Задана функция . Установить, является ли данная функция непрерывной.

Задана функция . Установить, является ли данная функция непрерывной.

В случае разрыва функции в некоторой точке найти её пределы слева и справа,классифицировать характер разрыва. Построить схематично график функции.

Любая элементарная функция непрерывна во всех точках своей области определения.

Необходимое и достаточное условие непрерывности функции в точке

Скачок функции в точке

Пример 1. Пусть функция имеет вид

Решение: Функция определена для всех . Если , то , поэтому для всех функция непрерывна. Если , непрерывна для всех .Если , для всех также непрерывна.Поэтому точки разрыва могут быть только для тех значений , в которых заданная функция меняет свой аналитический вид, а именно в точках и . Исследуем непрерывность функции в точке . Для этого найдём: предел слева

,

предел справа

.

Так как пределы слева и справа конечны, равны между собой и равны значению функции в точке , то получаем, что функция непрерывна в точке .

Пусть . Находим аналогично

Предел слева

,

Предел справа

Так как пределы слева и справа конечны, но не равны между собой, то в точке функция имеет разрыв первого рода со скачком.

.

Строим график функции , выделяя области определения составляющих

функций стрелками, если они не определены в точке или .

Дата добавления: 2015-08-28