Построение гистограммы и ненормированной функции нормального распределения (а)

Построение гистограммы и ненормированной функции нормального распределения (а)

При достаточно большом числе результатов наблюдений (n > 40) задача решается в следующем порядке

– весь диапазон полученных результатов наблюдений X_max – X_min разделяют на r интервалов шириной Δ X_i (i = 1, 2,, r);

– подсчитывают частоты m_i, равные числу результатов, лежащих в каждом i -м интервале, т. е. меньших или равных его правой границе и больших левой границы;

– вычисляют частости P_i *, которые представляют собой статистические оценки вероятности попадания результатов наблюдения в i -й интервал

(1)

где n – общее число измерений;

Распределение частостей по интервалам образует статистическое распределение результатов измерений

– делим частости на длину интервала

(2)

величина p_i * является оценкой средней плотности распределения в интервале Δ X_i

– откладываем вдоль горизонтальной оси интервалы Δ X_i в порядке возрастания индекса i и на каждом интервале строим прямоугольник с высотой, равной p_i *. Полученный ступенчатый график называется гистограммой статистического распределения.

Площадь всех прямоугольников равна единице.

(3)

					6=[4]*5	7=[1]*[4]	8=[1]*[7]
i	Xi,	Xi+ 1	mi			i mi	i ^2 mi
	8,911	8,913		0,01
	8,913			0,05
				0,14
				0,27
				0,24
				0,18
		8,925		0,09
	8,925	8,927		0,02
						Σ = 468	Σ = 2396

1) Данные n наблюдений группируют по r интервалам и подсчитывают частоты m_i (столбцы 1, 2, 3, 4). n = 100; r = 8; Δ X = 0,002 мм;

Для построения теоретической кривой сачала вычисляют среднее арифметическое и точечную оценку среднего квадратического отклонения s_X, которые принимают в качестве параметров теоретического нормального распределения с плотностью р_Х (х). Для этого

2) Вычисляют относительные частоты (частости) (столбец 5)

3) Вычисляем среднее арифметическое по формуле

(А1)

Запишем значение X_i в средине i -го интервала в виде (А2)

получаем (А3)

Вычисляем значение суммы (столбец 7) и значение

; (А4)

4) Для вычисления оценки дисперсии воспользуемся смещенными значениями (отклонениями от 8,91) (А2), ее значение вычисляем по формуле

(А5)

Вычисляем значение суммы (столбец 8) и, зная (А4), получаем значение

(А6)

Величина оценки среднего квадратического отклонения составляет

мм (А7)

Вычислив значения и , приступаем к построению теоретической кривой

5) Если в некоторые интервалы попадает менее пяти наблюдений, то такие интервалы объединяют с соседними интервалами, при этом число степеней свободы k соответственно уменьшается: (интервалы (1–2) и (7–8).

i		mi			(норм) (по табл.)
	8,912		–0,00736	–2,56	0,0151
	8,914	–0,00536	–1,87	0,0694
	8,916		–0,00336	–1,17	0,2012
	8,918		–0,00136	–0,47	0,3572
	8,920		+0,00064	+0,22	0,3894
	8,922		+0,00264	+0,92	0,2613
	8,924		+0,00464	+1,62	0,1074
	8,926	+0,00664	+2,31	0,0277

6) Для каждого интервала находим вероятности попадания в их результатов наблюдения, в качестве приближенной оценки используем произведение плотности теоретического распределения в середине интервала на его длину

(А8)

Для этого отмечаем средины интервалов (табл.2, столбец 2)

7) Вычисляем отклонение средин интервалов от среднего арифметического (столбец 4); и нормированное отклонение (дробь Стьюдента) (столбец 5)

8) Пользуясь таблицей дифференциальной функции, находим значения плотности нормированного распределения (столбец 6), здесь в таблице принято s_X = 1.

(А9)

9) Пересчитываем значения плотности в срединах интервалов для ненормированной дифференциальной функции распределения (теоретическое значение) по формуле (столбец 7)

(А10)

10) Наносим на тот же график зависимость P (X_i) и соединяем их плавной кривой

Дата добавления: 2015-08-27