1. Функция комплексного переменного (ФКП). Предел, непрерывность ФКП. Одно- и многосвязная области комплексной плоскости.

1. Функция комплексного переменного (ФКП). Предел, непрерывность ФКП. Одно- и многосвязная области комплексной плоскости.

Определение

Пусть G область в комплексной плоскости C. Если каждой точке поставить в соответствие единственное комплексное число , то говорят, что на области задана однозначная функция комплексного переменного и обозначается Область G называетсяобластью определения функции, z – аргумент функции, значение функции в точке z.

Если каждому z ставится в соответствие несколько значений , то на области задана многозначная функция комплексного переменного.

Например, – однозначная функция; – многозначная функция.

Предел и непрерывность функции комплексного переменного

Пусть дана последовательность комплексных чисел

О: Число называется пределом при неограниченном возрастании если для любого> 0 существует номер , что для выполняется неравенство

Т: Для того чтобы необходимо и достаточно выполнения

Доказательство в [18. С. 66].

Пусть w = (z) — однозначная функция, определенная в D за исключением, быть может,

О: Число а называется пределом (z) при

если для любого > 0 существует > 0, что из неравенства следует неравенство

Т: Для существования необходимо и достаточно, чтобы

если

Доказательство теоремы в [18. С. 77]. Она позволяет перенести основные теоремы о пределах функций действительного переменного на ФКП.

О: Функция w = (z) называется непрерывной в т. если 1) (z) определена в т. и ее окрестности;

2)

Из вышеприведенной теоремы следует, что последнее равенство эквивалентно двум равенствам

т.е. непрерывность (z) в т. эквивалентна непрерывности ее действительной и мнимой частей u(х,у), v(x,y) в т. Отсюда следует, что для (z), (z), как и для фун-

кций действительного переменного, сумма, разность, произведение, частное (при ) этих функций непрерывны в т.

Рассмотрим две плоскости комплексных чисел: C = { z | z = x + iy } и W = { w | w = u + iv }. Пусть в плоскости С задана область D и задано правило, ставящее в соответствие каждой точке z ∈ D определённое комплексное число w ∈ W. В этом случае говорят, что на области D определена однозначная функция w = f (z) (или определено отображение f: z → w). Область D называется областью определения функции, множество { w | w ∈ W, w = f (z), z ∈ D } - множеством значений функции (или образом области D при отображении f.
Если каждому z ∈ D ставится в соответствие несколько значений w ∈ W (т.е. точка z имеет несколько образов), то функция w = f (z) называется многозначной.

Дата добавления: 2015-08-28