1. Основные формулы комбинаторики: перестановки, размещения и сочетания.

1. Основные формулы комбинаторики: перестановки, размещения и сочетания.

Перестановками называют комбинации состоящие из одних и тех же различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения.

Теорема: число перестановок с повторениями есть

.

Размещением называют комбинации составленные из различных элементов по элементам которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком.

размещениями с повторениями, а их количество вычисляется по формуле: .

Сочетаниями называют комбинации составленные из различных элементов по элементам которые отличаются хотя бы одним элементом.

Теорема: число сочетаний с повторениями может быть вычислено по формулам:

.

2. Определение случайного события.

Случайным событием называется событие, которое при осуществлении некоторых условий может произойти или не произойти. Например, попадание в некоторый объект или промах при стрельбе по этому объекту из данного орудия является случайным событием.

Событие называется достоверным, если в результате испытания оно обязательно происходит. Невозможным называется событие, которое в результате испытания произойти не может.

Случайные события называются несовместными в данном испытании, если никакие два из них не могут появиться вместе.

Случайные события образуют полную группу, если при каждом испытании может появиться любое из них и не может появиться какое-либо иное событие, несовместное с ними.

Рассмотрим полную группу равновозможных несовместных случайных событий. Такие события будем называть исходами. Исход называется благоприятствующим появлению события А, если появление этого события влечет за собой появление события А.

3. Определение и свойства классической вероятности.

Вероятностью события A называют отношение числа m благоприятствующих этому событию исходов к общему числу n всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу

Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице
Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю.
Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству .

4. Определение понятий совместных и несовместных событий.

События называется несовместными в данном опыте если появление одного из них исключает появление другого.

События называется совместными если появление одного из них не исключает появление остальных.

Несколько событий образуют полную группу событий если в результате опыта обязательно появится хотя бы одно из них.

Если два несовместных события образуют полную группу они называются противоположными

События называется равновозможными если появление ни одного из них не является объективно более возможным чем другие.

События называются неравновозможными если появление хотя бы одного из них является более возможным чем другие.

5. Определение полной группы событий.

По́лной гру́ппой(системой) собы́тий в теории вероятностей называется система случайных событий такая, что в результате произведенного случайного эксперимента непременно произойдет одно и только одно из них. Сумма вероятностей всех событий в группе всегда равна 1.

6. Определение зависимых и независимых событий. Формула произведения вероятностей.

Несколько событий называются независимыми в совокупности, если любое из них не зависит от любого другого события и от любой комбинации остальных.

События называются зависимыми, если одно из них влияет на вероятность появления другого. Например, две производственные установки связаны единым технологическим циклом. Тогда вероятность выхода из строя одной из них зависит от того, в каком состоянии находится другая. Вероятность одного события , вычисленная в предположении осуществления другого события , называется условной вероятностью события и обозначается .

Условие независимости события от события записывают в виде , а условие его зависимости — в виде . Рассмотрим пример вычисления условной вероятности события.

Теорема 2.3. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

Следствие 2.1. Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий:

Из теоремы умножения

P(AB) = P(A) · PA(B) = P(B) · PB(A).

7. Биноминальное распределение (постановка задачи о независимых испытаниях). Формула бернулли.

Биноминальным называют распределение вероятностей, определяемой формулой Бернулли Этот закон назван «биноминальным» потому, что правую часть равенства можно рассматривать как общий член разложения Бинома Ньютона:

Первый член разложения определяет вероятность наступления рассматриваемого события раз в независимых испытаниях …последний член определяет вероятность того, что событие не появится ни разу.

Можно записать Биноминальный закон в виде таблицы:

Опр. Математическое ожиданиебиномиального распределения равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в одном испытании: M(X) = np.

Опр. Дисперсия биномиального распределения равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в одном испытании: D(X) = npq

Теорема Бернулли. Пусть вероятность появления события A в каждом опыте постоянна и равна р. Тогда вероятность того, что в n независимых испытаниях событие A появится ровно k раз, рассчитывается по формуле:

где C_n^k — число сочетаний, q = 1 − p.

Эта формула так и называется: формула Бернулли. Интересно заметить, что задачи, приведенные ниже, вполне решаются без использования этой формулы. Например, можно применить формулы сложения вероятностей. Однако объем вычислений будет просто нереальным.

8. Определение случайной величины. Понятие о функции распределения случайной величины.

Случайная величина — это величина, которая принимает в результате опыта одно значение из множества исходов, причём появление того или иного значения этой величины до её измерения нельзя точно предсказать.

Различают два вида случайных величин:

1. Случайная величина, принимающая отдельные возможные значения с определенными

вероятностями, называется дискретной случайной величиной.

2. Непрерывной называется случайная величина, которая может принимать все значения

из некоторого промежутка.

Закон распределения дискретной случайной величины представляет собой перечень всех её возможных значений и соответствующих вероятностей. Сумма всех вероятностей Σp_i = 1. Закон распределения также может быть задан аналитически (формулой) и графически (многоугольником распределения, соединяющим точки (x_i; p_i)

9. Мат. Ожидание и дисперсия дискретных и непрерывных случайных величин. Их смысл, свойства и способы вычисления.

Основными характеристиками ДСВ являются математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение.

Характеристикой среднего значения случайной величины служит математическое ожидание.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности:

Свойства математического ожидания:

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:

2. Постоянный можно выносить за знак математического ожидания:

3. Математическое ожидание произведения взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей:

4. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

(для разности аналогично)

Характеристиками рассеяния возможных значений случайной величины вокруг математического ожидания служат, в частности, дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

Дисперсией случайной величины Х называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

Дисперсию удобно вычислять по формуле:

Свойства дисперсии:

1. Дисперсия постоянной равна нулю:

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат:

3. Дисперсия суммы (разности) независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых:

4.

10. Определения моды, медианы, начальных и центральных моментов случайной величины.

Модой (Мо) случайной величины х называется наиболее вероятное ее значение. Это определение строго относится к дискретным случайным величинам. Для непрерывной величины модой называется такое ее значение для которого ф-ция плотности распределения имеет максимальную величину.

Медианой (Ме) случайной величины называется такое ее значение для которого окажется ли случайная величина меньше этого значения. Для непрерывной случайной величины медиана это абсцисса точки в которой площадь под кривой распределяется пополам. Для дискретной случайной величины значение медианы зависит от того четное или нечетное значение случайной величины n=2k+1, то Ме=х_к+1 (среднее по порядку значение). Если значение случайных величин четное, т.е n=2k, то

Начальным моментом порядка k случайной величины Х называется математическое ожидание величины X^k:

ν _k = M (X^k). (9.1)

В частности, ν₁ = М (Х), ν₂ = М (Х ²). Следовательно, дисперсия D (X) = ν₂ – ν₁².

Определение 9.2. Центральным моментом порядка k случайной величины Х называется мате-матическое ожидание величины (Х – М (Х)) ^k:

μ _k = M ((Х – М (Х)) ^k). (9.2)

В частности, μ₁ = M (Х – М (Х)) = 0, μ₂ = M ((Х – М (Х))²) = D (X).

11. Определение непрерывной случайной величины.

. Случайная величина называется непрерывной, если она может принимать любые возможные значения на открытом, полуоткрытом или закрытом интервале числовой оси. Более строго случайная величина называется непрерывной, если существует неотрицательная функция , удовлетворяющая следующему равенству при любых [3, 9]:

,

где – функция распределения случайной величины Х, т. е. .

12. Формула плотности вероятности и свойства нормального распределения.

Нормальное распределение,^[1][2] также называемое распределением Гаусса — распределение вероятностей, которое в одномерном случае задается функцией плотности вероятности, совпадающей сфункцией Гаусса:

где параметр μ — математическое ожидание (среднее значение), медиана и мода распределения, а параметр σ — среднеквадратическое отклонение (σ  ² — дисперсия) распределения.

Таким образом, одномерное нормальное распределение является двухпараметрическим семейством распределений. Многомерный случай описан в статье «Многомерное нормальное распределение».

Стандартным нормальным распределением называется нормальное распределение с математическим ожиданием μ = 0 и стандартным отклонением σ = 1.

Правило трёх сигм () — практически все значения нормально распределённой случайной величины лежат в интервале . Более строго — приблизительно с 0,9973 вероятностью значение нормально распределённой случайной величины лежит в указанном интервале (при условии, что величина истинная, а не полученная в результате обработки выборки).

Если же истинная величина неизвестна, то следует пользоваться не , а s. Таким образом, правило трёх сигм преобразуется в правило трёх s. (13)правило трех сигм

14. Неравенство Чебышева: формула и ее интерпретация.

Неравенство Чебышева: Для любой случайной величины, имеющей мат ожидание и дисперсию, справедливо неравенство Чебышева: где a=M(x)

Неравенство Чебышева для некоторых случайных величин:

1.для случ величины Х=m? Имеющей биномиальный закон распределения с мат ожиданием а=M(x)=np и D(x)=npq

2/для частости m\n события в n независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью a=M(m\n)=p и имеющей дисперсию D(m\n)=pq\n

15. Понятие о законе больших чисел. Сходимость по вероятности.

Закон больших чисел Бернулли.

Пусть производится последовательность независимых испытаний, в результате каждого из которых может наступить или не наступить событие А, причем вероятность наступления этого события одна и та же при каждом испытании и равна р. Если событие А фактически произошло m раз в n испытаниях, то отношение m/n называют, как мы знаем, частотой появления события А. Частота есть случайная величина, причем вероятность того, что частота принимает значение m/n, выражается по формуле Бернулли (13):

Закон больших чисел в форме Бернулли состоит в следующем: с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, можно утверждать, что при достаточно большом числе опытов частота появления события А как угодно мало отличается от его вероятности, т. е.

иными словами, при неограниченном увеличении числа n опытов частота m/n события А сходится по вероятности к Р(А). (Доказательство)

Мы говорили (см. § 1, п. 1), что при большом числе испытаний частота Р*(А)=m/n события А обладает свойством устойчивости. Это обстоятельство находит свое объяснение в законе больших чисел Бернулли.

Определение 2.8

Последовательность случайных величин сходится по вероятности к случайной величине , если

Кратко это записывают следующим образом: .

Таким образом, утверждения Следствий 2.3 и 2.4 кратко записываются как и соответственно.

Дата добавления: 2015-08-28