Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АрхитектураБиологияГеографияДругоеИностранные языки
ИнформатикаИсторияКультураЛитератураМатематика
МедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогика
ПолитикаПравоПрограммированиеПсихологияРелигия
СоциологияСпортСтроительствоФизикаФилософия
ФинансыХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника

1. Числовой ряд и его сходимость. Необх. усл. сх-ти ЧР.



1. Числовой ряд и его сходимость. Необх. усл. сх-ти ЧР.

Пусть есть бесконечная сумма, её слагаемые – действительные числа: nЄN, anЄR, тогда бесконечная сумма a1+a2+..+an+..=∑k=1ak – числовой ряд (*), где ak – общий (или k-ый) член ряда. Последовательность Sn=∑k=1nak – последовательность частичных сумм ряда (*). Если существует limn→∞Sn=S (предел частичных сумм), то ряд ∑k=1an – сходится и его сумма =S. Если limn→∞Sn не существует (или =∞) то ряд ∑k=1ak – расходится.

теор. (необходимое условие сходимости) Если ряд ∑k=1ak сходится, то limk→∞ak=0.

док-во. Пусть ∑k=1ak – сходится, _ существует limn→∞Sn=limn→∞k=1nak=S ak=Sk-Sk-1 _ limk→∞ak=limk→∞(Sk-Sk-1)=S-S=0.

следствие. Если limk→∞ak≠0 (или не существует), то ряд расходится. █

4. Признак Даламбера для числовых рядов с неотрицательными членами.

теор.. Пусть ∑k=1ak – ряд с положительными членами и limn→∞(an+1/an)=q. Тогда возможны три варианта: а) q<1 _ ряд сходится; б) q>1 _ ряд расходится; в) q=1 _ необходимо дополнительное исследование.

док-во. Рассмотрим последоват. три возможных случая.

а) Пусть limn→∞(an+1/an)=q, q<1. Возьмем ε>0, такое, что q+ε<1, тогда для этого ε существует NЄN и для всех n>N выполняется неравенство: |an+1/an-q|<ε _ an+1/an<q+ε. Тогда aN+1<(q+ε)∙aN, aN+2<(q+ε)∙aN+1<(q+ε)2∙aN, aN+3<(q+ε)∙aN+2<(q+ε)3∙aN, в общем: aN+K<(q+ε)KaN. Рассмотрим ряд ∑k=1(q+ε)kaN, Sn=∑k=1n(q+ε)kaN=an∙∑k=1n(q+ε)k=(aN∙(q+ε)∙(1-(q+ε)n))/(1-(q+ε)) →n→∞→ aN(q+ε)/(1-(q+ε)), поскольку 0<q+ε<1. Значит ряд ∑k=1(q+ε)kaN – сходится _ по принципу сравнения также сходится ряд ∑k=1aN+K _ ∑k=1ak – сходится.

б) Пусть limn→∞(an+1/an)=q, q>1. Возьмем ε>0, такое, что q-ε>1, тогда для этого ε существует NЄN и для всех n>N выполняется неравенство: |an+1/an-q|<ε _ an+1/an>q-ε. Тогда aN+1>(q-ε)∙aN, aN+2>(q-ε)∙aN+1>(q-ε)2∙aN, aN+3>(q-ε)∙aN+2>(q-ε)3∙aN, в общем: aN+K>(q-ε)KaN. Рассмотрим ряд ∑k=1(q-ε)kaN, limk→∞(q-ε)k∙aN=+∞, т.к. q-ε>1 _ ряд ∑k=1(q-ε)kaN, расходится, поскольку не выполняется необходимое условие сходимости _ по признаку сравнения ряд ∑k=1aN+K также расходится _ ∑k=1ak – расходится.

в) Пусть limn→∞(an+1/an)=q, q=1. Тогда рассмотрим 1) Ряд ∑k=1(1/k) (гармонический ряд), для него limn→∞an+1/an=limn→∞((1/n+1)/(1/n))=limn→∞n/(n+1)=1, ⌠1+∞dx/x=ln(x)|1+∞=+∞ _ ∑k=1(1/k) – расходится по интегральному признаку Коши; 2) Ряд ∑k=1(1/k2), для него limn→∞((1/(n+1)2)/(1/n2))=limn→∞(n2/(n+1)2)=1, ⌠1+∞dx/x2=(-1/x2)(x)|1+∞=1 _ ∑k=1(1/k2) – сходится по интегральному признаку Коши. На основании 1) и 2) можно сказать. что нельзя однозначно определить при q=1 сходится ряд или расходится, поэтому и необходимо дополнительное исследование. █



19. Тригонометрический ряд Фурье. Условие разложимости функции в ряд Фурье.

Пусть fЄR[-π,π], тогда skЄN существуют интегралы ak=⌠πf(x)cos(kx)dx, k=0,1,2,.. bk=(1/π)⌠πf(x)sin(kx)dx, k=1,2,.. и функции f можно сопоставить ряд: a0/2+∑k=1(akcos(kx)+bksin(kx)) – тригонометрический ряд Фурье, числа ak, k=0,1,2,.. bk, k=1,2,.. – коэффициенты Фурье.

Функция f называется кусочно-непрерывной на [a,b] если существует разбиение этого отрезка a=x0<x1<x2<..<xn=b, такое, что на каждом интервале (xj-1,xj), j=1,2,.. функция f непрерывна и существуют конечные пределы limxj-1+0f(x), limxxj-0, j=1,2,..

Если производная функции f является кусочно-непрерывной на [a,b], то f – кусочно-непрерывно дифференцируемая функция на [a,b].

Условие разложимости функции в ряд Фурье. Пусть fЄR[-π,π] и является кусочно-непрерывно дифференцируемой на [-π,π], тогда sxЄ[-π,π] f(x)=a0/2+∑k=1(akcos(kx)+bksin(kx)), а в т.x=-π, x=π сумма этого ряда Фурье =f(-π+0)+f(π-0)/2, где f(-π+0)=limx→-π+0f(x), f(π-0)=limx→π-0f(x).

Замечание. а) Если f – четная функция на [-π,π], т.е. sxЄ[-π,π] f(-x)=f(x), то sk=1,2,.. ⌠πf(x)sin(kx)dx=0 и разложение в ряд Фурье принимает вид: f(x)=a0/2+∑k=1akcos(kx), где ak=(1/π)⌠af(x)cos(kx)dx, k=0,1,2,.. б) Если f – нечетная функция на [-π,π], т.е. sxЄ[-π,π] f(-x)=-f(x), то sk=0,1,2,.. ⌠πf(x)cos(kx)dx=0 и разложение в ряд Фурье принимает вид: f(x)=∑k=1bksin(kx), k=0,1,2,..█

9. Свойства сходящихся числовых рядов.

теор. Если ряды ∑k=1ak и ∑k=1bk сходятся, и их суммы равны соответственно A и B, тогда: а) для всех αЄR ряд ∑k=1αak сходится и его сумма =αA; б) ряд ∑k=1(ak+bk) также сходится и его сумма равна A+B.

док-во Рассмотрим последовательно оба случая.

а) Пусть SnA=∑k=1nak, Sn=∑k=1nαak, тогда Sn=αSnA _ сущ. limn→∞Sn=limn→∞(αSnA)=αlimn→∞SnA=αA.

б) Пусть SnA=∑k=1nak, SnB=∑k=1nbk, Sn=∑k=1n(ak+bk), тогда Sn=SnA+SnB _ существует limn→∞Sn=limn→∞(SnA+SnB)=A+B.█

Ряд rn=∑k=n+1ak – n ый остаток числового ряда ∑k=1ak.

теор. (свойства сходящихся рядов). Ряд ∑k=1ak сходится ^_ limn→∞rn=0.

док-во. ∑k=1ak сходится ^_ последовательность частичных сумм Sn=∑k=1ak сходится. Пусть limn→∞Sn=S, т.е. для всех ε>0 существует NЄN, такое, что для всех n>N выполняется |Sn-S|<ε, но S-Sn=rn _ для всех ε>0 существует NЄN такое, что для всех n>N выполняется |rn|<ε, т.е. limn→∞rn=0.█

3. Признаки сравнения для числовых рядов с неотрицательными членами.

теор. Если для всех kЄN 0≤ak≤bk, то: а) ряд ∑k=1bk сходится _ ∑k=1ak – сходящаяся; б) ряд ∑k=1ak расходится _ ∑k=1bk – расходящаяся.

док-во. а) Пусть ∑k=1bk – сходящаяся, тогда SnB=∑k=1nbk – неубывающая сходящаяся последовательность _ SnB – ограниченная последовательность, т.е. для всех C>0 существует nЄN, SnB≤C. Тогда SnA=∑k=1nak≤SnB, для всех nЄN т.к. 0≤ak≤bk, kЄN _ SnA – неубывающая, ограниченная сверху числом С, последовательность (т.к. для всех nЄN SnA≤C). Значит, раз SnA – сходящаяся _ ряд ∑k=1ak – сходится. б) Предположим противное: пусть ∑k=1bk – сходится, тогда ∑k=1ak – тоже сходится, что противоречит условию, следовательно, ∑k=1bk – расходится.

следствие. Если ∑k=1ak и ∑k=1bk – ряды с неотрицательными членами и limk→∞(ak/bk)=1 (т.е. ak~bk, k→∞), то эти ряды сходятся или расходятся одновременно.

док-во следствия. limk→∞(ak/bk)=1, тогда для ε=1/2 и для всех NЄN существует k>N, такое, что |ak/bk-1|<1/2, т.е. для всех k>N выполняется: ½<ak/bk<3/2, _ существует k>N, такое что 1/2∙bk<ak<3/2∙bk _ в силу теоремы, если ∑k=1bk сходится, то ∑k=1ak – тоже сходится, если же ∑k=1bk – расходится, то ∑k=1ak – тоже расходится. █

5. Радикальный признак Коши для числовых рядов с неотрицательными членами.

теор.. Пусть ∑k=1ak – ряд с неотрицательными членами и limn→∞n√an=q, тогда возможны три случая: а) q<1 _ ряд сходится; б) q>1 _ ряд расходится; а) q=1 _необходимо дополнительное исследование.

док-во. Рассмотрим последоват. три возможных случая.

а) Пусть limn→∞n√an=q, q<1, тогда возьмем ε>0, такое, что q+ε<1, тогда для любого возможного ε существует NЄN, такое, что для всех n≥N выполняется неравенство: |n√an-q|<ε _ n√an<q+ε _ an<(q+ε)n. Тогда ряд ∑k=N(q+ε)n сходится, т.к. q+ε<1 _ по признаку сравнения ∑n=N∞an сходится _ ∑n=1an – также сходится.

б) Пусть limn→∞n√an=q, q>1, тогда возьмем ε>0, такое, что q-ε>1, тогда для любого возможного ε существует NЄN, такое, что для всех n≥N выполняется неравенство: |n√an-q|<ε _ n√an>q-ε _ an>(q-ε)n. Тогда ряд ∑k=N(q-ε)n расходится, т.к. q-ε>1 _ limn→∞(q-ε)n=+∞, т.е не выполняется необходимое условие сходимости _ по признаку сравнения ∑n=N∞an расходится _ ∑n=1an – также расходится.

в) Пусть limn→∞n√an=q, q=1. Рассмотрим: 1) ряд ∑n=1(1/n) – расходится, limn→∞n√an= limn→∞n√(1/n)=1; 2) ряд ∑n=1(1/n2) – сходится, limn→∞n√an= limn→∞n√(1/n2)=1. На основании вариантов 1), 2) можно сделать вывод, что необходимо дополнительное исследования. █

6. Интегральный признак Коши для числовых рядов с неотрицательными членами.

теор.. Пусть f:[1;+∞)→R+ - невозрастающая неотрицательная функция и f(k)=ak, kЄN. Тогда ряд ∑k=1ak – сходится или расходится одновременно с интегралом ⌠1+∞f(x)dx.

док-во. т.к. f – невозрастающая на [1;+∞) _ для всех xЄ[k;k+1] выполняется условие f(k+1)≤f(x)≤f(k) _ ⌠kk+1f(k+1)dx≤⌠kk+1f(x)dx≤⌠kk+1f(k)dx _ f(k+1)≤⌠kk+1f(x)dx≤f(k) (для всех kЄN) _ ∑k=1nf(k+1)≤∑k=1nkk+1f(x)dx≤∑k=1nf(k) т.е. ∑k=1nak+1≤⌠1n+1f(x)dx≤∑k=1nak _ Sn+1-a1≤⌠1n+1f(x)dx≤Sn. В итоге, если ∑k=1ak сходится, то Sn – ограниченная последовательность _ F(n+1)=-⌠1n+1f(x)dx – неубывающая, ограниченная сверху последовательность, а значит существует limn→∞F(n+1) и следовательно ⌠1+∞f(x)dx – сходится. Если же ряд ∑k=1 расходится, то в силу неравенства Sn+1-a1≤⌠1n+1f(x)dx предел limn→∞1n+1f(x)dx=+∞, т.е. ⌠1+∞f(x)dx – расходится. Если ⌠1+∞f(x)dx – сходящийся, то в силу Sn+1-a1≤⌠1n+1f(x)dx _ Sn+1 – неубывающая, ограниченная сверху последовательность и значит существует limn→∞Sn+1, т.е. ∑k=1ak – сходится. Если же ⌠1+∞ f(x)dx расходится, то в силу ⌠1n+1f(x)dx≤Sn, nЄN, limn→∞Sn=+∞, т.е. ∑k=1ak – расходится. █

7. Знакочеред. числовые ряды. Признак Лейбница.

Пусть для всех nЄN, bn>0, тогда ряд ∑n=1(-1)n+1bn – знакопеременный ряд.

теор. (признак Лейбница). Пусть а) для всех nЄN, bn≥bn+1; б) limn→∞bn=0. Тогда ряд ∑n=1(-1)n+1bn – сходится.

док-во. S2n=∑k=12n(-1)k+1bk=b1-b2+b3-b4+..+b2n-1-b2n; S2n+1=∑k=12n+1(-1)k+1bk=b1-b2+b3-b4+..+b2k-1-b2k+b2k+1; S2n+2=S2n+b2n+1-b2n+2≥S2n для всех nЄN _ S2n – неубывающая последовательность.

S2n+1=S2n+b2n+1 _ для всех nЄN S2n<S2n+1; S2n+1=b1-(b2-b3)[≥0]-(b4-b5)[≥0]-..-(b2n-b2n+1)[≥0]≤b1 _ для всех nЄN S2n+1≤b1; S2n+1-b2n+2+b2n+3=S2n+3 _ S2n+3≤S2n+1 _ S2n+1 – невозрастающая последовательность. S2n=(b1-b2)[≥0]+(b3-b4)[≥0]+..+(b2n-1-b2n)[≥0] для всех nЄN. В итоге 0≤S2n<S2n+1≤b1, т.е. S2n – неубывающая и ограниченная сверху числом b1 последовательность, _ существует limn→∞S2n=S1; S2n+1 – невозрастающая последовательность, ограниченная снизу числом 0; _ существует limn→∞S2n+1=S2; но если S2n+1[→S2]=S2n[→S1]+b2n+1[→0], значит S1=S2=S. Следовательно для всех ε>0 существует NЄN и для всех n≥N: |S2n-S|<ε и |S2n+1-S|≤ε _ для всех n≥2N+1 |Sn-S|≤ε, Sn=∑k=1n(-1)k+1bk _ ряд ∑k=1(-1)k+1bk – сходится. █

15. Ряд Тейлора. Дост. условие разложимости функции в ряд Тейлора.

Если fЄD(x), то функции f можно сопоставить ряд ∑n=0(f(n)(x0)/n!)(x-x0)n, это ряд Тейлора функции f в т.х0. Пусть fЄD∞(x0-h,x0+h), тогда справедлива формула Тейлора f(x)=∑k=0n(f(k)x0/k!)(x-x0)k+rn(x), где nЄN – любое, rn(x) – остаточный член формулы Тейлора, xЄ(x0-h,x0+h). _ f(x)=∑k=0(f(k)x0/k!)(x-x0)k на (x0-h,x0+h) ^_ limn→∞rn(x)=0, sxЄ(x0-h,x0+h).

теор.. Пусть fЄD∞(x0-h,x0+h), для всех M>0 snЄN sxЄ(x0-h,x0+h) _ |f(n)(x)|≤M, тогда sxЄ(x0-h,x0+h) f(x)=∑n=0(f(n)(x0)/n!)(x-x0)n.

док-во. Согласно формуле Тейлора sxЄ(x0-h,x0+h), snЄN f(x)=∑k=0n(f(k)(x0)/k!)(x-x0)k+rn(x), где rn(x)=f(n+1)(ε)(x-x0)n+1/(n+1)! – формула Лагранжа записи остаточного члена формулы Тейлора, ε лежит между х и х0. _sxЄ(x0-h,x0+h) |rn(x)|=|f(n+1)(ε)(x-x0)n+1/(n+1)!|≤|Mhn+1/(n+1)!| limn→∞Mhn+1/(n+1)!=0, т.к. ряд ∑n=1hn/n! – сходится по признаку Даламбера (т.е. limn→∞(hn+1/(n+1)!)∙(n!/hn)=limn→∞h/(n+1)=0 shЄR) _ выполняется необходимое условие сходимости limn→∞hn/n!=0. В итоге, переходя к пределу в неравенстве |rn(x)|≤Mhn+1/(n+1)! получаем limn→∞|rn(x)|=0 sxЄ(x0-h,x0+h) _ sxЄ(x0-h,x0+h) f(x)=∑n=0f(n)(x0)(x-x0)n/n!.█

 


 

20. Преобразование Фурье. Интеграл Фурье.

Пусть f:R→R, тогда функция ˉf(ξ)=1/(2π)∙⌠-∞+∞f(x)e-ixξdx называется преобразованием Фурье функции f, при уcловии, что интеграл существует в смысле главного значения, т.е. конечен предел limA→+∞-AAf(x)e-ixξdx sξЄR.

теор.. Если f абс интегрируема на R, т.е. ⌠-∞+∞|f(x)|dx сходится, то существует преобразование Фурье функции f. ˉf(ξ)=1/(2π)∙⌠-∞+∞f(x)e-iξxdx, определенное на всем R и sξЄR |ˉf(ξ)|≤1/(2π)∙⌠-∞+∞|f(x)|dx, т.е. ˉf – ограниченная на R функция.

док-во. e=cosφ+isinφ |e|=1 |e-ixξ|=1 _ |⌠-∞+∞f(x)e-ixξdx|≤⌠-∞+∞|f(x)e-ixξ|dx=⌠-∞+∞|f(x)|dx – сходится _ sξЄR сходится ⌠-∞+∞f(x)e-dx _ sξЄR определено ˉf(ξ) и sξЄR |ˉf(ξ)|≤1/(2π)∙⌠-∞+∞|f(x)|dx, т.е. ˉf – ограниченная на R функция.

Интеграл ⌠-∞+∞C(ξ)e-dξ, где C(ξ)=ˉf(ξ) – преобразование Фурье для функции f, называется интегралом Фурье функции f.

теор. Пусть f абс интегрируема на R (т.е. ⌠-∞+∞f(x)dx сходится) и является конечно непрерывно дифференцируемой функцией на R, тогда sxЄR f(x)=⌠-∞+∞ˉf(ξ)eixξdξ.█

11. Равномерн сх-сть ФР. Св-ва равномерно сх-хся ФР.

Функциональный ряд ∑k=1Uk(x) равномерно сходится на множестве, если: а) ряд сходится на Е (т.е. сходится sxЄЕ), следовательно на Е определена функция S(x)=∑k=1Uk(x) – сумма функционального ряда; б) sε>0 существует NЄN, такое, что sn>N существует xЄЕ и выполняется условие: |Sn(x)-S(x)|<ε, где Sn(x)=∑k=1Uk(x) – частичная сумма функционального ряда. Обозначается: ∑k=1Uk(x)IES(x).

теор.. ∑k=1Uk(x) равномерно сходится на множестве Е к функции S(x) ^_ rn(x)IE0 при n→∞.

док-во. ∑k=1Uk(x)IЕS(x) ^_ sε>0 существует NЄN, такое, что sn>N, sxЄE выполняется |Sn(x)-S(x)|<ε. Учитывая, что rn(x)=S(x)-Sn(x) получаем, что sε>0 существует NЄN, такое что sn>N, sxЄE выполняется |rn(x)|≤ε, т.е. rnIE0 при n→∞.█

теор. (свойства равномерно сходящихся функциональных рядов). Пусть ∑k=1Uk(x)IES(x), тогда а) если snЄN Un(x)ЄC(x0), тогда S(x)ЄC(x0); б) если snЄN Un(x)ЄC[a,b], то S(x)ЄR[a,b] и sx0,xЄ[a,b] выполняется ⌠x0xS(t)dt=∑k=1x0xUk(t)dt, т.е. равномерно сходящийся функциональный ряд можно почленно интегрировать; в) пусть snЄN Un(x)ЄD[a,b], ряд из производных ∑k=1Uk'(x)I[a,b]φ(x), а сам ряд ∑k=1Uk(x) сходится на [a,b] к функции S(x), тогда ∑k=1Uk(x)I[a,b]S(x), S(x)ЄD[a,b] и S'(x)=φ(x), xЄ[a,b], т.е. равномерно сходящийся функциональный ряд можно почленно дифференцировать.

док-во. Без доказательства.

12. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функциональных рядов.

теор.. Пусть на множестве Е ∑k=1Uk(x)=S(x) и существует числовой ряд, такой, что: а)skЄN, sxЄE |Uk(x)|≤ak; б) ∑k=1аk сходится, тогда ∑k=1Uk(x)IES(x).

док-во. Рассмотрим rn(x)=S(x)-Sn(x)=∑k=n+1Uk(x). Откуда а) _ |rn(x)|=|∑k=n+1Uk(x)|≤ ∑k=n+1|Uk(x)|≤∑k=n+1аk=rn, sxЄE; б) _ sε>0 существует NЄN sn>N |rn|≤ε. В итоге sε>0 существует NЄN sn>N sxЄE выполняется |S(x)-Sn(x)|≤|rn|<ε, т.е. ∑k=1Uk(x)IES(x). █

13. Степенной ряд. Радиус сходимости и интервал сходимости степенного ряда.

Функциональный ряд вида ∑k=0ak(x-x0)k, где ak,x0ЄR, k=0,1,2,.. называется степенным рядом. Числа ak, k=0,1,2,.. – коэффициенты степенного ряда.

теор.. Пусть существует limn→∞n√|an|=1/R, (lim=∞ _ R=0 и наоборот), тогда: а) sxЄR |x-x0|<R, степенной ряд ∑k=0ak(x-x0)k – абс сходится; б) sxЄR |x-x0|>R, ряд ∑k=0ak(x-x0)k расходится.

док-во. Применим признак Коши для сходимости функционального ряда Un(x)=an(x-x0)n, limn→∞n√|Un(x)|=limn→∞n√|an(x-x0)n|=|x-x0|limn→∞n√|an|=|x-x0|/R _ если |x-x0|/R<1 (|x-x0|<R), то ряд абс сходится, если |x-x0|/R>1 (|x-x0|>R) _ ряд расходится.█

Число R, определяемое как 1/R=limn→∞n√|an| - радиус сходимости степенного ряда. Интервал (x0-R;x0+R) – интервал сходимости степенного ряда. Если R=0, то ряд сходится только при x=x0, если R=∞, то интервал сходимости - вся числовая ось.

8. Абс и условная сходимость числовых рядов. Признаки Даламбера и Коши для произвольных рядов.

Если ряд ∑n=1|an| сходится, то ряд ∑n=1an – абсолютно сходится Если ряд ∑n=1an сходится, но не абсолютно, то он сходится условно.

теор.. Если ряд абс сходящийся, то он сходится.

док-во. Ряд ∑k=1ak абсолютно сходится, т.е. сходится ряд ∑k=1|ak|, это значит, что последовательность частичных сумм σk=∑k=1|ak| сходится. Значит σk – фундаментальная последовательность, т.е. для всех ε>0 существует nЄN, такое что для всех m,n>n справедливо |σnm|<ε, но |σnm|=∑k=m+1n|ak|, _ если рассмотрим Sn=∑k=1ak, то |Sn-Sm|=|∑k=m+1nak|≤∑k=m+1n|ak|=|σnm|. Далее для всех ε>0 и существует NЄN, такое что, для всех m,n>N справедливо: |Sn-Sm|≤|σnm|<S _ Sn – фундаментальная последовательность которая сходится, следовательно ряд ∑k=1ak также сходится.█

теор. (признак Даламбера для произвольных числовых рядов). Пусть дан числовой ряд ∑k=1ak и существует limn→∞|an+1/an|=q, тогда: а) если q<1 то ряд абс. сходится; б) если q>1 то ряд расходится; в) если q=1 то нужно дополнительное исследование.

док-во. Рассмотрим последовательно все три случая.

а) q<1, применяя признак Даламбера для рядов с неотрицательными членами имеем: раз ряд ∑k=1|ak| - сходится, _ ∑k=1ak – абс. сходится.

б) q>1, применяя признак Даламбера для ряда ∑k=1|ak| получим, что limn→∞|an|=+∞,а значит, что limn→∞an=∞, _ ∑k=1ak – расходится.

в) q=1, требуется дополнительное исследование, т.к. например: а) ряд ∑k=1((-1)k/k2)- сходится абсолютно, т.к. limn→∞|an+1/an|=limn→∞n2/(n+1)2=1; б) ряд ∑k=1(1/k) – расходится, т.к. limn→∞|an+1/an|=1; в) ряд ∑k=1((-1)k/k) сходится условно.█

теор. (радикальный признак Коши для произвольных числовых рядов). Пусть дан числовой ряд ∑k=1ak и существует limn→∞n√|an|=q, тогда: а) если q<1 то ряд абс. сходится; б) если q>1 то ряд расходится; в) если q=1 то нужно дополнительное исследование.

док-во. Рассмотрим последовательно все три случая.

а) q<1, применяя признак Коши для рядов с неотрицательными членами имеем: раз ряд ∑k=1|ak| - сходится, _ ∑k=1ak – абс. сходится.

б) q>1, применяя признак Коши для ряда ∑k=1|ak| получим, что limn→∞n√an=+∞,а значит, что limn→∞n√an=∞, либо не существует, _ ∑k=1ak – расходится.

в) q=1, требуется дополнительное исследование, т.к. например: а) ряд ∑k=1((-1)k/k2)- сходится абсолютно, т.к. limn→∞n√|an|=1; б) ряд ∑k=1(1/k) – расходится, т.к. limn→∞n√|an|=1; в) ряд ∑k=1((-1)k/k) сходится условно. █

14. Свойства степенных рядов. Единственность разложения функции в степенной ряд.

теор. (св-ва степ. ряда). Пусть дан степенной ряд ∑k=0ak(x-x0)k и его радиус сходится, R≠0. Тогда: а) [a,b]Є(x0-R,x0+R) ряд равномерно сходится на [a,b]; б) сумма ряда S(x)=∑k=1ak(x-x0)k непрерывна на (x0-R,x0+R); в) сумма ряда S(x)ЄC(x0-R,x0+R) и S(m)(x)=∑k=mk(k-1)..(k-m+1)ak(x-x0)k на (x0-R,x0+R); г) sxЄ(x0-R,x0+R) ⌠x0xS(t)dt=∑k=0(ak/(k+1))∙(x-x0)k+1.

док-во. Рассмотрим последовательно все четыре случая.

а) Пусть [a,b]Є(x0-R,x0+R) для всех 0<r<R:[a,b]Є[x0-r,x0+r]Є(x0-R,x0+R). Покажем, что ряд равномерно сходится на [x0-r,x0+r] применяя признак Вейерштрассе: sxЄ[x0-r,x0+r] |an(x-x0)n|≤|an|rn. Числовой ряд ∑k=0|an|rn сходится, т.к. ряд ∑n=0an(x-x0)n абс сходится при x=x0+rЄ(x0-R,x0+R). Следовательно, по признаку Вейерштрассе ряд ∑n=0an(x-x0)n равномерно сходится на [x0-r,x0+r], [a,b]Є[x0-r,x0+r] _ ряд равномерно сходится на [a,b], sxЄ[x0-r,x0+r] |an(x-x0)n|≤|an|rn.

б) Возьмем sx1Є(x0-R,x0+R), покажем, что S(x)ЄC(x1). Возьмем [a,b]Є(x0-R,x0+R):x1[a,b]. snЄN Un(x)=an(x-x0)nЄC[a,b] и ряд ∑n=0an(x-x0)n равномерно сходится на [a,b] _ сумма ряда S(x)ЄC[a,b] _ S(x)ЄC(x1) _ в силу произвольности x1Є(x0-R,x0+R) S(x)ЄC(x0-R,x0+R).

в) Рассмотрим sx1Є(x0-R,x0+R) и возьмем [a,b]Є[x0-R,x0+R]:x1Є[a,b]. На этом отрезке ряд ∑n=0an(x-x0)n равномерно сходится на [a,b]. Рассмотрим ряд ∑n=0nan(x-x0)n-1 и запишем его в виде ∑n=1bn(x-x0)n, где bn=(n+1)an+1. Найдем его радиус сходимости: limn→∞n√|bn|=limn→∞n√((n+1)|an+1|)=1/R _ радиус сходимости этого ряда тоже R, а интервал сходимости тоже (x0-R,x0+R). Далее ряд ∑n=1bn(x-x0)n равномерно сходится на [a,b] _ сумма ряда S(x)=∑n=0an(x-x0)n дифференцируема на [a,b] и её S'(x)=∑n=1bn(x-x0)n=∑n=1nan(x-x0)n-1 и т.д. откуда по индукции получаем, что S(x)ЄD(m)[a,b] smЄN и D(m)(x)=∑n=mn(n-1)..(n-m+1)an(x-x0)n-m на [a,b] следовательно, что и в т.x1Є[a,b]. В виду произвольности т.x1Є(x0-R,x0+R) это верно для всего (x0-R,x0+R).

г) Возьмем sxЄ(x0-R,x0+R) на [x0,x] ряд ∑n=0an(x-x0)n равномерно сходится _ сумма ряда S(x)ЄR[x0,x] и ⌠x0xS(t)dt=∑n=0x0xan(t-x0)ndt=∑n=0an∙((t-x0)n+1/(n+1))|x0x=∑n=0an∙(x-x0)n+1/(n+1), причем радиус сходимости этого ряда: limn→∞n√(an+1/n)=1/R, также равен R, а значит интервал сходимости: (x0-R,x0+R) – как и у исходного ряда.█

теор. (единственность разложения функции в степенной ряд). Если f(x)=∑n=0an(x-x0)n в окрестности т.х0, то такое представление функции в виде степенного ряда единственно.

док-во. f(x)=∑n=0an(x-x0)n _ при x=x0 получим f(x0)=a0, f'(x)=∑n=1nan(x-x0)n-1 _ при x=x0 получаем f'(x0)=a1, и т.д. f(m)(x)=∑n=mn(n-1)..(n-m+1)∙an(x-x0)n-m, следовательно при х=х0 f(m)(x)=m!am, т.е. am=f(m)(x0)/m! smЄN, т.е. коэффициенты степенного ряда определяются однозначно.█

10. Функциональный ряд (ФР) и его сходимость. Признаки Даламбера и Коши сходимости ФР.

Пусть Uk(x):E→R – последовательность функций, определяемых на множестве XЄR, тогда ∑k=1Uk(x) – функциональный ряд. Он сходится в т.X0, если сходится числовой ряд ∑k=1Uk(x0). Множество всех таких точек x0ЄX – область сходимости функционального ряда ∑k=1Uk(x). Функциональный ряд ∑k=1Uk(x) абс. сходится в т.x0ЄX, если абс. сходится ряд ∑k=1Uk(x0).

теор. (признак Даламбера сходимости функционального ряда). Пусть дан ряд ∑k=1Uk(x) и существует limn→∞|Uk+1(x)/Uk(x)|=q(x), тогда а) q(x)<1 _ ряд сходится абсолютно; б) q(x)<1 _ ряд расходится; в) q(x)=1 _ необходимо дополнительное исследование.

док-во. Рассмотрим последовательно все три случая.

а) q<1, применяя признак Даламбера для рядов с неотрицательными членами имеем: раз ряд ∑k=1|Uk| - сходится, _ ∑k=1Uk – абс. сходится.

б) q>1, применяя признак Даламбера для ряда ∑k=1|Uk| получим, что limn→∞|Un|=+∞,а значит, что limn→∞Un=∞, _ ∑k=1Uk – расходится.

в) q=1, требуется дополнительное исследование, т.к. например: а) ряд ∑k=1((-1)k/k2)- сходится абсолютно, т.к. limn→∞|Un+1/Un|=limn→∞n2/(n+1)2=1; б) ряд ∑k=1(1/k) – расходится, т.к. limn→∞|Un+1/Un|=1; в) ряд ∑k=1((-1)k/k) сходится условно.█

теор. (признак Коши для сходимости функционального ряда). Пусть дан ряд ∑k=1Uk(x) и существует limn→∞n√|Uk(x)|=q(x), тогда а) q(x)<1 _ ряд сходится абсолютно; б) q(x)<1 _ ряд расходится; в) q(x)=1 _ необходимо дополнительное исследование.

док-во. Рассмотрим последовательно все три случая.

а) q<1, применяя признак Коши для рядов с неотрицательными членами имеем: раз ряд ∑k=1|Uk| - сходится, _ ∑k=1Uk – абс. сходится.

б) q>1, применяя признак Коши для ряда ∑k=1|Uk| получим, что limn→∞n√Un=+∞,а значит, что limn→∞n√Un=∞, либо не существует, _ ∑k=1Uk – расходится.

в) q=1, требуется дополнительное исследование, т.к. например: а) ряд ∑k=1((-1)k/k2)- сходится абсолютно, т.к. limn→∞n√|Un|=1; б) ряд ∑k=1(1/k) – расходится, т.к. limn→∞n√|Un|=1; в) ряд ∑k=1((-1)k/k) сходится условно. █

 

18. Разлож. функций (1+x)α, ln(1+x), arctg(x) в ряд Тейлора.

а) f(x)=ln(1+x) f'(x)=1/(1+x)=∑n=0(-1)nxn, |x|<1 _ ⌠0xf'(t)dt=⌠0xf'(t)dt=∑n=0(-1)n0xtndt=∑n=0(-1)nxn+1/(n+1)=∑n=1(-1)n+1xn/n _ f(x)-f(0)={f(0)==ln(1)=0}=∑n=1(-1)n+1xn/n _ f(x)=ln(1+x)=∑n=1(-1)n+1xn/n, |x|<1.

б) f(x)=(1+x)α f'(x)=α(x+1)α-1, f(m)(x)=α(α-1)..(α-m+1)α-m, mЄN. f(0)=1 f'(0)=α f(m)(0)=α(α-1)..(α-m+1), откуда, по аналогии с пред. получаем: f(x)=(1+x)α=1+∑n=0α(α-1)..(α-n+1)xn/n!.

в) f(x)=arctg(x) f'(x)=1/(1+x2)=(1+x2)-1=∑n=0(-x2)n=∑n=0(-1)nx-n, т.к. (1+t)α, t=x2, α=-1. Интервал сходимости: sxЄ(-1,1) |x2|<1 -1<x<1 интервал сходится. ⌠0xdt/(1+t2)=⌠0x(∑n=0(-1)nt2n)dt=∑n=0(-1)n0xt2ndt=∑n=0(-1)nt2n+1/(2n+1)|0x=∑n=0(-1)nx2n+1/(2n+1) _ ⌠0xdt/(1+t2)=arctg(x)|0x=arctg(x), следовательно на (-1,1) arctg(x)=∑n=0(-1)nx2n+1/(2n+1).█

16. Разложение функций ex, sh(x), ch(x) в ряд Тейлора.

а) f(x)=exЄD(R), snЄN f(n)(x)=ex. Пусть x0=0 _ snЄN g(n)(0)=1. Рассмотрим [-A,A], где A>0 – произвольное _ sxЄ(-A,A) snЄN |f(n)(x)|≤eA _ sxЄ(-A,A) ex=∑n=0f(n)(0)xn/n!=∑n=0xn/n! _ в силу произвольности A>0, sxЄR ex=∑n=0xn/n!

б) f(x)=sh(x)=(ex-e-x)/2=1/2∙(∑n=0xn/n!-∑n=0(-x)n/n!)=1/2∙(∑n=0xn/n!+∑n=0(-1)n+1xn/n!)=∑n=0∞x2n-1/(2n+1)!

в) f(x)=ch(x)=(ex+e-x)/2=1/2∙(∑n=0xn/n!+∑n=0(-1)n+1∙xn/(2n)!)=∑n=0x2n/(2n)! sxЄR.█

2. Числовые ряды с неотрицательными членами.

теор. Пусть S=∑n=1an – ряд с неотрицательными числами, т.е. an≥0 snЄN, тогда ∑n=1an сходится ^_ последовательность частичных сумм этого ряда Sn=∑k=1nak ограничена сверху.

док-во. т.к. an≥0 snЄN, Sn=∑k=1ak≤Sn+1 snЄN _ Sn – неубывающая числовая последовательноcть _ Sn сходится _ Sn ограничена сверху _ ∑k=1ak сходится ^_ Sn=∑k=1n ограничена сверху.█

17. Разложение функций sin(x), cos(x) в ряд Тейлора.

а) f(x)=sin(x)ЄD(R) snЄN f(n)(x)=sin(x+πn/2). x0=0 _ f(n)(0)=sin(πn/2)={0, n=2k; (-1)k, n=2k+1]. sxЄR snЄN |f(n)(x)|=|sin(x+πn/2)|≤1 _ sin(x)=∑k=0(-1)kx2k+1/(2k+1)!.

б) f(x)=cos(x)ЄD(R). x0=0 _ f(n)(0)=cos(πn/2)={(-1)k, n=2k; 0, n=2k+1]. sxЄR snЄN |f(n)(x)|=|cos(x+πn/2)|≤1 _ cos(x)=∑k=0(-1)kx2k/(2k)!.█

 


Дата добавления: 2015-08-27; просмотров: 53 | Нарушение авторских прав




<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Какова же была численность российской буржуазии? Сколько в царстве двуглавого орла было тех, кто относился к лидерам класса из числа первых среди остальных? Вообще-то категория крупная | Что такое системная расстановка.

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.048 сек.)