Семинар 5.(21.09.06) Углы, ассоциированные с окружностью. Ш. §5.2.

Семинар 5. (21.09.06) Углы, ассоциированные с окружностью. Ш. §5.2.

Если вершина угла расположена внутри круга, то дуги равноправны и потому входят в величину угла с одинаковыми знаками. В частности, если вершина расположена в центре круга, то две дуги равны и угол становится вдвое больше. Если вершина угла уходит за пределы круга, то две вырезаемые углом дуги неравноправны и в его величину входят с разными знаками.

Ш5.2.10(в). На окружности строится последовательность точек: первая точка берётся произвольно, а начиная со второй, каждая следующая удалена от предыдущей на расстояние, равное радиусу окружности. Докажите, что седьмая точка совпадает с первой.

Последовательно на окружности расставляются вершины равносторонних треугольников, общей вершиной которых является центр окружности. Поскольку полный угол в центре окружности равен 360°, а каждый из равносторонних треугольников отрезает от него угол 60°, то после построения шестой точки мы возвратимся к первой.

Ш5.2.15(п). На окружности отмечены точки: А₁, А₂, А₃, А₄, А₅, А₆, А₇. Эти точки соединены так, как показано на рисунках. Чему равны суммы отмеченных семи углов в каждом случае? (180°, 540°)

На первом рисунке на каждую из дуг окружности опирается и при том один угол. Поэтому сумма всех углов равна 180°.

На втором рисунке каждый угол опирается на три соседних дуги. Поэтому сумма всех дуг равна утроенной длине окружности, а суммам всех углов равна 3∙180° = 540°.

Ш5.1.27(т). Найдите сумму отмеченных углов пятиконечной звезды.

Берём стрелку, располагаем от угла 4 к углу 1 и затем поворачиваем в положение 4-2, 5-2, 5-3 и т.д., пока не дойдём до положения 1-4, совершив тем самым пол-оборота. Значит, сумма всех углов равна 180°.

Пол.5.9. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 40°. Одна из боковых сторон служит диаметром полуокружности, которая делится другими сторонами на три дуги. Найдите градусные меры этих дуг.

α = 40°, β = 40°, γ = 180° – 40° – 40° = 100°.

Пол.5.12. Две окружности пересекаются в точках А и В. Через В проведена секущая, пересекающая окружности в точках С и D. Докажите, что величина угла CAD постоянна для всякой секущей, проходящей через точку В.

При повороте прямой CD вокруг точки В величины углов С и D не меняются, поэтому сохраняется и величина угла CAD.

Перед следующей задачей сначала – показать, что каждый треугольник имеет описанную окружность. (Говорили, что через две точки проходит бесконечное множество окружностей, центры которых расположены на серединном перпендикуляре к отрезку с концами в этих точках.)

Пол.5.25. Вершина А остроугольного треугольника АВС соединена отрезком с центром О описанной окружности. Также проведена высота АН. Докажите, что ÐВАН =ÐОАС.

В прямоугольном треугольнике АВН ÐА = α. Тогда ÐВ = 90° –α. Этот угол вписан в окружность и опирается на дугу АС. Соответствующий центральный угол АОС вдвое больше и равен 180° –2α. Треугольник АОС – равнобедренный, (ОА = ОС) и сумма его углов 2 х +(180° –2α) = 180°. Из этого равенства следует, что х = α.

Дом: Ш,§5.2. №5.2.17, 18, 19.

Ш5.2.17(т). В четырёхугольнике ABCD стороны ВС и AD параллельны. Точки А, С и D расположены на окружности, касающейся АВ и СВ. Угол АВС равен 120°, а высота треугольника ACD, опущенная на сторону AD, равна 1. Найдите DC.

Поскольку С – точка касания, ОС ВС и ОС AD. Аналогично ОА АВ. В четырёхугольнике АВСО углы А и С – прямые, ÐАВС = 120°, значит ÐАОС = 60° и треугольник АОС – равносторонний. В равнобедренном треугольнике ADO ОН – высота и биссектриса, ÐНОD = 60° и треугольник СОD – также равносторонний. DH – высота и биссектриса этого треугольника, значит угол D прямоугольного треугольника CDH равен 30°, и CD = 2 CH = 2.

Ш5.2.18(п). Две окружности касаются друг друга в точке А. Произвольная прямая, проходящая через А, вторично пересекает одну окружность в точке В, а другую – в точке С. Докажите, что центральные углы этих окружностей, соответствующие хордам АВ и АС, равны.

Углы А равнобедренных треугольников АО₁В и АО₂С равны как вертикальные. Отсюда следует равенство третьих углов АО₁В и АО₂С.

Ш5.2.19(п). Две окружности пересекаются в двух точках. Через одну из точек их пересечения проведена прямая, пересекающая одну окружность в точке , а другую – в точке . Через вторую точку пересечения окружностей проведена ещё одна прямая, пересекающая первую окружность в точке , а вторую – в точке . Докажите, что и параллельны. (Точки , , , отличны от точек пересечения окружностей.)

Пусть Р и Q – точки пересечения окружностей. Обозначим ÐCQP = α.

На первом рисунке (АВ и CD не пересекаются) ÐА = 180°–α, а ÐВ = α. Эти углы являются внутренними односторонними при пересечении АВ с прямыми АС и BD. Поскольку их сумма равна 180°, АС и BD параллельны.

Если и пересекаются, то как вписанные углы, опирающиеся на общую дугу. Угол , как и угол дополняет угол до развёрнутого и также равен . Углы и являются накрест лежащими при пересечении прямой прямых и , поэтому из их равенства следует параллельность названных прямых. Таким образом, прямые и параллельны независимо от взаимного расположения и .

Дата добавления: 2015-08-27