0 при x=1/2. Возьмем x=6. Тогда f(6) = (4*6²-1)/(143/11) = 13. Т.е. по мере приближения к x=6 числитель (4x²-1) стремится к 143, а знаменатель (2x-1) - к 11. Вся дробь стремится к 13. Т.е. число 13 (равное значению функции при x=6) есть вместе с тем предел функции при x → 6: .

Рассмотрим теперь ту же функцию f(x) = (4x²-1)/(2x-1), но при x=1/2. Функция f(x) здесь неопределенна (говорят, что формула дает неопределенное выражение 0/0). Но предел функции при x → 1/2 существует и равен 2:

обратите внимание на то, как был вычислен этот предел. Вначале мы увидели, что числитель дроби можно разложить по одной из формул сокращенного умножения: a²-b² =(a-b)(a+b).

У нас a=2x, b=1. Затем сократили дробь на общий сомножитель в числителе и знаменателе, в результате чего под знаком предела получили простую алгебраическую сумму (2х+1), в которую мы подставили в качестве значения независимой переменной x=1/2. И вычислили искомый предел. Говорят, что мы раскрыли неопределенность вида 0/0.

Пример 4. Найдем предел функции f(x) = (x⁴- 12x²+16)/(x²-4), но уже при x → ∞. Для того, чтобы найти предельное значение заданной функции на бесконечности воспользуемся соответствующей формулой сокращенного умножения и сократим дробь так же, как мы это делали в примере 1:

. Затем применим следующее рассуждение: бесконечность, возведенная в квадрат, все равно остается бесконечностью, хотя и более высокого порядка. А если мы от бесконечности отнимем некоторое, пусть даже большое, но конечное число, то все равно снова получим бесконечность. Т.е.:

Пример 5. Найдем предел функции f(x)=(3x²+2x)/(x²-x-6) при x → ∞. Здесь мы имеем дело с неопределенностью вида ∞/∞. Т.к. если подставить в качестве значений х=(, то мы получим бесконечности и в числители и в знаменатели дроби. Правда эти бесконечности будут разных порядков. Так что для решения данного примера придется применить специфический прием. А именно, в числителе и знаменатели вынесем за скобку как общий множитель старшую степень и при возможности сократим дробь:

Вспомним основные теоремы о пределах, а также рассуждения из предыдущих примеров. Затем применим следующее рассуждение: любое конечное число, деленное на бесконечность, является бесконечно малой величиной, т.е. ее предел равен нулю - . Т.е.:

х→ -2

Пример 6. Найти lim [(х² – 4) / (x²+x – 2)].

х→ -2

Подставим точку х = - 2 в нашу

функцию, получим lim [(х² – 4) / (x²+x – 2)] = (4 – 4) / (4 – 2 – 2) = (0/0).

х→ -2

Раскроем эту неопределенность, разложив числитель и знаменатель на простые множители, найдя корни числителя и знаменателя, тогда lim [(х²

х→ -2

– 4) / (x²+x – 2)] lim [(х – 2) * (x+2)] / [(x-1)*(x + 2)] = (-2 – 2)/(-2-1) = -4/ -3= 4/3.

Пример 7. Найти lim [(х² – 4) / (x²+x – 2)]. lim [(х² – 4) / (x²+x – 2)] = (¥/¥). Чтобы

n →∞ n →∞

раскрыть эту неопределенность, вынесем за скобки из числителя и из знаменателя х в старшей степени, т.е. х², получим: lim [(х² – 4) / (x²+x – 2)] =

lim [(х²*(1 – 4/х²) / (x²(1+1/x – 2/x²)] = 1/1=1, т.к. lim 4/х² = 4/ ∞ = 0,. lim 1/х = 1/ ∞ =0 и lim 2/х² = 2/ ∞=0

х→ 0

х→ 0

х→ 0

Пример 8. Найти lim (sin3x)/х = (0/0). lim (3sin3x) / (3х) = 3 lim (sin3x) /(3х)= 3*1 =3

х→ 0

Пример 9. Найти lim (sin5x)/(sin2х) = (0/0).

х→ 0

х→ 00

Пример 10. Найти lim (1+(1/2x))^x = 1⁰⁰. lim (1+(1/2x))^{2x * (1/2)} = ℮^1/2= ℮

х→ 00

х→ 00

х→ 00

Пример. 11. Найти lim (1+(1/(x-1))^x = 1⁰⁰. lim [1+(1/(x-1))]^{x -1+1} = lim [(1+(1/(x-1)))^{x -1}

* (1+(1/(x-1)))¹] = ℮*1 = ℮.

Пример 12. = . .

Пример 13. = . .

Пример 14. = .

= .

Пример 15. = . .

Пример 16. .

.

5.

Пусть y=f(x) определена в полной окрестности точки а. Функция y=f(x) называется непрерывной в точке а, если: 1) f(x) определена в точке а, 2) f(x) имеет предел в этой точке, 3) предел функции в этой точке равен ее значению в этой точке .

1. f(x) = 2x² + x – 10, x = 1

lim f(x) = lim (2x² + x – 10) = -7 = f(1)

x→1 x→1

Т.о., f(x) – непрерывная функция в точке х = 1 (по определению).

2. f(x)=x² в точке а=3.

f(3)=9 определена

3*3=9. f(x) непрерывна в точке а=3, кроме того она непрерывна в каждой точке области определения.

Функция y = x² непрерывна в точке x = 2, как и во всех точках числовой оси. Функция не является непрерывной в точке x = 2. Функция не является непрерывной в точке x = 0.

Из определения предела, можно сформулировать другое определение непрерывности: функция f(x) непрерывна в точке а, если

На языке приращений: функция непрерывна в точке а, если б/м приращению аргумента соответствует б/м приращение функции .

На языке окрестностей: f(x) непрерывна в точке а, если при любом выборе U_ε(f(a)) существует такая U_δ(a), что для всех

Функция f(x) непрерывна в точке х₀, если данная функция имеет при x→x₀ конечные и равные между собой односторонние пределы, которые совпадают со значением функции в этой точке, т.е. lim f(x) = lim f(x) = f(x₀)

x→x₀ ^_ x→x₀ ⁺

0, x < 0

x, 0 ≤ x < 1

Y = -x² + 4x – 2,1 ≤ x < 3

4 – x, x ≥ 3

lim f(x) = 0; lim f(x) = lim x = 0; f(0) = 0.

x→0 ^- x→0 ^+- x→0 ^+-

Т.о., f(x) – непрерывная функция в точке х = 0 (по определению).

lim f(x) = lim x = 1; lim f(x) = lim (-x² + 4x – 2) = 1; f(1) = 1

x→1 ^- x→1 ^- x→1 ^+- x→1 ^+-

Т.о., f(x) – непрерывная функция в точке х = 1 (по определению).

lim f(x) = lim (-x² + 4x – 2) = 1; lim f(x) = lim (4 – x) = 1; f(3) = 1

x→3 ^- x→3 ^- x→3 ^+- x→3 ^+-

Т.о., f(x) – непрерывная функция в точке х = 3 (по определению).

Функция, непрерывная в каждой точке открытого промежутка, называется непрерывной на этом промежутке.

Функция непрерывна на отрезке [a,b], если она непрерывна в интервале (a,b), непрерывна справа в точке а и непрерывна слева в точке b.

6.

Если функция f(x), определенная в некоторой окрестности точки х₀, а в точке х₀ неопределена или ее конечный предел не равен значению функции в этой точке, то функция имеет разрыв в точке х₀, а точка х₀ - точка разрыва.

6.1.

Точка х₀ называется точкой разрыва первого рода, если в точке х₀ существуют односторонние пределы слева и справа и выполняется:

- lim f(x) = lim f(x) ≠ f(x₀), разрыв устранимый, т.к. при задании в точке х₀

x→x₀ ^- x→x₀ ⁺

значения, равного пределу функции, непрерывность восстанавливается.

f(x) = x², x < 0

x, x > 0

lim f(x) = lim x² = 0; lim f(x) = lim x = 0;

x→0 ^- x→0 ^- x→0 ⁺ x→0 ⁺

lim f(x) = lim f(x) ≠ f(0)

x→0 ^- x→0 ⁺

Т.о., f(x) – не непрерывная функция в точке х = 0 (по определению), и точка х = 0 – точка разрыва первого рода, при этом разрыв устранимый, т.к. при задании значения х = 0, непрерывность восстановится:

f(x) = x², x < 0

x, x > 0

0, х = 0; непрерывная функция.

- lim f(x) ≠ lim f(x), разрыв неустранимый

x→x₀ ^- x→x₀ ⁺

Действительно, даже по графику функции мы видим, что в точке х₀ эта функция имеет разрыв. Если же рассматривать этот график с точки зрения теории пределов, то легко заметить:

· Если стремиться по оси Х к точке разрыва х₀ слева (синие стрелки на графике), то функция будет, в свою очередь, стремится к значению В₁. Математически это запишется:

· А если стремиться к х₀ справа (зеленые стрелки), то функция будет стремится к значению В₂:

1) f(x) = x+3, x > 0

x – 1, x ≤ 0

lim f(x) = lim (x + 3) = 3; lim f(x) = lim (x - 1) = -1;

x→0 ^- x→0 ^- x→0 ^+- x→0 ^+-

lim f(x) ≠ lim f(x)

x→0 ^- x→0 ^+-

Т.о., f(x) – не непрерывная функция в точке х = 0 (по определению), и точка х = 0 – точка разрыва первого рода, при этом разрыв неустранимый.

2) Дана функция f(1/(1 +2^1/x)). Эта функция в точке х=0 имеет правосторонний предел =0, а левосторонний предел =1.

Скачком функции в точке разрыва называется абсолютная величина разности между ее правым и левым предельными значениями.

6.2.

Точка х₀ называется точкой разрыва второго рода, если в точке х₀ имеется разрыв, который не является разрывом первого рода, т.е. функция в точке разрыва имеет:

- в данной точке отсутствует хотя бы один односторонний конечный предел

y(x) = √x

lim f(x) = lim √x = не существует; lim f(x) = lim √x = 0;

x→0 ^- x→0 ^- x→0 ^+- x→0 ^+-

Т.о., f(x) – не непрерывная функция в точке х = 0 (по определению), и точка х = 0 – точка разрыва второго рода

- односторонние бесконечные пределы

y = 1/x

lim f(x) = lim 1/x = - ∞; lim f(x) = lim 1/x = +∞;

---

Дата добавления: 2015-08-28