Расчеты на прочность статически

РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ СТАТИЧЕСКИ

ОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ ПРИ ИЗГИБЕ

1. Основные понятия и зависимости [1]

При решении задач, связанных с расчетом на прочность при изгибе, важно научиться правильно определять поперечную силу Q_у и изгибающий момент М в поперечном сечении балки и строить эпюры этих внутренних силовых факторов.

Обычно решение задачи начинают с определения опорных реакций (если в этом есть необходимость). Для этого необходимо составить уравнения равновесия (для балки, нагруженной системой сил, лежащих в одной плоскости, в общем случае можно записать три независимых уравнения равновесия). Определив реакции опор, обязательно делают проверку правильности их определения, для чего записывают дополнительное уравнение равновесия. Если реакции определены верно, это уравнение удовлетворяется тождественно.

Далее разбивают балку по ее длине на участки. В пределах каждого участка аналитические выражения Q_у и М остаются неизменными. Границами участков являются: 1) сечения, в которых приложены сосредоточенные силы; 2) сечения, в которых приложены сосредоточенные моменты; 3) сечения, в которых происходит резкое изменение интенсивности распределенной нагрузки.

Рассматривая произвольное поперечное сечение на каждом участке, используют метод сечений и записывают уравнения для поперечной силы и изгибающего момента. Согласно методу сечений поперечная сила Q_у в сечении балки численно равна алгебраической сумме проекций на вертикальную ось всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения:

. (1)

Изгибающий момент М _х в сечении балки численно равен алгебраической сумме моментов всех внешних сил относительно центра тяжести рассматриваемого сечения, действующих на отсеченную часть балки:

. (2)

При этом вводятся следующие правила знаков для Q _y и М _х. Внешняя сила, поворачивающая отсеченную часть балки относительно рассматриваемого сечения по часовой стрелке, дает положительную поперечную силу (положительное слагаемое в выражении для Q_у) и наоборот (рис. 2 а)

Внешний момент, действующий относительно рассматриваемого сечения и изгибающий балку выпуклостью вниз (создающий сжатие в верхних волокнах балки), дает положительный изгибающий момент (положительное слагаемое в выражении для М _х) и наоборот (см. рис. 2 б).

a)

Рис 2

б)

Рис 2

Поперечная сил. Q _у, изгибающий момент М _х и интенсивность распределенной нагрузки q связаны дифференциальными зависимостями Д.И. Журавского

, , , (3)

где q – интенсивность распределенной нагрузки; z – координата, определяющая положение сечения балки.

При построении эпюр Q _у и М _х и их контроле следует учитывать правила, вытекающие из дифференциальных зависимостей (3) и непосредственно из метода сечений.

Построив эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, определяют положение наиболее опасного с точки зрения прочности сечения балки (если балка имеет постоянное по ее длине сечение, то это сечение, в котором изгибающий момент достигает наибольшего по абсолютной величине значения). Расчет на прочность проводим, используя условие прочности по нормальным напряжениям:

, (4)

где М _х – изгибающий момент в опасном сечении; W _х – осевой момент сопротивления сечения; - допускаемое напряжение.

2. Задача. Расчет на прочность статически определимой двухопорной балки

Для заданной двухопорной балки (рис. 3 а) построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов. Вычислить все характерные ординаты этих эпюр. Принять а = 1 м,

q = 10 кН/м, Р = 1,5qа, m = 2,25qа², а₁ = 3а, а₂ = 1,5а.

Из условия прочности подобрать диаметр D сплошного

круглого сечения, размеры в и h прямоугольного сечения с отношением сторон h/в = 1,5 и сечение в виде двух одинаковых не связанных между собой швеллеров, поставленных вплотную друг к другу (см. рис. 3 б). Установить какое сечение рациональнее, сравнив для них коэффициенты экономичности К = W _х/ . Принять материал – сталь Ст. 3, предел текучести _ТР = _ТС = 225 МПа, а коэффициент запаса прочности

n = 1,5.

а)

б

Рис 3

Решение

Брус работает на изгиб. По условию задачи требуется провести проектный расчет на прочность. Из условия прочности (4) проектный расчет ведется по соотношению

.

Для определения изгибающего момента в опасном сечении балки (то есть наибольшего по абсолютной величине значения изгибающего момента) нужно построить эпюры поперечной силы Q_у и изгибающего момента М _х.

3.I. Определение реакций опор.

Горизонтальная составляющая для шарнирно-неподвижной опоры Н = 0, так как нет сил, наклонных или параллельных оси z. Для определения реакций R_А и R_В записываем два уравнения равновесия. Уравнение моментов всех сил относительно точки А

Откуда

Уравнение моментов всех сил относительно точки В

.

Откуда

Обе реакции получились положительными. Это означает, что их действительное направление совпадает с выбранным. Для проверки правильности определения реакций опор спроектируем все внешние силы на вертикальную ось Y:

.

Уравнение удовлетворяется тождественно. Значит реакции опор определены верно.

2. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов.

Разбиваем балку на два участка (см. рис. 3 а). Границами участков являются сечения А, С, В. Положения произвольных поперечных сечений на участках характеризуются соответствующими координатами и . Записываем выражения для поперечных сил и изгибающих моментов по участкам, используя (1, 2) и правила знаков.

Участок I:

Координата входит в выражение в первой степени ( - линейная функция ). Поэтому для построения эпюры достаточно определить значения ординат на границах участков:

, ; , кНм.

Участок 2: , ,

( - линейная функция ).

= 0, = R₁=10 кН;

=а, = R_А-qа₁ = 10-30 = -20 кН.

Так как поперечная сила на втором участке, меняя знак в одном из сечений (обозначим его координаты через ), обращается в нуль (см. рис. 3 а), то в соответствии с дифференциальными зависимостями (3) изгибающий момент в этом сечении будет иметь экстремум. Приравнивая выражение для на втором участке нулю, определим координату сечения :

м.

Строим эпюру , располагая ее строго под схемой балки (см. рис. 3, а). Положительные значения откладываем выше нулевой линии, (она проводится параллельно оси балки), а отрицательные – ниже. Уравнение на втором участке

.

Изгибающий момент является квадратичной функ-

цией . Для построения параболы необходимо определить как минимум три значения изгибающего момента, два из которых определяем на границах участка:

кН·м;

, кНм.

Подставляя значение м в выражении на втором участке, определим экстремальное (в нашем случае максимальное) значение изгибающего момента на этом участке:

кНм.

Найденное значение изгибающего момента будет третьим значением ординаты эпюры для построения параболы.

Строим эпюру изгибающих моментов, располагая ее строго под схемой балки (см. рис. 3 а). Положительные значения откладываем выше нулевой линии, отрицательные –ниже. Используя дифференциальные зависимости (3) и следствия из них, проводим проверку правильности построения эпюр. Устанавливаем изгибающий момент в опасном сечении кНм.

3.2. Подбор размеров поперечного сечения балки.

Подбор сечения балки ведем из условия прочности (4). В соответствии с этим условием расчетный осевой момент сопротивления

Для круглого сечения

Площадь и момент сопротивления круглого сечения

,

Коэффициент экономичности круглого сечения

Для прямоугольного сечения осевой момент сопротивления

. Учитывая, что h=1.5b, получим

, откуда

.

Принимаем b=8см, тогда h=1,5 b=1,5 8=12 cм. Площадь и осевой момент сопротивления прямоугольного сечения

.

Коэффициент экономичности прямоугольного сечения

.

Если сечение состоит из двух швеллеров, то расчетный осевой момент сопротивления для одного швеллера

см .

Из таблиц сортамента (Гост 8240-89) по расчетному значению осевого момента сопротивления выбираем швеллер №16, для которого

Коэффициент экономичности для составного сечения

.

Так как > > , то рациональным является сечение, состоящее из двух швеллеров.

Дата добавления: 2015-08-28