1. Одна из вершин куба с ребром 3 и центры его граней, не содержащие эту вершину, служат вершинами пирамиды. Найдите ее объем.

ОБЪЕМЫ

1. Одна из вершин куба с ребром 3 и центры его граней, не содержащие эту вершину, служат вершинами пирамиды. Найдите ее объем.

2. - куб с ребром 1. Е, F – середины ребер DC и соответственно. Найдите объем пирамиды .

3. - треугольная призма. Точки М, N, Р лежат на ребрах , причем . В каком отношении плоскость делит объем призмы?

4. Основанием пирамиды является выпуклый четырехугольник, длины диагоналей которого равны 3 и 5. Длины отрезков, соединяющих середины противоположных сторон указанного четырехугольника, равны между собой. Найти объем пирамиды, если ее высота равна 6.

5. Основанием призмы является равнобедренный прямоугольный треугольник с катетом а, длина бокового ребра призмы равна b. Найти объем призмы, если боковое ребро, противоположное гипотенузе, составляет с катетами острые углы a и b.

6. Сторона основания ABCD правильной пирамиды SABCD равна 2, угол наклона бокового ребра к основанию равен . На ребрах SA и SD расположены точки Е и F так, что АЕ=2ES, DF=8SF. Через точки Е и F проведена плоскость , параллельная АВ. Найти площадь сечения пирамиды плоскостью и угол наклона к плоскости основания пирамиды, а также объемы частей, на которые разбивается пирамида плоскостью , и расстояние от точки S до плоскости .

7. SABC – правильный тетраэдр. Плоскость перпендикулярна грани SBC, и проходит через точку А; плоскость перпендикулярна боковому ребру SA. Плоскости имеют общую прямую, параллельную прямой ВС. Найдите отношение площадей сечений пирамиды плоскостями и , а также отношение объемов пирамид, отсекаемых плоскостями и от тетраэдра SABC.

8. Точки М и N отмечены на ребре SA правильного тетраэдра SABC объема V, причем SM=MN=0,25SA. Точка Р отмечена на ребре SC, причем SP:SC=2:3. Найдите угол между прямыми ВМ и NP, а также объем тетраэдра BNMP.

9. - параллелепипед. Точка К лежит на ребре . Точки М и Т расположены на ребре . Объем какой из пирамид больше и во сколько раз: или ?

10. На ребре пирамиды взята точка так, что . Найти отношение, в котором плоскость, проходящая через точки и параллельно медиане треугольника , делит объем пирамиды.

11. На ребрах и пирамиды взяты точки и соответственно так, что . Найти отношение, в котором плоскость, проходящая через точки и параллельно ребру , делит объем пирамиды.

12. Основанием пирамиды служит трапеция с основаниями . Плоскость, проходящая через вершину параллельно , пересекает отрезок в точке так, что . Площадь сечения пирамиды этой плоскостью равна , а расстояние от нее до прямой равно . Найти:

1) отношение, в котором указанная плоскость делит объем пирамиды; 2) объем пирамиды.

13. На боковом ребре треугольной пирамиды взята точка так, что . Плоскость, проходящая через точку параллельно ребру , пересекает ребро в точке и делит пирамиду на части. объемы которых относятся как . Найти отношение .

14. В треугольной пирамиде с основанием боковое ребро перпендикулярно несмежному с ним ребру , а со смежными с ним ребрами и образует острые углы. Высота треугольника , проведенная из вершины , делит его на два треугольника, площади которых относятся как . Плоскость , перпендикулярная основанию пирамиды и параллельная ребру , делит пирамиду на части, объемы которых относятся как . Найти отношение, в котором плоскость делит ребро .

15. В правильной четырехугольной пирамиде с основанием длина ребра основания , длина высоты . Найдите расстояние между параллельными плоскостями, проведенными соответственно через апофему грани и медиану грани .

16. В основании пирамиды лежит прямоугольник , в котором высота пирамиды . Найдите двугранный угол между плоскостями и .

17. В основании треугольной пирамиды лежит правильный треугольник со стороной 1. Все боковые грани равновелики основанию. Найдите объем пирамиды.

18. Через середины ребер и пирамиды объемом 5 проведена плоскость, пересекающая ребро в точке так, что . Найти площадь сечения пирамиды указанной плоскостью, если расстояние от нее до вершины равно 1.

19. Основанием пирамиды является трапеция с основаниями и такими, что . Диагонали трапеции пересекаются в точке , а центр вписанной в пирамиду сферы лежит на отрезке и делит его в отношении . Найдите площадь полной поверхности пирамиды, если площадь боковой грани равна 9.

Дата добавления: 2015-08-28