1. Числовой ряд и его сходимость. Необх. усл. сх-ти ЧР. Пусть есть бесконечная сумма, её слагаемые – действительные числа: nЄN, anЄR, тогда бесконечная сумма a1+a2+..+an+..=∑k=1∞ak – числовой ряд (*), где ak – общий (или k-ый) член ряда. Последовательность Sn=∑k=1nak – последовательность частичных сумм ряда (*). Если существует limn→∞Sn=S (предел частичных сумм), то ряд ∑k=1∞an – сходится и его сумма =S. Если limn→∞Sn не существует (или =∞) то ряд ∑k=1∞ak – расходится. теор. (необходимое условие сходимости) Если ряд ∑k=1∞ak сходится, то limk→∞ak=0. док-во. Пусть ∑k=1∞ak – сходится, _ существует limn→∞Sn=limn→∞∑k=1nak=S ak=Sk-Sk-1 _ limk→∞ak=limk→∞(Sk-Sk-1)=S-S=0. следствие. Если limk→∞ak≠0 (или не существует), то ряд расходится. █ | 4. Признак Даламбера для числовых рядов с неотрицательными членами. теор.. Пусть ∑k=1∞ak – ряд с положительными членами и limn→∞(an+1/an)=q. Тогда возможны три варианта: а) q<1 _ ряд сходится; б) q>1 _ ряд расходится; в) q=1 _ необходимо дополнительное исследование. док-во. Рассмотрим последоват. три возможных случая. а) Пусть limn→∞(an+1/an)=q, q<1. Возьмем ε>0, такое, что q+ε<1, тогда для этого ε существует NЄN и для всех n>N выполняется неравенство: |an+1/an-q|<ε _ an+1/an<q+ε. Тогда aN+1<(q+ε)∙aN, aN+2<(q+ε)∙aN+1<(q+ε)2∙aN, aN+3<(q+ε)∙aN+2<(q+ε)3∙aN, в общем: aN+K<(q+ε)KaN. Рассмотрим ряд ∑k=1∞(q+ε)kaN, Sn=∑k=1n(q+ε)kaN=an∙∑k=1n(q+ε)k=(aN∙(q+ε)∙(1-(q+ε)n))/(1-(q+ε)) →n→∞→ aN(q+ε)/(1-(q+ε)), поскольку 0<q+ε<1. Значит ряд ∑k=1∞(q+ε)kaN – сходится _ по принципу сравнения также сходится ряд ∑k=1∞aN+K _ ∑k=1∞ak – сходится. б) Пусть limn→∞(an+1/an)=q, q>1. Возьмем ε>0, такое, что q-ε>1, тогда для этого ε существует NЄN и для всех n>N выполняется неравенство: |an+1/an-q|<ε _ an+1/an>q-ε. Тогда aN+1>(q-ε)∙aN, aN+2>(q-ε)∙aN+1>(q-ε)2∙aN, aN+3>(q-ε)∙aN+2>(q-ε)3∙aN, в общем: aN+K>(q-ε)KaN. Рассмотрим ряд ∑k=1∞(q-ε)kaN, limk→∞(q-ε)k∙aN=+∞, т.к. q-ε>1 _ ряд ∑k=1∞(q-ε)kaN, расходится, поскольку не выполняется необходимое условие сходимости _ по признаку сравнения ряд ∑k=1∞aN+K также расходится _ ∑k=1∞ak – расходится. в) Пусть limn→∞(an+1/an)=q, q=1. Тогда рассмотрим 1) Ряд ∑k=1∞(1/k) (гармонический ряд), для него limn→∞an+1/an=limn→∞((1/n+1)/(1/n))=limn→∞n/(n+1)=1, ⌠1+∞dx/x=ln(x)|1+∞=+∞ _ ∑k=1∞(1/k) – расходится по интегральному признаку Коши; 2) Ряд ∑k=1∞(1/k2), для него limn→∞((1/(n+1)2)/(1/n2))=limn→∞(n2/(n+1)2)=1, ⌠1+∞dx/x2=(-1/x2)(x)|1+∞=1 _ ∑k=1∞(1/k2) – сходится по интегральному признаку Коши. На основании 1) и 2) можно сказать. что нельзя однозначно определить при q=1 сходится ряд или расходится, поэтому и необходимо дополнительное исследование. █ | 19. Тригонометрический ряд Фурье. Условие разложимости функции в ряд Фурье. Пусть fЄR[-π,π], тогда skЄN существуют интегралы ak=⌠-ππf(x)cos(kx)dx, k=0,1,2,.. bk=(1/π)⌠-ππf(x)sin(kx)dx, k=1,2,.. и функции f можно сопоставить ряд: a0/2+∑k=1∞(akcos(kx)+bksin(kx)) – тригонометрический ряд Фурье, числа ak, k=0,1,2,.. bk, k=1,2,.. – коэффициенты Фурье. Функция f называется кусочно-непрерывной на [a,b] если существует разбиение этого отрезка a=x0<x1<x2<..<xn=b, такое, что на каждом интервале (xj-1,xj), j=1,2,.. функция f непрерывна и существуют конечные пределы limx→j-1+0f(x), limx→xj-0, j=1,2,.. Если производная функции f является кусочно-непрерывной на [a,b], то f – кусочно-непрерывно дифференцируемая функция на [a,b]. Условие разложимости функции в ряд Фурье. Пусть fЄR[-π,π] и является кусочно-непрерывно дифференцируемой на [-π,π], тогда sxЄ[-π,π] f(x)=a0/2+∑k=1∞(akcos(kx)+bksin(kx)), а в т.x=-π, x=π сумма этого ряда Фурье =f(-π+0)+f(π-0)/2, где f(-π+0)=limx→-π+0f(x), f(π-0)=limx→π-0f(x). Замечание. а) Если f – четная функция на [-π,π], т.е. sxЄ[-π,π] f(-x)=f(x), то sk=1,2,.. ⌠-ππf(x)sin(kx)dx=0 и разложение в ряд Фурье принимает вид: f(x)=a0/2+∑k=1∞akcos(kx), где ak=(1/π)⌠-πaf(x)cos(kx)dx, k=0,1,2,.. б) Если f – нечетная функция на [-π,π], т.е. sxЄ[-π,π] f(-x)=-f(x), то sk=0,1,2,.. ⌠-ππf(x)cos(kx)dx=0 и разложение в ряд Фурье принимает вид: f(x)=∑k=1∞bksin(kx), k=0,1,2,..█ |
9. Свойства сходящихся числовых рядов. теор. Если ряды ∑k=1∞ak и ∑k=1∞bk сходятся, и их суммы равны соответственно A и B, тогда: а) для всех αЄR ряд ∑k=1∞αak сходится и его сумма =αA; б) ряд ∑k=1∞(ak+bk) также сходится и его сумма равна A+B. док-во Рассмотрим последовательно оба случая. а) Пусть SnA=∑k=1nak, Sn=∑k=1nαak, тогда Sn=αSnA _ сущ. limn→∞Sn=limn→∞(αSnA)=αlimn→∞SnA=αA. б) Пусть SnA=∑k=1nak, SnB=∑k=1nbk, Sn=∑k=1n(ak+bk), тогда Sn=SnA+SnB _ существует limn→∞Sn=limn→∞(SnA+SnB)=A+B.█ Ряд rn=∑k=n+1∞ak – n ый остаток числового ряда ∑k=1∞ak. теор. (свойства сходящихся рядов). Ряд ∑k=1∞ak сходится ^_ limn→∞rn=0. док-во. ∑k=1∞ak сходится ^_ последовательность частичных сумм Sn=∑k=1∞ak сходится. Пусть limn→∞Sn=S, т.е. для всех ε>0 существует NЄN, такое, что для всех n>N выполняется |Sn-S|<ε, но S-Sn=rn _ для всех ε>0 существует NЄN такое, что для всех n>N выполняется |rn|<ε, т.е. limn→∞rn=0.█ | ||
3. Признаки сравнения для числовых рядов с неотрицательными членами. теор. Если для всех kЄN 0≤ak≤bk, то: а) ряд ∑k=1∞bk сходится _ ∑k=1∞ak – сходящаяся; б) ряд ∑k=1∞ak расходится _ ∑k=1∞bk – расходящаяся. док-во. а) Пусть ∑k=1∞bk – сходящаяся, тогда SnB=∑k=1nbk – неубывающая сходящаяся последовательность _ SnB – ограниченная последовательность, т.е. для всех C>0 существует nЄN, SnB≤C. Тогда SnA=∑k=1nak≤SnB, для всех nЄN т.к. 0≤ak≤bk, kЄN _ SnA – неубывающая, ограниченная сверху числом С, последовательность (т.к. для всех nЄN SnA≤C). Значит, раз SnA – сходящаяся _ ряд ∑k=1∞ak – сходится. б) Предположим противное: пусть ∑k=1∞bk – сходится, тогда ∑k=1∞ak – тоже сходится, что противоречит условию, следовательно, ∑k=1∞bk – расходится. следствие. Если ∑k=1∞ak и ∑k=1∞bk – ряды с неотрицательными членами и limk→∞(ak/bk)=1 (т.е. ak~bk, k→∞), то эти ряды сходятся или расходятся одновременно. док-во следствия. limk→∞(ak/bk)=1, тогда для ε=1/2 и для всех NЄN существует k>N, такое, что |ak/bk-1|<1/2, т.е. для всех k>N выполняется: ½<ak/bk<3/2, _ существует k>N, такое что 1/2∙bk<ak<3/2∙bk _ в силу теоремы, если ∑k=1∞bk сходится, то ∑k=1∞ak – тоже сходится, если же ∑k=1∞bk – расходится, то ∑k=1∞ak – тоже расходится. █ | 5. Радикальный признак Коши для числовых рядов с неотрицательными членами. теор.. Пусть ∑k=1∞ak – ряд с неотрицательными членами и limn→∞n√an=q, тогда возможны три случая: а) q<1 _ ряд сходится; б) q>1 _ ряд расходится; а) q=1 _необходимо дополнительное исследование. док-во. Рассмотрим последоват. три возможных случая. а) Пусть limn→∞n√an=q, q<1, тогда возьмем ε>0, такое, что q+ε<1, тогда для любого возможного ε существует NЄN, такое, что для всех n≥N выполняется неравенство: |n√an-q|<ε _ n√an<q+ε _ an<(q+ε)n. Тогда ряд ∑k=N∞(q+ε)n сходится, т.к. q+ε<1 _ по признаку сравнения ∑n=N∞an сходится _ ∑n=1∞an – также сходится. б) Пусть limn→∞n√an=q, q>1, тогда возьмем ε>0, такое, что q-ε>1, тогда для любого возможного ε существует NЄN, такое, что для всех n≥N выполняется неравенство: |n√an-q|<ε _ n√an>q-ε _ an>(q-ε)n. Тогда ряд ∑k=N∞(q-ε)n расходится, т.к. q-ε>1 _ limn→∞(q-ε)n=+∞, т.е не выполняется необходимое условие сходимости _ по признаку сравнения ∑n=N∞an расходится _ ∑n=1∞an – также расходится. в) Пусть limn→∞n√an=q, q=1. Рассмотрим: 1) ряд ∑n=1∞(1/n) – расходится, limn→∞n√an= limn→∞n√(1/n)=1; 2) ряд ∑n=1∞(1/n2) – сходится, limn→∞n√an= limn→∞n√(1/n2)=1. На основании вариантов 1), 2) можно сделать вывод, что необходимо дополнительное исследования. █ | 6. Интегральный признак Коши для числовых рядов с неотрицательными членами. теор.. Пусть f:[1;+∞)→R+ - невозрастающая неотрицательная функция и f(k)=ak, kЄN. Тогда ряд ∑k=1∞ak – сходится или расходится одновременно с интегралом ⌠1+∞f(x)dx.
|
7. Знакочеред. числовые ряды. Признак Лейбница. Пусть для всех nЄN, bn>0, тогда ряд ∑n=1∞(-1)n+1bn – знакопеременный ряд. теор. (признак Лейбница). Пусть а) для всех nЄN, bn≥bn+1; б) limn→∞bn=0. Тогда ряд ∑n=1∞(-1)n+1bn – сходится. док-во. S2n=∑k=12n(-1)k+1bk=b1-b2+b3-b4+..+b2n-1-b2n; S2n+1=∑k=12n+1(-1)k+1bk=b1-b2+b3-b4+..+b2k-1-b2k+b2k+1; S2n+2=S2n+b2n+1-b2n+2≥S2n для всех nЄN _ S2n – неубывающая последовательность. S2n+1=S2n+b2n+1 _ для всех nЄN S2n<S2n+1; S2n+1=b1-(b2-b3)[≥0]-(b4-b5)[≥0]-..-(b2n-b2n+1)[≥0]≤b1 _ для всех nЄN S2n+1≤b1; S2n+1-b2n+2+b2n+3=S2n+3 _ S2n+3≤S2n+1 _ S2n+1 – невозрастающая последовательность. S2n=(b1-b2)[≥0]+(b3-b4)[≥0]+..+(b2n-1-b2n)[≥0] для всех nЄN. В итоге 0≤S2n<S2n+1≤b1, т.е. S2n – неубывающая и ограниченная сверху числом b1 последовательность, _ существует limn→∞S2n=S1; S2n+1 – невозрастающая последовательность, ограниченная снизу числом 0; _ существует limn→∞S2n+1=S2; но если S2n+1[→S2]=S2n[→S1]+b2n+1[→0], значит S1=S2=S. Следовательно для всех ε>0 существует NЄN и для всех n≥N: |S2n-S|<ε и |S2n+1-S|≤ε _ для всех n≥2N+1 |Sn-S|≤ε, Sn=∑k=1n(-1)k+1bk _ ряд ∑k=1∞(-1)k+1bk – сходится. █ | 15. Ряд Тейлора. Дост. условие разложимости функции в ряд Тейлора. Если fЄD∞(x), то функции f можно сопоставить ряд ∑n=0∞(f(n)(x0)/n!)(x-x0)n, это ряд Тейлора функции f в т.х0. Пусть fЄD∞(x0-h,x0+h), тогда справедлива формула Тейлора f(x)=∑k=0n(f(k)x0/k!)(x-x0)k+rn(x), где nЄN – любое, rn(x) – остаточный член формулы Тейлора, xЄ(x0-h,x0+h). _ f(x)=∑k=0∞(f(k)x0/k!)(x-x0)k на (x0-h,x0+h) ^_ limn→∞rn(x)=0, sxЄ(x0-h,x0+h). теор.. Пусть fЄD∞(x0-h,x0+h), для всех M>0 snЄN sxЄ(x0-h,x0+h) _ |f(n)(x)|≤M, тогда sxЄ(x0-h,x0+h) f(x)=∑n=0∞(f(n)(x0)/n!)(x-x0)n. док-во. Согласно формуле Тейлора sxЄ(x0-h,x0+h), snЄN f(x)=∑k=0n(f(k)(x0)/k!)(x-x0)k+rn(x), где rn(x)=f(n+1)(ε)(x-x0)n+1/(n+1)! – формула Лагранжа записи остаточного члена формулы Тейлора, ε лежит между х и х0. _sxЄ(x0-h,x0+h) |rn(x)|=|f(n+1)(ε)(x-x0)n+1/(n+1)!|≤|Mhn+1/(n+1)!| limn→∞Mhn+1/(n+1)!=0, т.к. ряд ∑n=1∞hn/n! – сходится по признаку Даламбера (т.е. limn→∞(hn+1/(n+1)!)∙(n!/hn)=limn→∞h/(n+1)=0 shЄR) _ выполняется необходимое условие сходимости limn→∞hn/n!=0. В итоге, переходя к пределу в неравенстве |rn(x)|≤Mhn+1/(n+1)! получаем limn→∞|rn(x)|=0 sxЄ(x0-h,x0+h) _ sxЄ(x0-h,x0+h) f(x)=∑n=0∞f(n)(x0)(x-x0)n/n!.█ |
|
20. Преобразование Фурье. Интеграл Фурье. Пусть f:R→R, тогда функция ˉf(ξ)=1/(2π)∙⌠-∞+∞f(x)e-ixξdx называется преобразованием Фурье функции f, при уcловии, что интеграл существует в смысле главного значения, т.е. конечен предел limA→+∞⌠-AAf(x)e-ixξdx sξЄR. теор.. Если f абс интегрируема на R, т.е. ⌠-∞+∞|f(x)|dx сходится, то существует преобразование Фурье функции f. ˉf(ξ)=1/(2π)∙⌠-∞+∞f(x)e-iξxdx, определенное на всем R и sξЄR |ˉf(ξ)|≤1/(2π)∙⌠-∞+∞|f(x)|dx, т.е. ˉf – ограниченная на R функция. док-во. eiφ=cosφ+isinφ |eiφ|=1 |e-ixξ|=1 _ |⌠-∞+∞f(x)e-ixξdx|≤⌠-∞+∞|f(x)e-ixξ|dx=⌠-∞+∞|f(x)|dx – сходится _ sξЄR сходится ⌠-∞+∞f(x)e-xξdx _ sξЄR определено ˉf(ξ) и sξЄR |ˉf(ξ)|≤1/(2π)∙⌠-∞+∞|f(x)|dx, т.е. ˉf – ограниченная на R функция. Интеграл ⌠-∞+∞C(ξ)e-xξdξ, где C(ξ)=ˉf(ξ) – преобразование Фурье для функции f, называется интегралом Фурье функции f. теор. Пусть f абс интегрируема на R (т.е. ⌠-∞+∞f(x)dx сходится) и является конечно непрерывно дифференцируемой функцией на R, тогда sxЄR f(x)=⌠-∞+∞ˉf(ξ)eixξdξ.█ | 11. Равномерн сх-сть ФР. Св-ва равномерно сх-хся ФР. Функциональный ряд ∑k=1∞Uk(x) равномерно сходится на множестве, если: а) ряд сходится на Е (т.е. сходится sxЄЕ), следовательно на Е определена функция S(x)=∑k=1∞Uk(x) – сумма функционального ряда; б) sε>0 существует NЄN, такое, что sn>N существует xЄЕ и выполняется условие: |Sn(x)-S(x)|<ε, где Sn(x)=∑k=1∞Uk(x) – частичная сумма функционального ряда. Обозначается: ∑k=1∞Uk(x)IES(x). теор.. ∑k=1∞Uk(x) равномерно сходится на множестве Е к функции S(x) ^_ rn(x)IE0 при n→∞. док-во. ∑k=1∞Uk(x)IЕS(x) ^_ sε>0 существует NЄN, такое, что sn>N, sxЄE выполняется |Sn(x)-S(x)|<ε. Учитывая, что rn(x)=S(x)-Sn(x) получаем, что sε>0 существует NЄN, такое что sn>N, sxЄE выполняется |rn(x)|≤ε, т.е. rnIE0 при n→∞.█ теор. (свойства равномерно сходящихся функциональных рядов). Пусть ∑k=1∞Uk(x)IES(x), тогда а) если snЄN Un(x)ЄC(x0), тогда S(x)ЄC(x0); б) если snЄN Un(x)ЄC[a,b], то S(x)ЄR[a,b] и sx0,xЄ[a,b] выполняется ⌠x0xS(t)dt=∑k=1∞⌠x0xUk(t)dt, т.е. равномерно сходящийся функциональный ряд можно почленно интегрировать; в) пусть snЄN Un(x)ЄD[a,b], ряд из производных ∑k=1∞Uk'(x)I[a,b]φ(x), а сам ряд ∑k=1∞Uk(x) сходится на [a,b] к функции S(x), тогда ∑k=1∞Uk(x)I[a,b]S(x), S(x)ЄD[a,b] и S'(x)=φ(x), xЄ[a,b], т.е. равномерно сходящийся функциональный ряд можно почленно дифференцировать. док-во. Без доказательства. | 12. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функциональных рядов. теор.. Пусть на множестве Е ∑k=1∞Uk(x)=S(x) и существует числовой ряд, такой, что: а)skЄN, sxЄE |Uk(x)|≤ak; б) ∑k=1∞аk сходится, тогда ∑k=1∞Uk(x)IES(x). док-во. Рассмотрим rn(x)=S(x)-Sn(x)=∑k=n+1∞Uk(x). Откуда а) _ |rn(x)|=|∑k=n+1∞Uk(x)|≤ ∑k=n+1∞|Uk(x)|≤∑k=n+1∞аk=rn, sxЄE; б) _ sε>0 существует NЄN sn>N |rn|≤ε. В итоге sε>0 существует NЄN sn>N sxЄE выполняется |S(x)-Sn(x)|≤|rn|<ε, т.е. ∑k=1∞Uk(x)IES(x). █ |
13. Степенной ряд. Радиус сходимости и интервал сходимости степенного ряда. Функциональный ряд вида ∑k=0∞ak(x-x0)k, где ak,x0ЄR, k=0,1,2,.. называется степенным рядом. Числа ak, k=0,1,2,.. – коэффициенты степенного ряда. теор.. Пусть существует limn→∞n√|an|=1/R, (lim=∞ _ R=0 и наоборот), тогда: а) sxЄR |x-x0|<R, степенной ряд ∑k=0∞ak(x-x0)k – абс сходится; б) sxЄR |x-x0|>R, ряд ∑k=0∞ak(x-x0)k расходится. док-во. Применим признак Коши для сходимости функционального ряда Un(x)=an(x-x0)n, limn→∞n√|Un(x)|=limn→∞n√|an(x-x0)n|=|x-x0|limn→∞n√|an|=|x-x0|/R _ если |x-x0|/R<1 (|x-x0|<R), то ряд абс сходится, если |x-x0|/R>1 (|x-x0|>R) _ ряд расходится.█ Число R, определяемое как 1/R=limn→∞n√|an| - радиус сходимости степенного ряда. Интервал (x0-R;x0+R) – интервал сходимости степенного ряда. Если R=0, то ряд сходится только при x=x0, если R=∞, то интервал сходимости - вся числовая ось. | ||
8. Абс и условная сходимость числовых рядов. Признаки Даламбера и Коши для произвольных рядов. Если ряд ∑n=1∞|an| сходится, то ряд ∑n=1∞an – абсолютно сходится Если ряд ∑n=1∞an сходится, но не абсолютно, то он сходится условно. теор.. Если ряд абс сходящийся, то он сходится. док-во. Ряд ∑k=1∞ak абсолютно сходится, т.е. сходится ряд ∑k=1∞|ak|, это значит, что последовательность частичных сумм σk=∑k=1∞|ak| сходится. Значит σk – фундаментальная последовательность, т.е. для всех ε>0 существует nЄN, такое что для всех m,n>n справедливо |σn-σm|<ε, но |σn-σm|=∑k=m+1n|ak|, _ если рассмотрим Sn=∑k=1∞ak, то |Sn-Sm|=|∑k=m+1nak|≤∑k=m+1n|ak|=|σn-σm|. Далее для всех ε>0 и существует NЄN, такое что, для всех m,n>N справедливо: |Sn-Sm|≤|σn-σm|<S _ Sn – фундаментальная последовательность которая сходится, следовательно ряд ∑k=1∞ak также сходится.█ теор. (признак Даламбера для произвольных числовых рядов). Пусть дан числовой ряд ∑k=1∞ak и существует limn→∞|an+1/an|=q, тогда: а) если q<1 то ряд абс. сходится; б) если q>1 то ряд расходится; в) если q=1 то нужно дополнительное исследование. док-во. Рассмотрим последовательно все три случая. а) q<1, применяя признак Даламбера для рядов с неотрицательными членами имеем: раз ряд ∑k=1∞|ak| - сходится, _ ∑k=1∞ak – абс. сходится. б) q>1, применяя признак Даламбера для ряда ∑k=1∞|ak| получим, что limn→∞|an|=+∞,а значит, что limn→∞an=∞, _ ∑k=1∞ak – расходится. в) q=1, требуется дополнительное исследование, т.к. например: а) ряд ∑k=1∞((-1)k/k2)- сходится абсолютно, т.к. limn→∞|an+1/an|=limn→∞n2/(n+1)2=1; б) ряд ∑k=1∞(1/k) – расходится, т.к. limn→∞|an+1/an|=1; в) ряд ∑k=1∞((-1)k/k) сходится условно.█ теор. (радикальный признак Коши для произвольных числовых рядов). Пусть дан числовой ряд ∑k=1∞ak и существует limn→∞n√|an|=q, тогда: а) если q<1 то ряд абс. сходится; б) если q>1 то ряд расходится; в) если q=1 то нужно дополнительное исследование. док-во. Рассмотрим последовательно все три случая. а) q<1, применяя признак Коши для рядов с неотрицательными членами имеем: раз ряд ∑k=1∞|ak| - сходится, _ ∑k=1∞ak – абс. сходится. б) q>1, применяя признак Коши для ряда ∑k=1∞|ak| получим, что limn→∞n√an=+∞,а значит, что limn→∞n√an=∞, либо не существует, _ ∑k=1∞ak – расходится. в) q=1, требуется дополнительное исследование, т.к. например: а) ряд ∑k=1∞((-1)k/k2)- сходится абсолютно, т.к. limn→∞n√|an|=1; б) ряд ∑k=1∞(1/k) – расходится, т.к. limn→∞n√|an|=1; в) ряд ∑k=1∞((-1)k/k) сходится условно. █ | 14. Свойства степенных рядов. Единственность разложения функции в степенной ряд. теор. (св-ва степ. ряда). Пусть дан степенной ряд ∑k=0∞ak(x-x0)k и его радиус сходится, R≠0. Тогда: а) [a,b]Є(x0-R,x0+R) ряд равномерно сходится на [a,b]; б) сумма ряда S(x)=∑k=1∞ak(x-x0)k непрерывна на (x0-R,x0+R); в) сумма ряда S(x)ЄC∞(x0-R,x0+R) и S(m)(x)=∑k=m∞k(k-1)..(k-m+1)ak(x-x0)k на (x0-R,x0+R); г) sxЄ(x0-R,x0+R) ⌠x0xS(t)dt=∑k=0∞(ak/(k+1))∙(x-x0)k+1. док-во. Рассмотрим последовательно все четыре случая. а) Пусть [a,b]Є(x0-R,x0+R) для всех 0<r<R:[a,b]Є[x0-r,x0+r]Є(x0-R,x0+R). Покажем, что ряд равномерно сходится на [x0-r,x0+r] применяя признак Вейерштрассе: sxЄ[x0-r,x0+r] |an(x-x0)n|≤|an|rn. Числовой ряд ∑k=0∞|an|rn сходится, т.к. ряд ∑n=0∞an(x-x0)n абс сходится при x=x0+rЄ(x0-R,x0+R). Следовательно, по признаку Вейерштрассе ряд ∑n=0∞an(x-x0)n равномерно сходится на [x0-r,x0+r], [a,b]Є[x0-r,x0+r] _ ряд равномерно сходится на [a,b], sxЄ[x0-r,x0+r] |an(x-x0)n|≤|an|rn. б) Возьмем sx1Є(x0-R,x0+R), покажем, что S(x)ЄC(x1). Возьмем [a,b]Є(x0-R,x0+R):x1[a,b]. snЄN Un(x)=an(x-x0)nЄC[a,b] и ряд ∑n=0∞an(x-x0)n равномерно сходится на [a,b] _ сумма ряда S(x)ЄC[a,b] _ S(x)ЄC(x1) _ в силу произвольности x1Є(x0-R,x0+R) S(x)ЄC(x0-R,x0+R). в) Рассмотрим sx1Є(x0-R,x0+R) и возьмем [a,b]Є[x0-R,x0+R]:x1Є[a,b]. На этом отрезке ряд ∑n=0∞an(x-x0)n равномерно сходится на [a,b]. Рассмотрим ряд ∑n=0∞nan(x-x0)n-1 и запишем его в виде ∑n=1∞bn(x-x0)n, где bn=(n+1)an+1. Найдем его радиус сходимости: limn→∞n√|bn|=limn→∞n√((n+1)|an+1|)=1/R _ радиус сходимости этого ряда тоже R, а интервал сходимости тоже (x0-R,x0+R). Далее ряд ∑n=1∞bn(x-x0)n равномерно сходится на [a,b] _ сумма ряда S(x)=∑n=0∞an(x-x0)n дифференцируема на [a,b] и её S'(x)=∑n=1∞bn(x-x0)n=∑n=1∞nan(x-x0)n-1 и т.д. откуда по индукции получаем, что S(x)ЄD(m)[a,b] smЄN и D(m)(x)=∑n=m∞n(n-1)..(n-m+1)an(x-x0)n-m на [a,b] следовательно, что и в т.x1Є[a,b]. В виду произвольности т.x1Є(x0-R,x0+R) это верно для всего (x0-R,x0+R). г) Возьмем sxЄ(x0-R,x0+R) на [x0,x] ряд ∑n=0∞an(x-x0)n равномерно сходится _ сумма ряда S(x)ЄR[x0,x] и ⌠x0xS(t)dt=∑n=0∞⌠x0xan(t-x0)ndt=∑n=0∞an∙((t-x0)n+1/(n+1))|x0x=∑n=0∞an∙(x-x0)n+1/(n+1), причем радиус сходимости этого ряда: limn→∞n√(an+1/n)=1/R, также равен R, а значит интервал сходимости: (x0-R,x0+R) – как и у исходного ряда.█ теор. (единственность разложения функции в степенной ряд). Если f(x)=∑n=0∞an(x-x0)n в окрестности т.х0, то такое представление функции в виде степенного ряда единственно. док-во. f(x)=∑n=0∞an(x-x0)n _ при x=x0 получим f(x0)=a0, f'(x)=∑n=1∞nan(x-x0)n-1 _ при x=x0 получаем f'(x0)=a1, и т.д. f(m)(x)=∑n=m∞n(n-1)..(n-m+1)∙an(x-x0)n-m, следовательно при х=х0 f(m)(x)=m!am, т.е. am=f(m)(x0)/m! smЄN, т.е. коэффициенты степенного ряда определяются однозначно.█ | 10. Функциональный ряд (ФР) и его сходимость. Признаки Даламбера и Коши сходимости ФР. Пусть Uk(x):E→R – последовательность функций, определяемых на множестве XЄR, тогда ∑k=1∞Uk(x) – функциональный ряд. Он сходится в т.X0, если сходится числовой ряд ∑k=1∞Uk(x0). Множество всех таких точек x0ЄX – область сходимости функционального ряда ∑k=1∞Uk(x). Функциональный ряд ∑k=1∞Uk(x) абс. сходится в т.x0ЄX, если абс. сходится ряд ∑k=1∞Uk(x0). теор. (признак Даламбера сходимости функционального ряда). Пусть дан ряд ∑k=1∞Uk(x) и существует limn→∞|Uk+1(x)/Uk(x)|=q(x), тогда а) q(x)<1 _ ряд сходится абсолютно; б) q(x)<1 _ ряд расходится; в) q(x)=1 _ необходимо дополнительное исследование. док-во. Рассмотрим последовательно все три случая. а) q<1, применяя признак Даламбера для рядов с неотрицательными членами имеем: раз ряд ∑k=1∞|Uk| - сходится, _ ∑k=1∞Uk – абс. сходится. б) q>1, применяя признак Даламбера для ряда ∑k=1∞|Uk| получим, что limn→∞|Un|=+∞,а значит, что limn→∞Un=∞, _ ∑k=1∞Uk – расходится. в) q=1, требуется дополнительное исследование, т.к. например: а) ряд ∑k=1∞((-1)k/k2)- сходится абсолютно, т.к. limn→∞|Un+1/Un|=limn→∞n2/(n+1)2=1; б) ряд ∑k=1∞(1/k) – расходится, т.к. limn→∞|Un+1/Un|=1; в) ряд ∑k=1∞((-1)k/k) сходится условно.█ теор. (признак Коши для сходимости функционального ряда). Пусть дан ряд ∑k=1∞Uk(x) и существует limn→∞n√|Uk(x)|=q(x), тогда а) q(x)<1 _ ряд сходится абсолютно; б) q(x)<1 _ ряд расходится; в) q(x)=1 _ необходимо дополнительное исследование. док-во. Рассмотрим последовательно все три случая. а) q<1, применяя признак Коши для рядов с неотрицательными членами имеем: раз ряд ∑k=1∞|Uk| - сходится, _ ∑k=1∞Uk – абс. сходится. б) q>1, применяя признак Коши для ряда ∑k=1∞|Uk| получим, что limn→∞n√Un=+∞,а значит, что limn→∞n√Un=∞, либо не существует, _ ∑k=1∞Uk – расходится. в) q=1, требуется дополнительное исследование, т.к. например: а) ряд ∑k=1∞((-1)k/k2)- сходится абсолютно, т.к. limn→∞n√|Un|=1; б) ряд ∑k=1∞(1/k) – расходится, т.к. limn→∞n√|Un|=1; в) ряд ∑k=1∞((-1)k/k) сходится условно. █
|
18. Разлож. функций (1+x)α, ln(1+x), arctg(x) в ряд Тейлора. а) f(x)=ln(1+x) f'(x)=1/(1+x)=∑n=0∞(-1)nxn, |x|<1 _ ⌠0xf'(t)dt=⌠0xf'(t)dt=∑n=0∞(-1)n⌠0xtndt=∑n=0∞(-1)nxn+1/(n+1)=∑n=1∞(-1)n+1xn/n _ f(x)-f(0)={f(0)==ln(1)=0}=∑n=1∞(-1)n+1xn/n _ f(x)=ln(1+x)=∑n=1∞(-1)n+1xn/n, |x|<1. б) f(x)=(1+x)α f'(x)=α(x+1)α-1, f(m)(x)=α(α-1)..(α-m+1)α-m, mЄN. f(0)=1 f'(0)=α f(m)(0)=α(α-1)..(α-m+1), откуда, по аналогии с пред. получаем: f(x)=(1+x)α=1+∑n=0∞α(α-1)..(α-n+1)xn/n!. в) f(x)=arctg(x) f'(x)=1/(1+x2)=(1+x2)-1=∑n=0∞(-x2)n=∑n=0∞(-1)nx-n, т.к. (1+t)α, t=x2, α=-1. Интервал сходимости: sxЄ(-1,1) |x2|<1 -1<x<1 интервал сходится. ⌠0xdt/(1+t2)=⌠0x(∑n=0∞(-1)nt2n)dt=∑n=0∞(-1)n⌠0xt2ndt=∑n=0∞(-1)nt2n+1/(2n+1)|0x=∑n=0∞(-1)nx2n+1/(2n+1) _ ⌠0xdt/(1+t2)=arctg(x)|0x=arctg(x), следовательно на (-1,1) arctg(x)=∑n=0∞(-1)nx2n+1/(2n+1).█ | 16. Разложение функций ex, sh(x), ch(x) в ряд Тейлора. а) f(x)=exЄD∞(R), snЄN f(n)(x)=ex. Пусть x0=0 _ snЄN g(n)(0)=1. Рассмотрим [-A,A], где A>0 – произвольное _ sxЄ(-A,A) snЄN |f(n)(x)|≤eA _ sxЄ(-A,A) ex=∑n=0∞f(n)(0)xn/n!=∑n=0∞xn/n! _ в силу произвольности A>0, sxЄR ex=∑n=0∞xn/n! б) f(x)=sh(x)=(ex-e-x)/2=1/2∙(∑n=0∞xn/n!-∑n=0∞(-x)n/n!)=1/2∙(∑n=0∞xn/n!+∑n=0∞(-1)n+1xn/n!)=∑n=0∞x2n-1/(2n+1)! в) f(x)=ch(x)=(ex+e-x)/2=1/2∙(∑n=0∞xn/n!+∑n=0∞(-1)n+1∙xn/(2n)!)=∑n=0∞x2n/(2n)! sxЄR.█ | 2. Числовые ряды с неотрицательными членами. теор. Пусть S=∑n=1∞an – ряд с неотрицательными числами, т.е. an≥0 snЄN, тогда ∑n=1∞an сходится ^_ последовательность частичных сумм этого ряда Sn=∑k=1nak ограничена сверху. док-во. т.к. an≥0 snЄN, Sn=∑k=1∞ak≤Sn+1 snЄN _ Sn – неубывающая числовая последовательноcть _ Sn сходится _ Sn ограничена сверху _ ∑k=1∞ak сходится ^_ Sn=∑k=1n ограничена сверху.█ |
17. Разложение функций sin(x), cos(x) в ряд Тейлора. а) f(x)=sin(x)ЄD∞(R) snЄN f(n)(x)=sin(x+πn/2). x0=0 _ f(n)(0)=sin(πn/2)={0, n=2k; (-1)k, n=2k+1]. sxЄR snЄN |f(n)(x)|=|sin(x+πn/2)|≤1 _ sin(x)=∑k=0∞(-1)kx2k+1/(2k+1)!. б) f(x)=cos(x)ЄD∞(R). x0=0 _ f(n)(0)=cos(πn/2)={(-1)k, n=2k; 0, n=2k+1]. sxЄR snЄN |f(n)(x)|=|cos(x+πn/2)|≤1 _ cos(x)=∑k=0∞(-1)kx2k/(2k)!.█ |
Дата добавления: 2015-08-27; просмотров: 53 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая лекция | | | следующая лекция ==> |
| Какова же была численность российской буржуазии? Сколько в царстве двуглавого орла было тех, кто относился к лидерам класса из числа первых среди остальных? Вообще-то категория крупная | | | Что такое системная расстановка. |
док-во. т.к. f – невозрастающая на [1;+∞) _ для всех xЄ[k;k+1] выполняется условие f(k+1)≤f(x)≤f(k) _ ⌠kk+1f(k+1)dx≤⌠kk+1f(x)dx≤⌠kk+1f(k)dx _ f(k+1)≤⌠kk+1f(x)dx≤f(k) (для всех kЄN) _ ∑k=1nf(k+1)≤∑k=1n⌠kk+1f(x)dx≤∑k=1nf(k) т.е. ∑k=1nak+1≤⌠1n+1f(x)dx≤∑k=1nak _ Sn+1-a1≤⌠1n+1f(x)dx≤Sn. В итоге, если ∑k=1∞ak сходится, то Sn – ограниченная последовательность _ F(n+1)=-⌠1n+1f(x)dx – неубывающая, ограниченная сверху последовательность, а значит существует limn→∞F(n+1) и следовательно ⌠1+∞f(x)dx – сходится. Если же ряд ∑k=1∞ расходится, то в силу неравенства Sn+1-a1≤⌠1n+1f(x)dx предел limn→∞⌠1n+1f(x)dx=+∞, т.е. ⌠1+∞f(x)dx – расходится. Если ⌠1+∞f(x)dx – сходящийся, то в силу Sn+1-a1≤⌠1n+1f(x)dx _ Sn+1 – неубывающая, ограниченная сверху последовательность и значит существует limn→∞Sn+1, т.е. ∑k=1∞ak – сходится. Если же ⌠1+∞ f(x)dx расходится, то в силу ⌠1n+1f(x)dx≤Sn, nЄN, limn→∞Sn=+∞, т.е. ∑k=1∞ak – расходится. █