Уравнение состояния идеального газа (Клапейрона-Менделеева) для начального и конечного состояний, соответственно:

1.

Дано:

T ₂ = T ₁ + 1 К

P ₂ = 1.002 P ₁

T ₁ -?

РЕШЕНИЕ

Уравнение состояния идеального газа (Клапейрона-Менделеева) для начального и конечного состояний, соответственно:

P ₁ V = ν R T ₁

P ₂ V = ν R T ₂

где P ₁, P ₂ - давления в начальном и конечном состояниях; T ₁, T ₂ - температуры в этих состояниях; V - объём газа; ν - его количество в молях; R = 8.31441 Дж моль^-1 К^-1 - универсальная газовая постоянная.

В соответствии с условиями задачи второе уравнение можно переписать в виде

1.002 P ₁ V = ν R (T ₁ + 1)

Поделив его на первое равенство, получаем

1.002 = (T ₁ + 1) / T ₁,

откуда

T ₁ = 1 / 0.002 = 500 К

2.

Дано:

m _H = 4 ∙ 10^-3 кг

m _O = 0.032 кг

T = 280 К

P = 1 ∙ 10⁵ Па

ρ -?

РЕШЕНИЕ

Уравнения состояния для водорода и кислорода, занимающих весь данный объём V:

P _H V = (m _H / μ_H) R T → P _H = (m _H / μ_H) R T / V

P _O V = (m _O / μ_O) R T → P _O = (m _O / μ_O) R T / V

Здесь

μ_H = 2 ∙ 10^-3 кг/моль

μ_O = 0.032 кг/моль,

- молярные массы водорода и кислорода.

По закону Дальтона, давление P смеси газов равно сумме парциальных давлений P ₁ и P ₂:

P = P _H + P ₀ = (m _H / μ_H + m _O / μ_O) R T / V,

откуда

V = (m _H / μ_H + m _O / μ_O) ∙ R ∙ T / P =

= (4 ∙ 10^-3 / 2 ∙ 10^-3 + 0.032 / 0.032) ∙ 8.31441 ∙ 280 / 1 ∙ 10⁵ = 0.069841 м³

Тогда искомая плотность

ρ = (m _H + m _O) / V = (4 ∙ 10^-3 + 0.032) / 0.069841 = 0.515456 кг/м³

3.

Дано:

P ₁ = 1 ∙ 10⁵ Па

V ₁ = 5 ∙ 10^-3 м³

P ₂ = 5 ∙ 10⁵ Па

V ₂ = 2 ∙ 10^-3 м³

Процесс 1 - 1 a: V = V ₁ = V _1a

Процесс 1 a - 2: P = P _1a = P ₂

Δ U, A -?

РЕШЕНИЕ

Уравнения состояний газа в начальном 1, промежуточном 1 a и конечном 2 состояниях:

P ₁ V ₁ = ν R T ₁

P _1a V _1a = ν R T _1a

P ₂ V ₂ = ν R T ₂

С учетом условий задачи, второму уравнению можно придать вид

P ₂ V ₁ = ν R T _1a

Тогда можно получить произведения температур и кол-ва газа:

ν_T1 = P ₁ ∙ V ₁ / R = 1 ∙ 10⁵ ∙ 5 ∙ 10^-3 / 8.31441 = 60.13656 моль∙К

ν_T1a = P ₂ ∙ V ₁ / R = 5 ∙ 10⁵ ∙ 5 ∙ 10^-3 / 8.31441 = 300.6828 моль∙К

ν_T2 = P ₂ ∙ V ₂ / R = 5 ∙ 10⁵ ∙ 2 ∙ 10^-3 / 8.31441 = 120.2731 моль∙К

В изохорном процессе 1 - 1 a работа не выполняется, а изменение внутренней энергии равно

Δ U ₁ = ν ∙ c _m (T _1a - T ₁) = c _m (ν T _1a - ν T ₁),

где

c _m = 20.86 Дж моль^-1 К^-1

- молярная теплоёмкость азота.

Тогда

Δ U ₁ = c _m ∙ (ν T_1a – ν T₁) = 20.86 ∙ (300.6828 - 60.13656) = 5.017794 ∙ 10³ Дж

В изобарном процессе 1 a - 2 газ выполняет работу

A = P ₂ ∙ (V ₂ - V ₁) = 5 ∙ 10⁵ ∙ (2 ∙ 10^-3 - 5 ∙ 10^-3) = -1.5 ∙ 10³ Дж

и увеличивает внутреннюю энергию на величину

Δ U ₂ = c _m ∙ (ν T₂ – ν T_1a) = 20.86 ∙ (120.2731 - 300.6828) = -3.763346 ∙ 10³ Дж

Общее увеличение внутренней энергии составит

Δ U = Δ U ₁ + Δ U ₂ = 5.017794 ∙ 10³ + -3.763346 ∙ 10³ = 1.254449 ∙ 10³ Дж,

а выполненная работа - A = -1.5 ∙ 10³ Дж

Строим графики процесса:

4.

Дано:

m = 0.02 кг

T ₁ = 300 К

V ₂ = 5 V ₁

T ₃ = T ₂

V ₃ = V ₂ / 5 = V ₁

T ₂, A -?

РЕШЕНИЕ

Уравнение адиабатного процесса:

V ₁^x-1 T ₁ = V ₂^x-1 T ₂ → T ₂ = (V ₁ / V ₂) ^x-1 ∙ T ₁,

где x = c _p / c _v; c _p, c _v - удельные теплоёмкости газа соответственно при постоянном давлении и объёме. Для водорода:

c _p = 1.4269 ∙ 10⁴ Дж кг^-1 К^-1

c _v = 1.0132 ∙ 10⁴ Дж кг^-1 К^-1

Тогда

x = c _p / c _v = 1.4269 ∙ 10⁴ / 1.0132 ∙ 10⁴ = 1.40831

T ₂ = (1 / 5) ^x-1 ∙ T ₁ = (1 / 5) ^1.40831-1 ∙ 300 = 155.4979 К

Работа, совершаемая газом при адиабатном расширении, равна убыли внутренней энергии:

A ₁ = m ∙ c _v ∙ (T ₁ - T ₂) = 0.02 ∙ 1.0132 ∙ 10⁴ ∙ (300 - 155.4979) = 2.92819 ∙ 10⁴ Дж

Работа, совершаемая над газом при изотермическом сжатии:

A ₂ = ν ∙ R ∙ T ₂ ∙ ln (V ₂ / V ₃) =

= (m / μ) ∙ R ∙ T ₂ ∙ ln (5) = (0.02 / 2 ∙ 10^-3) ∙ 8.31441 ∙ 155.4979 ∙ ln (5) = 2.0808 ∙ 10⁴ Дж

Полная работа, совершаемая газом:

A = A ₁ - A ₂ = 2.92819 ∙ 10⁴ - 2.0808 ∙ 10⁴ = 8.473904 ∙ 10³ Дж

5.

Дано:

T ₁ = 3 T ₂

Q ₂ / (Q ₁ + Q ₂) -?

РЕШЕНИЕ

КПД тепловой машины по определению:

η = (Q ₁ - Q ₂) / Q ₁ = 1 - Q ₂ / Q ₁

→ Q ₁ / Q ₂ = 1 / (1 - η),

где Q ₁, Q ₂ - количества теплоты, получаемой от нагревателя и отдаваемой холодильнику, соответственно. С другой стороны, по теореме Карно

η = (T ₁ - T ₂) / T ₁ = 1 - T ₂ / T ₁,

где T ₁, T ₂ - температуры нагревателя и холодильника, соответственно.

Имеем T ₁ / T ₂ = 3, так что

η = 1 - 1 / 3 = 2/3

Тогда искомая доля

Q ₂ / (Q ₁ + Q ₂) = 1 / (Q ₁ / Q ₂ + 1) =

= = 1/4

6.

Дано:

m = 8.8 ∙ 10^-3 кг

V ₂ = 3 V ₁

Δ S -?

РЕШЕНИЕ

Малое изменение энтропии:

d S = δ Q / T = m c T ^-1 d T,

где δ Q - малое количество подведенной теплоты;

c = 837 Дж кг^-1 К^-1

- удельная теплоёмкость углекислого газа.

Конечное приращение энтропии:

Δ S = ∫ d S = m c ln (T ₂ / T ₁).

В изотермическом процессе T ₂ = T ₁, так что

Δ S _T = m c ln 1 = 0

В изобарном процессе для начального и конечного состояний имеем

P V ₁ = ν R T ₁

P V ₂ = ν R T ₂,

откуда

T ₂ / T ₁ = V ₂ / V ₁ = 3

Тогда изменение энтропии в этом процессе

Δ S _p = m ∙ c ∙ ln 3 = 8.8 ∙ 10^-3 ∙ 837 ∙ ln 3 = 8.091939 Дж / К

Дата добавления: 2015-08-27