Проведено 5% выборочное обследование предприятий.

Проведено 5% выборочное обследование предприятий.

Таблица 1

Предприятие	Стоимость основных производственных фондов (ОПФ), млрд. руб.	Выпуск продукции, млрд. руб.
		5,6
		4,0
		4,0
		2,4
		3,6
		5,0
		4,6
		6,5
		7,0
		4,5

По данным выборочного обследования вычислить:

1. Средние.

2. Дисперсию.

3. Среднее квадратическое отклонение.

4. Коэффициент вариации.

5. С вероятностью 0,997 возможные границы, в которых находится средний выпуск продукции.

6. С вероятностью 0,954 возможные границы, в которых находится удельный вес предприятий, на которых стоимость ОПФ больше 12 млрд. руб.

7. Линию регрессии для характеристики связи между выпуском продукции и стоимостью ОПФ (в аналитическом и в графическом представлениях). Провести экстраполяцию на графике. Обосновать выбор линейной модели.

8. Линейный коэффициент корреляции для оценки тесноты связи. Оценить значимость коэффициента корреляции.

9. Выводы.

Решение.

1. Среднюю стоимость ОПФ и средний выпуск продукции определим по формуле средней арифметической простой.

; .

2. Дисперсия:

; .

3. Среднее квадратическое отклонение:

; .

4. Коэффициент вариации:

; .

Все расчеты оформим в табл.2.

Таблица 2

Расчет средних величин и показателей вариации

Пред-приятие	Стоимость ОПФ, млрд. руб.	Выпуск продукции, млрд. руб.
		5,6	1,2	1,44	0,88	0,7744
		4,0	-2,8	7,84	-0,72	0,5184
		4,0	-0,8	0,64	-0,72	0,5184
		2,4	-4,8	23,04	-2,32	5,3824
		3,6	-1,8	3,24	-1,12	1,2544
		5,0	4,2	17,64	0,28	0,0784
		4,6	0,2	0,04	-0,12	0,0144
		6,5	2,2	4,84	1,78	3,1684
		7,0	3,2	10,24	2,28	5,1984
		4,5	-0,8	0,64	-0,22	0,0484
Итого		47,2	´	69,6	´	16,956

Средняя стоимость ОПФ: млрд. руб.

Средний выпуск продукции: млрд. руб.

Дисперсия:

; .

Среднее квадратическое отклонение:

млрд. руб.; млрд. руб.

Коэффициент вариации:

; .

5. Доверительный интервал для среднего выпуска продукции:

.

Предельная ошибка выборочной средней:

.

По условию, вероятность P = 0,997. Отсюда коэффициент доверия t = 3.

Средняя ошибка выборки при определении среднего выпуска продукции:

.

- число обследованных предприятий (численность выборочной совокупности);

- число всех предприятий (численность генеральной совокупности).

Итак, средняя ошибка выборки равна:

;

(млрд. руб.).

Доверительный интервал:

;

(млрд. руб.).

6. Доверительный интервал для доли:

,

где - доля единиц, обладающих данным признаком в генеральной совокупности.

Доля предприятий, на которых стоимость ОПФ больше 12 млрд. руб., составила:

или 30%.

Предельная ошибка для доли:

.

По условию, вероятность P = 0,954. Отсюда коэффициент доверия t = 2.

Средняя ошибка выборки:

.

;

или 28,2%.

Доверительный интервал:

;

.

7. Построим график корреляционного поля (x – стоимость ОПФ, y – выпуск продукции).

По характеру расположения точек на поле корреляции делаем вывод: корреляционная связь между стоимостью ОПФ (x) и выпуском продукции (y) линейная и задается уравнением прямой:

Для определения параметров уравнения на основе требований метода наименьших квадратов составляется система нормальных уравнений:

Строим вспомогательную таблицу 3.

Таблица 3

№ п/п	x	y	Расчетные данные
x ^2	x × y	y ^2
		5,6		67,2	31,36	5,22
		4,0		32,0	16,00	3,54
		4,0		40,0	16,00	4,38
		2,4		14,4	5,76	2,70
		3,6		32,4	12,96	3,96
		5,0		75,0	25,00	6,48
		4,6		50,6	21,16	4,80
		6,5		84,5	42,25	5,64
		7,0		98,0	49,00	6,06
		4,5		45,0	20,25	4,38
S		47,2		539,1	239,74	47,2
Ср. знач.						-

По итоговым данным таблицы 3 определим параметры уравнения регрессии:

Уравнение этой прямой изображено на рис. 1.

Параметр означает, что при увеличении стоимости ОПФ на 1 млрд. руб. выпуск продукции может повыситься в среднем на 0,42 млрд. руб.

Экстраполяция – это нахождение уровней за пределами изучаемого ряда. Предположим, что стоимость основных фондов 6-го предприятия (с максимальной стоимостью ОПФ) увеличится на 1 млрд. руб., т.е. составит 16 млрд. руб. Определим прогнозный выпуск продукции этого предприятия.

млрд. руб.;

млрд. руб.;

млрд. руб.

Таким образом, если стоимость основных фондов 6-го предприятия увеличится на 1 млрд. руб., то выпуск продукции этого предприятия повысится на 0,42 млрд. руб. и составит 6,9 млрд. руб. Отметим точку (16;6,9) на графике корреляционного поля (рис.1).

8. Линейный коэффициент корреляции рассчитывается по формуле:

.

Средние квадратические отклонения: ; .

,

то есть связь между показателями достаточно тесная и прямая (с ростом стоимости ОПФ выпуск продукции увеличивается).

В случае парной линейной регрессионной модели коэффициент детерминации равен квадрату коэффициента корреляции:

.

Это означает, что изменение выпуска продукции на 72,9% зависит от изменения стоимости ОПФ, и на 27,1% - от других факторов, не исследуемых в задаче.

Для проверки статистической значимости (существенности) линейного коэффициента парной корреляции рассчитаем t -критерий Стьюдента по формуле:

Вычисленное t_факт сравним с табличным (критическим) значением t_табл при уровне значимости a = 0,05 и числе степеней свободы u = n –2 =10–2=8. Табличное значение по таблице распределения Стьюдента равно 2,306.

Так как > , то это свидетельствует о значимости линейного коэффициента корреляции и существенности связи между стоимостью ОПФ и выпуском продукции.

Оценим значимость уравнения регрессии и показателя тесноты связи с помощью F -критерия Фишера. Для этого сравним его фактическое значение F_факт с табличным F_{табл .}

.

Фактическое значение критерия больше табличного, что свидетельствует о статистической значимости уравнения регрессии в целом и показателя тесноты связи , то есть они статистически надежны и сформировались под неслучайным воздействием фактора x.

9. Вывод. Средняя стоимость основных производственных фондов предприятия в выборочной совокупности составила 10,8 млрд. руб. При этом все значения стоимости ОПФ отклоняются от этого результата в среднем на 2,64 млрд. руб. Полученный коэффициент вариации, равный 24,4%, свидетельствует о том, что совокупность предприятий по стоимости ОПФ является однородной (коэффициент меньше 30%).

Средний выпуск продукции предприятия в выборочной совокупности составил 4,72 млрд. руб. При этом все значения выпуска продукции отклоняются от этого результата в среднем на 1,3 млрд. руб. Полученный коэффициент вариации, равный 27,6%, свидетельствует о том, что совокупность предприятий по выпуску продукции является однородной.

С вероятностью 99,7% можно утверждать, что возможные значения среднего выпуска продукции всех предприятий находятся в пределах от 3,52 до 5,92 млрд. руб.

С вероятностью 95,4% можно утверждать, что удельный вес всех предприятий со стоимостью ОПФ свыше 12 млрд. руб. находится в пределах от 1,8% до 58,2%.

Уравнение линейной регрессии, описывающее зависимость выпуска продукции от стоимости ОПФ имеет вид: При увеличении стоимости ОПФ на 1 млрд. руб. выпуск продукции может повыситься в среднем на 0,42 млрд. руб.

Линейный коэффициент корреляции, равный 0,854, близок к единице и положительный, следовательно, связь между показателями высокая и прямая, то есть с ростом стоимости ОПФ выпуск продукции увеличивается. Полученный коэффициент детерминации, равный, 0,729, свидетельствует о том, что изменение выпуска продукции на 72,9% зависит от изменения стоимости ОПФ, и на 27,1% - от других факторов, не исследуемых в задаче.

Список литературы

1. Гусаров В. М. Статистика: Учебное пособие для вузов. – М.:ЮНИТИ – ДАНА, 2010.

2. Общая теория статистики /Под ред. М. Р. Ефимовой. – М.:ИНФРА – М, 2008.

3. Общая теория статистики: Статистическая методология в изучении коммерческой деятельности: Учебник /Под ред. А. А. Спирина, О. Э. Башиной. – М.: Финансы и статистика, 2009.

4. Статистика. Учебник /Под ред. проф. И. И. Елисеевой. – М.: ООО «ВИТРЭМ», 2009. – 448 с.

5. Теория статистики: Учебник /Под. ред. Р. А. Шмойловой. – М.: Финансы и статистика, 2010.

Дата добавления: 2015-08-28